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 #1 - 09-03-2011 18:03:03

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

22, v'la les poylies !

Dans la figure ci-dessous, il y a deux poulies, l'une de rayon 3 cm, l'autre de rayon 2 cm. Les centres des poulies sont distants de 6 cm.
Quelle est la longueur totale du câble autour des deux poulies ?

http://nsa25.casimages.com/img/2011/03/09/110309060203778975.jpg



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 #2 - 09-03-2011 18:07:40

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

22, v'la le poulies !

Enfin de la géométrie facile !

Deux demi-cercles de rayons respectifs 2 et 3 cm, plus deux hypoténuses de triangles rectangles de côtés de l'angle droit 1 et 6 cm.

Ca nous donne [latex]5 \pi + 2 \sqrt{37}[/latex], soit environ 27,87 cm.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 09-03-2011 18:24:35

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

22, v'la les ppoulies !

La longueur du câble peut être découpé en 3 parties :
- la partie en contact avec la grande poulie : demi-périmètre de la grande poulie = [latex]\pi R[/latex]
- la partie en contact avec la petite poulie : demi-périmètre de la petite poulie = [latex]\pi r[/latex]
- 2 fois la distance entre les 2 points les plus "hauts" des 2 poulies.
Calculons cette dernière distance x.
Un petit coup de Pythagore nous donne :
[TeX]x^2=d^2+(R-r)^2[/TeX]
Et au final : [latex]L=\pi(R+r)+2\sqrt{(R-r)^2+d^2}[/latex]

Application numérique : L=27,87cm

 #4 - 09-03-2011 18:26:34

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 492
Lieu: Ardèche

22, v'la les poulis !

Si on pose [latex]\alpha=\arcsin \frac 1 6[/latex]
[TeX]L=5*\pi+2\alpha+12\cos \alpha \approx 27.8750 cm[/TeX]

 #5 - 09-03-2011 18:30:51

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

22, v'laa les poulies !

Les problèmes trop difficiles amènent trop peu de réponses.
3 bonnes réponses !


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 #6 - 09-03-2011 18:44:23

langelotdulac
Ange de Prise2Tete
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Lieu: Paradis

22, v'la les poules !

Je crois que je me suis un peu emballée ... lol

Bon, je retente ...., à la néanderthal ^^'

J'ai dessiné tes 2 cercles en respectant l'écartement de 6cm d'un centre à l'autre, j'ai tracé les droites et j'ai mesuré = 27cm70 big_smile

J'ai bon ?!
Que je puisse remette ma souris hystérique  lol


Tu es largement assez dingo pour qu'un Minito te semble cohérent \o/ !

 #7 - 09-03-2011 18:49:46

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

22, v'la les poulirs !

28 cm arrondi?

 #8 - 09-03-2011 19:07:15

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
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Lieu: Autre nom du colin

2, v'la les poulies !

Appelons L la longueur totale du câble. On sait que le câble forme un demi-cercle sur chaque poulie, de longueurs respectives 3π et 2π. Reste à trouver la longueur de câble tendu entre les poulies. Par symétrie, on voit que le segment supérieur est identique au segment inférieur.
Soient : A le centre de la poulie de gauche, B où le câble quitte cette poulie en haut, C où le câble quitte la poulie de droite en haut, et D le centre de cette poulie. Soit E le point du segment [AB] tel que (CE)//(AD).

De toute évidence, on a (AB)//(CD) et (EC) perpendiculaire à (AB). De plus, on remarque que EC=AD=6, et que le triangle BEC en E. D'après le théorème de Pythagore, on a :

BC²=BE²+EC², soit :  BC=√(BE²+EC²)   Or BE=BA-EA=1 car BE=3 et EA=CD=2
D'où: BC=√(1²+6²)=√37

Le cable a pour longueur L=3π+2π+2√37

Conclusion: L=5π+2√37


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #9 - 09-03-2011 21:31:59

JJ
Visiteur

22, 'la les poulies !

bonjour,

R= 3
r = 2
d = 6

L = 2(R.acos(-(R-r)/d))+r.acos((R-r)/d)+√(d²-r²))

L ≈ 27,875018992587576938554422711608

JJ.

 #10 - 09-03-2011 22:03:52

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

222, v'la les poulies !

Excellentes réponses !

Euh... l'Angelote, ta réponse, c'est quoi au juste ? lol


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 #11 - 09-03-2011 22:33:28

fix33
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Devant un clavier depuis 1748

22, b'la les poulies !

On pourrait dire que c'est la somme des 2 demi-cercles + 2 fois le côté bancale du trapèze...
Mais le côté bancale n'est pas tangent aux cercles exactement en leur axe y...
Bonne nuit !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #12 - 09-03-2011 22:38:57

looozer
Expert de Prise2Tete
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2, v'la les poulies !

Je trouve [latex]2 \sqrt{35}+5 \pi +\text{ArcTan}\left[\frac{\sqrt{35}}{17}\right]=27.54...[/latex]

Erreur! Je laisse le calcul mais je change la réponse : 27.875...

 #13 - 09-03-2011 22:41:38

SaintPierre
Banni
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22, v'la les pouleis !

looozer, ton résultat est proche, mais ce n'est pas la réponse attendue. wink


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 #14 - 09-03-2011 22:44:43

JACK971
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 1

22, v'la les poukies !

14.5cm

 #15 - 09-03-2011 22:48:18

SaintPierre
Banni
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22, v'la les ppulies !

Non, JACK971. hmm

Bienvenue sur le forum !


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 #16 - 10-03-2011 00:12:19

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1932
Lieu: UK

22, v'la les poylies !

Soit [latex]T[/latex] la tangente aux cercles, [latex]L[/latex] la longueur du cable et [latex]\alpha[/latex] l'angle par rapport à la verticale,
[TeX]T=\frac{1}3\sqrt{(3\times6)^2-3^2}=\sqrt{35}[/TeX]
[TeX]\rm \alpha=arcsin(\frac{3}{18}) \approx 0.167 rad[/TeX][TeX]\rm L=(\pi+2\alpha)3+(\pi-2\alpha)2+2T \approx 27.875~cm[/TeX]
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-poulies.png


The proof of the pudding is in the eating.

 #17 - 10-03-2011 00:37:01

bd-42
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 2

22, v'ma les poulies !

On peut d'ores et déjà calculer facilement les deux demis-perimètres des cercles.
Il reste donc à calculer la longueur de cable qui ne touche pas la poulie.
Pour cela, on introduit un triangle rectangle, d'hypothénuse un de ces brins de cable", et les deux autres côtés étant donc de 6cm (distance entre les deux poulies)  et de 1cm (=3-2). Le théorème de Pythagore nous donne alors que longueur d'un brin de cable=racine(1²+6²)=racine(37)

D'où
longueur totale=2*(longueur d'un brin de cable)+"demi-perimètre de la 1ère poulie"+"demi-perimètre de la 2nde poulie"
Soit:
longueur totale=2*racine(37)+3Pi+2Pi

longueur totale=2*racine(37)+5*Pi
Soit environ 28cm.

 #18 - 10-03-2011 02:29:44

chalibou
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 25
Messages : 16

22, v'l les poulies !

2*Racine(6²+0.5²) +2*2pi/2+3*2pi/2
=21,728760557345113932377337431587

 #19 - 10-03-2011 08:11:27

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

22, v'la less poulies !

http://www.prise2tete.fr/upload/mitsuidewi-Capture.PNG

Bon, visiblement la longueur du fil est égale à la moitié du périmètre de la première roue, plus la moitié du périmètre de la 2eme roue, plus 2 fois la longueur x vue sur le dessin.

L=3 pi + 2 pi + 2 racine (1+36)

= 5 pi + 2 racine(37)

 #20 - 10-03-2011 08:45:33

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2857
Lieu: Luxembourg

22, v'la les pouiles !

Bonjour,
J'ai 4 tronçons de câbles que je vais rajouter:
1°) les 2 morceaux droits de même longueur
J'écris Pythagore dans le triangle rectangle formé par les 2 centres des poulies et l'intersection du grand rayon avec la parallèle à la chaîne:
x^2 + (3-2)^2 = (3+1+2)^2 donc x=V35 qu'on a 2 fois
2°) le morceau partiel autour de la grande poulie
y = 2pi R1 x (pi + 2a) / 2pi = 3 x (pi + 2a) avec a = arcsin (1/6) en radians
3°) le morceau partiel autour de la petite poulie
y = 2pi R2 x (pi - 2a) / 2pi = 2 x (pi - 2a) avec a = arcsin (1/6) en radians
Au final, on cherche L = 2x + y + z = V35 + 5pi + 2arcsin(1/6)
soit L = 27,875 environ.
Bonne journée.
Frank

 #21 - 10-03-2011 15:29:28

sofox
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 109
Lieu: Besançon

22, v'la les pouulies !

longueur de courroie "autour" des poulies : la moitié de la circonférence, donc :
(2 x pi x R)/2, soit 9,425 cm pour la grande et 6,283 cm pour la petite.
longueur de courroie entre les poulies : c'est l'hypoténuse AC du triangle rectangle ABC, où AB= 6 cm et BC= la hauteur qui sépare le sommet des 2 poulies=1 cm.
AB^2 + BC^2= AC^2  <=> AC^2=37 <=> AC =  6,082 cm
on retrouve AC "en haut" et "en bas" entre les deux poulies, donc longueur de courroie totale = (6,082 x 2) + 9,425 + 6,283 = 27,872 cm

d'une part, j'espère ne pas m'être trompé big_smile ; d'autre part, est-ce qu'une âme charitable pourrait m'expliquer comment on calcule une racine carrée avec cette %U#@!N de calculatrice windows svp ?


Schizos Are Never Alone

 #22 - 10-03-2011 17:07:19

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

22, v'la les poulirs !

Bravo pour vos solutions. Mention spéciale à Franck pour la joliesse de la sienne.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #23 - 11-03-2011 07:12:33

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1772

22, v'la les poukies !

Bonjour !,

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-poulies.jpg

La longueur de la courroie est à décomposer selon

- la partie frottant sur la grande poulie de rayon 3 = (pi + 2 *alpha)*3
- les deux parties "tendues" rectilignes (haut +bas) = racine (35) * 2
- la partie frottant sur la petite poulie de rayon 2 = (pi - 2*alpha) * 2

On a alpha = arctg (1/6) au fait.

Application numérique : longueur totale = 27,87 cm

A comparer avec le cas ou l'on négligerait alpha (alpha = 0),
on trouverait : 27,54 cm, et une telle courroie serait trop courte !


Une petite généralisation :
R : rayon de la grande poulie
r : rayon de la petite poulie
d : entraxe

> Longueur d'une partie tendue rectiligne = racine [d² - (R-r)²]
(à multiplier par deux, donc ...)

> alpha = arctg [(R-r)/d]

Longueur de la courroie =
(pi + 2 *alpha)*R + racine [d² - (R-r)²] * 2 + (pi - 2 *alpha)*r



Merci, à bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #24 - 13-03-2011 14:35:25

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

22, v'la mes poulies !

Avec un peu de retard, je trouve:
2×(√35+5×3.1415926535÷2+cos⁻¹ (√35÷6)) = 27.875018992

Mais je voulais rajouter que dans la pratique, par exemple quand on attache le moteur du tracteur a la moissoneuse-batteuse, la courroie est en fait plus longue que mathematiquement necessaire et le poids meme de la courroie realise la tension necessaire au transfer du mouvement.
Si la courroie etait de longueur exacte, quand le raccord (et il y a toujours un raccord quelque part) passe par une extremité, la tension augmente et pourrait la faire rompre.
Dans la pratique le mou sert aussi a absorber les accelerations et decellerations rapides.

Dans une perceuse a colonne (ou la courroie peut etre placée a plusieurs niveaux differents), le moteur se deplace pour ajuster la tension.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #25 - 13-03-2011 14:48:12

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

22, v'la les poulieq !

J'ai une question : le calcul que j'ai fait, comme d'autre avec moi, est-il correct ?
Car on a considéré que le câble était tangent aux sommets des cercles, ce qui n'est manifestement pas le cas !
Mais on trouve tout de même un résultat identique ?!?

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