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 #1 - 22-05-2015 22:03:10

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 304

Oze

Faire rentrer 11 carrés de côté 1 dans un carré de côté strictement inférieur à 4.

Question subsidiaire : optimiser la taille du carré englobant.

Bon week-end big_smile



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 #2 - 22-05-2015 22:14:27

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Onz

J'arrive à en faire rentrer 12 dans un rectangle 2,5*2.
Est-ce que j'ai bien compris l'énoncé ?

Edit : Je viens de me rendre compte qu'on peut le faire aussi petit que l'on veut, il faut juste réduire l'écart entre les carrés.

Et j'ai oublié le schéma de ma figure très moche :

Code:

 _ _ _ _ _
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|

Il faut considérer que chaque petit carré est un quart d'un carré d'unité 1.
Pour réduire la taille du carré englobant, on fait tendre les espaces blancs vers 0.

 #3 - 22-05-2015 22:46:11

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 304

Onz

SabanSuresh : c'était implicite, mais je précise que les carrés de côté 1 ne doivent pas se chevaucher.

 #4 - 23-05-2015 06:38:41

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

onae

En raisonnant avec 5 carrés pour commencer, on place 4 carrés dans chaque coins du carré dont on cherche la longueur de côté minimale. Pas besoin de longues démonstrations pour s'assurer que placer le dernier carré au centre avec un angle de 45° par rapport aux autres donnera la longueur du côté minimale. (Si ce n'est pas le cas nous aurons tout de même une excellente approximation du minimum)

La longueur du côté est donc minimale pour une diagonale de 2√2+1.
En ajoutant une unité à la longueur du côté du carré que l'on cherche on obtient donc :

                                                http://latex.codecogs.com/gif.latex?c%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D+4%7D%7B2%7D+1

Soit à peu près

Code:

3.7071067811865475244008443621048490392848359376884740365883398689953662392310535194251937671638207863675069231154561485124624180279253686063220...

J'ai mi au moins les 100 premières décimales, si quelqu'un trouve mieux préviens moi. J'ai déjà vu sur ce site des gens employer les nombres hyperréels d'ombre zéro, alors je me méfie maintenant voilà pourquoi tant de décimales. roll

Shadock cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 23-05-2015 09:37:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

pnze

Bonjour ,

une mine d'or pour ce genre d'exercices http://www2.stetson.edu/~efriedma/packing.html .

Vasimolo

 #6 - 23-05-2015 10:25:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

Onzze

On arrive effectivement à placer les 11 carrés, et de plusieurs façons possibles. Celle qui semble donner le plus de jeux:
3 carrés en L dans le coin bas gauche, 2 carrés en I dans le coin bas droit et 1 carré dans les 2 autres coins. Tous ces carrés sont placés parallèles aux cotés. Dans l'espace restant, on peut facilement placer en biais les 4 carrés restants. L'optimisation est cependant difficile à démontrer....

 #7 - 23-05-2015 10:31:01

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 304

OOnze

@shadock : ta méthode ne permet de ne placer que 10 carrés sad

@Vasimolo : ouah, je ne connaissais pas ce site, impressionnant yikes Il permet de résoudre la première question, mais confirme que la question subsidiaire est toujours un problème ouvert.

@nodgim : comment places-tu les carrés restant, et quelle taille cela te donne-t-il pour le carré englobant ?

J'accepte une réponse à partir du moment où les angles/longueurs fournies sur la solution permettent de reconstituer exactement la figure. Une figure est appréciée smile Pour le calcul de la taille du carré englobant, j'accepte les méthodes numériques (logiciel de géométrie dynamique par ex.).

 #8 - 23-05-2015 11:30:33

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Onzze

http://www2.stetson.edu/~efriedma/squinsqu/

Assez simple  lollol , j'avais du poster ce lien pour le même problème avec les ronds.

 #9 - 23-05-2015 11:50:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

OOnze

A Ebichu: je ne me suis pas trop cassé la tête: un jeu de légo, 11 carrés enfermés dans un carré légo 4 fois plus grand construit avec des "murs" à partir d'une plaque légo.  Les 4 carrés libres placés en biais ont un degré de liberté net, et je pourrais te donner une orientation et un calcul, mais il ne sera pas forcément optimal.

 #10 - 24-05-2015 10:31:37

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

 #11 - 24-05-2015 23:22:42

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 304

pnze

@gwen27 @halloduda : Moui, à ce que je comprends, ce problème n'aura pas la palme de l'originalité hein ? hmm

 

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