J'arrive à en faire rentrer 12 dans un rectangle 2,5*2.
Est-ce que j'ai bien compris l'énoncé ?

Edit : Je viens de me rendre compte qu'on peut le faire aussi petit que l'on veut, il faut juste réduire l'écart entre les carrés.

Et j'ai oublié le schéma de ma figure très moche :

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Il faut considérer que chaque petit carré est un quart d'un carré d'unité 1.
Pour réduire la taille du carré englobant, on fait tendre les espaces blancs vers 0.

En raisonnant avec 5 carrés pour commencer, on place 4 carrés dans chaque coins du carré dont on cherche la longueur de côté minimale. Pas besoin de longues démonstrations pour s'assurer que placer le dernier carré au centre avec un angle de 45° par rapport aux autres donnera la longueur du côté minimale. (Si ce n'est pas le cas nous aurons tout de même une excellente approximation du minimum)

La longueur du côté est donc minimale pour une diagonale de 2√2+1.
En ajoutant une unité à la longueur du côté du carré que l'on cherche on obtient donc :

                                               

Soit à peu près

3.7071067811865475244008443621048490392848359376884740365883398689953662392310535194251937671638207863675069231154561485124624180279253686063220...

J'ai mi au moins les 100 premières décimales, si quelqu'un trouve mieux préviens moi. J'ai déjà vu sur ce site des gens employer les nombres hyperréels d'ombre zéro, alors je me méfie maintenant voilà pourquoi tant de décimales.

Shadock

On arrive effectivement à placer les 11 carrés, et de plusieurs façons possibles. Celle qui semble donner le plus de jeux:
3 carrés en L dans le coin bas gauche, 2 carrés en I dans le coin bas droit et 1 carré dans les 2 autres coins. Tous ces carrés sont placés parallèles aux cotés. Dans l'espace restant, on peut facilement placer en biais les 4 carrés restants. L'optimisation est cependant difficile à démontrer....

http://www2.stetson.edu/~efriedma/squinsqu/

Assez simple  , j'avais du poster ce lien pour le même problème avec les ronds.

http://www2.stetson.edu/~efriedma/squinsqu/s11.gif
carré englobant 3.877