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 #1 - 13-10-2009 17:19:58

Damnation
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 208

D'ou ca vien t?

Bonsoir !
Je vous expose 2 idées qui me sont venues. Ce que je vais dire e existe SUREMENT déjà et dans ce cas, quelle est la règle exacte (Sachant que c'est moi qui ai compris ceci je ne sais pas d'ou ca vient).
Merci bien (Cela va surement vous paraître tout bête wink ).

1)

Nombre de base :                     1²    2²    3²    4²    5²
Nombre developpé au carré :    1      4     9      16    25
Différence entre les nombres :      3      5      7      9
Différence entre les différences :      +2   +2    +2

Pourquoi cette derniere ligne ne comprend t'elle que des +2?

2)

Prenons l'intervalle de tout les nombre de 0 à 100, soit [0;100].
Maintenant quelle est la règle pour calculer TOUT les nombres entiers de 0 à 100?
J'ai donc pensé à 100 x 50 + 50.    Plus Grand nombre x Moitié + Moitié.
Je me doute bien que cette règle existe déjà mais pouvez vous me la donnez entière?

Merci d'avance !!
Damnation.



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 #2 - 13-10-2009 17:36:51

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

d'ou ca vuent ?

Ce sont effectivement deux classiques associés à la notion de suite arithmétique.

1) La formule (n+1)² = n² + 2n +1 montre qu'on ajoute (2n + 1) à n² pour obtenir le carré suivant.
Cela rejoint une autre curiosité : calcule la somme des n premiers entiers impairs... Tu trouveras par exemple 1+3+5+7+9=25, carré de 5, ou 1+3+5+7+9+11+13+15=64, carré de 8.

2) De 0 à 100, cela fait 101 valeurs qui progressent régulièrement. Leur moyenne est la valeur située exactement au centre de la liste, donc 50. Le total fera bien 101*50=5050, c'est-à-dire leur effectif multiplié par leur moyenne.
Pour généraliser à toute progression arithmétique : (nombre de termes)*(moyenne des termes extrêmes).


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 13-10-2009 17:39:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

D'ou ac vient ?

Bonsoir smile

Ton 1°) vient du fait que le carré du nième entier naturel est égal à la somme des n premiers entiers naturels ( ça se voit bien sur un dessin ) .

Le 2°) a été découvert par Euler ( je crois ) il y a très longtemps . Tu écris :

S=  1  + 2  + ... + 99 + 100
S=100 +99 + ... +  2  +  1

Et en sommant tu trouves 2S=101+101+...+101 ( 100 termes ) ...

Vasimolo

 #4 - 13-10-2009 17:40:16

Damnation
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 208

D'ou ca vientt ?

D'une part, Merci de m'avoir éclairé la dessus, et de l'autre je suis déçu de ne rien avoir découvert. Enfin, j'aurai toujours le merite de l'avoir trouvé tout seul wink
Bye !smilesmilesmile

 #5 - 13-10-2009 17:41:21

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

D'ou ca vient

1) soit n un nombre entier
on a (n+1)²-n²=n²+2n+1-n²=2n+1 donc la différence entre deux carrés consécutifs est toujours un nombre impair

et la différence entre deux nombres impairs consécutif est toujours égal à 2

2)la somme entre 1 et n et n*(n+1)/2

 #6 - 13-10-2009 17:43:54

Damnation
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 208

D'ou cca vient ?

Merci encore pour vos réponses d'une rapidité remarquable !
Du haut de ma classe de 2nd cela n'est pas encore très clair mais ca me donne envie de m'y interessé de plus près, Bye!

 #7 - 14-10-2009 14:37:13

Mochacho
Visiteur

D'ou ca ient ?

1) (k+1)²-(k)²=2k+1 (k+1 ième nombre impair)

2) Somme des termes = n(n+1)/2 (somme arithmétique)

 #8 - 14-10-2009 14:45:43

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

DD'ou ca vient ?

1) Je prends un entier [latex]x[/latex] que je mets au carré, je mets le suivant [latex](x+1)[/latex] au carré, et je regarde la différence entre les deux :
[TeX](x+1)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1[/TeX]
Vu qu'on commence à [latex]x=1[/latex], la suite des [latex]2x+1[/latex] donne la suite des entiers impairs.



2) Carl Friedrich Gauss l'a déjà fait : lorsqu'on lui a demandé la somme des entiers de 1 à 100, il a constaté qu'on pouvait les regrouper par paires :

1+100=101
2+99=101
3+98=101
...
50+51=101

Et vu qu'il y avait 100 chiffres, il avait fait 50 paires. Somme : [latex]50 \times 101 = 5050[/latex]

Généralisation : [latex]\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}[/latex] et il existe des formules du même genre pour la somme des [latex]i^k[/latex] pour tout entier k. Wikipedia est ton ami.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 14-10-2009 14:48:15

Mochacho
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 2

d'pu ca vient ?

1) (k+1)²-(k)²=2k+1 (k+1 ième nombre impair)

2) Somme des termes = n(n+1)/2 (somme arithmétique)

 #10 - 14-10-2009 17:30:30

Damnation
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 208

D'ou ca vient

Merci encore smile

 

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