1) Je prends un entier x que je mets au carré, je mets le suivant (x+1) au carré, et je regarde la différence entre les deux :
(x+1)2−x2=x2+2x+1−x2=2x+1
Vu qu'on commence à
x=1, la suite des
2x+1 donne la suite des entiers impairs.
2) Carl Friedrich Gauss l'a déjà fait : lorsqu'on lui a demandé la somme des entiers de 1 à 100, il a constaté qu'on pouvait les regrouper par paires :
1+100=101
2+99=101
3+98=101
...
50+51=101
Et vu qu'il y avait 100 chiffres, il avait fait 50 paires. Somme :
50×101=5050Généralisation :
∑ni=1i=n(n+1)2 et il existe des formules du même genre pour la somme des
ik pour tout entier k. Wikipedia est ton ami.