Soit c² ce carré parfait. On aura:
a+x²=c² => (c-x).(c+x)=(a/k).k     k étant un diviseur de a
=> [c-x=a/k et c+x=k] ou [c-x=k et c+x=a/k]
=> x=(a/k-k)/2 ou x=(k-a/k)/2
=> x=abs[(a/k-k)/2]     abs représentant la valeur absolue
Il faut donc que: a/k-k soit divisible par 2, d'où: a/k-k=2.n => a=k.(2.n+k)
On remarque que a et k doivent avoir la même parité.
Comme le rôle des valeurs a/k et k est symétrique, on en déduit que: a/k-k doit être divisible par 2²=4. Donc:
Si x n’est pas divisible par 4, alors le nombre de valeurs de x est zéro.
Si x est divisible par 4, alors le nombre de valeurs de x est le nombre de diviseurs de x/4.

Pour A1 et A2, on n’aura aucune valeur entière de x.
Pour A3, on aura: 16 x 17 x 27 x 43 = 315 792 valeurs de x.
Pour A4, on aura: 17 x 17 x 27 x 43 = 335 529 valeurs de x.

Edit:
Je m'aperçois d'une erreur dans mon raisonnement, puisque avec certains exemples, ça ne marche pas. Je reviendrai plus tard.

@nodgim
Certes mais on peut mettre en bijection N avec l ensemble des carres parfait
(Un = n^2 le montre trivialement) donc il y en a la meme quantite...non ? 10/20 donc plutot que 19.99999999/20....

Ne te plains pas sinon je prends Un=(E (n/2))^2 et tu as 6.67 sur 20...
( ca pourrait inspirer un petit exercice facile sympa...pour ceux qui n ont.pas.vu ce post.)

@franky1103
Le bon debut mais une etape baclee qui fout tout en l'air...reverifie tu vas trouver...
Et revoie ta facon de denombrer...