Enigmes

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 #1 - 20-06-2013 20:41:53

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Lngueur du plus petit morceau

On découpe aléatoirement un bâton de 1 mètre en n morceaux. En moyenne, quelle sera la longueur du plus petit des n morceaux ?

1) Lorsque n=2

2) Lorsque n=3

3) Pour n quelconque


Précisions : Le découpage aléatoire sera assimilé au tirage au sort de n-1 nombres de l'intervalle [0 ; 1], chacun de ces nombres étant tiré selon une loi uniforme continue.



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 #2 - 20-06-2013 20:57:44

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Longueur du plus petit mrceau

Je tente la conjecture d'une espérance de [latex]\frac{1}{n^2}[/latex].
Est-ce correct ?

 #3 - 20-06-2013 21:38:01

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1204

Longueur du plu petit morceau

Intuition:[latex]\frac{1}{n}[/latex]

 #4 - 20-06-2013 22:58:33

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,781E+3

Longueur du plus ppetit morceau

Forfait...

Je ne suis pas très mathématicien et je me lasse assez vite de ces
"variations sur un même problème"

Tu proposais des trucs plus variés avant ! Mais d'un autre côté, pour la bande de passionnés, c'est sûrement une boîte à trésor ce genre de problème.

Je vais rester fainéant et juste suivre ce problème après la fin du temps. big_smile

 #5 - 20-06-2013 23:04:22

Gulio
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 8

Longueur du plus petit moreau

n=2 -> E[min(X)] = 1/3
n=3 -> E[min(X)] = 1/4

n quelconque -> E[min(X)] = 1/(n+1)

 #6 - 21-06-2013 10:57:57

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

longueur du plus petot morceau

Oui Nombrilist, bravo, c'est la bonne formule.

Reste à trouver pourquoi.

 #7 - 21-06-2013 11:35:44

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1204

Longueur du plus petitt morceau

Pour n=1 1/4

Pour n    [latex] \frac{1}{2^(n+1)}[/latex]

j'avais mal lu,mais ça m'a donné l'idée de ton problème!
je m'étonne parfois roll

 #8 - 21-06-2013 12:10:47

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Lognueur du plus petit morceau

@PRINCELEROI : Ok pour le cas n=2. Ce n'est pas la bonne formule pour le cas général. Essaye de voir si ce que se passe pour n=3.

 #9 - 21-06-2013 15:59:46

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

mongueur du plus petit morceau

Je tente le raisonnement suivant, vraiment sans certitude.
On sait que les tailles Xi des n morceaux suivent la même loi de probabilité et ont tous pour espérance 1/n. Donc, chaque Xi a la probabilité 1/n d'être le plus petit. Et comme E(Xi)=[latex]\frac{1}{n}[/latex] et que donc P(Xj=min(Xi))=[latex]\frac{1}{n}[/latex], on a alors E(min(Xi)) = [latex]\frac{1}{n^2}[/latex]

 #10 - 21-06-2013 17:18:00

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
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longueur du plus pztit morceau

Pour n = nombre de bout

longueur minimale = [latex]\frac{1}{2^n}[/latex]

 #11 - 21-06-2013 17:24:15

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Longueur du plus etit morceau

Si on coupe aléatoirement un bâton de 1 mètre en 2 bouts puis on prend le plus petit et on recommence,je pense que:
n = nombre de coupe
longueur moyenne du plus petit bout:[latex]\frac{1}{4^n}[/latex]
qu'en penses tu?

 #12 - 21-06-2013 17:25:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Longueur du plus petiit morceau

@Nombrilist : Ce raisonnement ne tient pas. Essaye déjà de voir ce qui se passe pour n=3.

@PRINCELEROI : Ce n'est pas la bonne formule pour le cas général. Essaye de voir si ce que se passe pour n=3. Oui pour ton 1/4^n.

 #13 - 21-06-2013 17:54:40

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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longueur du plus petiy morceau

J'ai trouvé enfin je crois!

l=[latex]\frac{1}{2n}[/latex]

 #14 - 21-06-2013 17:58:41

titoufred
Elite de Prise2Tete
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longueur du plus petot morceau

Ce n'est pas la bonne formule. Essaye de voir si ce que se passe pour n=3.

 #15 - 21-06-2013 21:07:55

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Longueur du plus peetit morceau

j"obtiens l=[latex]\frac{1}{n^2}[/latex]

 #16 - 21-06-2013 21:11:29

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Longueeur du plus petit morceau

Est-ce qu'on est obligé de passer par des intégrales ou bien est-ce qu'un raisonnement plus simple est possible ?

 #17 - 21-06-2013 23:59:06

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

longueir du plus petit morceau

@PRINCELEROI : oui !

@Nombrilist : Je ne sais pas. Je pense qu'il est naturel d'utiliser des intégrales mais ce n'est peut-être pas obligatoire, surtout pour n=2 et n=3.

 #18 - 22-06-2013 20:27:20

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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longieur du plus petit morceau

Titoufred, je ne comprends pas pourquoi mon raisonnement est faux. Soit Xj = min {Xi}. On cherche bien l'espérance de la loi [latex]P([Xj=min(Xi)] \cap [Xj<x]) [/latex] ?

 #19 - 23-06-2013 09:23:45

nodgim
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Enigmes résolues : 0
Messages : 3437

Longueur du plus petit morcea

Ce qui me surprend dans cette histoire, c'est la généralisation...
J'attends de voir la réponse.

 #20 - 23-06-2013 11:19:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

longieur du plus petit morceau

@Nombrilist : Quelle formule utilises-tu, peux-tu la formaliser ? Ton raisonnement devrait également marcher avec max à la place de min, ce qui pose problème.

@nodgim : As-tu la réponse au cas n=2 ? au cas n=3 ?

@Gulio : désolé, je t'ai zappé. Ce n'est pas la bonne formule.

 #21 - 23-06-2013 11:51:21

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Longueur du plus pteit morceau

En effet, tu as raison lol. Xj et Xj<x ne sont probablement pas indépendantes. Sinon j'utilisais tout simplement E(XY) = E(X)E(Y). En ce cas, je pense qu'on cherche plutôt l'espérance de la loi:
[TeX]P([Xj<x] | [Xj=min(Xi)])[/TeX]
Mais me voilà bien avancé lol

 #22 - 23-06-2013 13:32:09

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

longueur du plus petit morxeau

Tu confonds XY avec "X et Y", des variables aléatoires et des évènements...

 #23 - 23-06-2013 18:26:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3437

Longueur du plus petit morceeau

Pour n=2 je trouve 1/4.
Pour n=3, c'est un peu plus compliqué. J'observe les 2 cassures, je prends comme référence la première rencontrée x à partir de 0, et je discute sur la position de l'autre.
Pour 0<=x<=1/3, il y a 2 intervalles pour lesquels x n'est pas le plus petit: entre x et 2x, et entre (1-x) et x. Comme la valeur moyenne dans ces intervallles est x/2, ça donne l'intégrale de 2x(x/2) soit x².
Dans l'intervalle restant, 1-3x, c'est x qui est le plus petit, il faut chercher l'intégrale de x(1-3x).
La somme de ces intégrales donne dans l'intervalle 1/18-2/81.

Pour 1/3<=x<=1, x n'est jamais le plus petit. La moyenne du plus petit sera (1-x)/4, la totalité sera l'intégrale de (1-x)/4 qui donne sauf erreur 1/18.

Sur tout l'intervalle entre 0 et 1, je trouve 7/81.

 #24 - 23-06-2013 19:26:24

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

longieur du plus petit morceau

Bonne idée nodgim, tu es bien parti. Cependant, il faut savoir que la plus petite valeur valeur rencontrée (le minimum des 2 nombres tirés) ne se répartit pas uniformément sur [0;1]. Regarde le message de dylasse dans le sujet sur le minimum de n nombres tirés aléatoirement.

 #25 - 23-06-2013 20:51:14

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Messages : 566

Longueur du plus petti morceau

Je vois que personne n'a pu ne serait-ce qu'approcher la solution. Hormis les conjectures. Pourtant, on a [latex]n[/latex] morceaux qui suivent tous la même loi d'espérance [latex]\frac{1}{n}[/latex] et comme par hasard, on trouve alors une espérance de [latex]\frac{1}{n^2}[/latex] pour le plus petit d'entre eux. Il y a forcément un raisonnement simple qui mène à ce résultat. ça ne peut pas être une coïncidence. Il doit y avoir quelque chose à faire avec Bayes.

On ne cherche vraiment pas quelque chose qui ressemblerait à ça ?
[TeX]P([Xj<x] | [Xj=min(Xi)])[/TeX]

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