Intuition:$\frac{1}{n}$

n=2 -> E[min(X)] = 1/3
n=3 -> E[min(X)] = 1/4

n quelconque -> E[min(X)] = 1/(n+1)

Pour n=1 1/4

Pour n    $\frac{1}{2^(n+1)}$

j'avais mal lu,mais ça m'a donné l'idée de ton problème!
je m'étonne parfois

Je tente le raisonnement suivant, vraiment sans certitude.
On sait que les tailles Xi des n morceaux suivent la même loi de probabilité et ont tous pour espérance 1/n. Donc, chaque Xi a la probabilité 1/n d'être le plus petit. Et comme E(Xi)=$\frac{1}{n}$ et que donc P(Xj=min(Xi))=$\frac{1}{n}$, on a alors E(min(Xi)) = $\frac{1}{n^2}$

Si on coupe aléatoirement un bâton de 1 mètre en 2 bouts puis on prend le plus petit et on recommence,je pense que:
n = nombre de coupe
longueur moyenne du plus petit bout:$\frac{1}{4^n}$
qu'en penses tu?

J'ai trouvé enfin je crois!

l=$\frac{1}{2n}$

j"obtiens l=$\frac{1}{n^2}$

@PRINCELEROI : oui !

@Nombrilist : Je ne sais pas. Je pense qu'il est naturel d'utiliser des intégrales mais ce n'est peut-être pas obligatoire, surtout pour n=2 et n=3.

Ce qui me surprend dans cette histoire, c'est la généralisation...
J'attends de voir la réponse.

En effet, tu as raison . Xj et Xj<x ne sont probablement pas indépendantes. Sinon j'utilisais tout simplement E(XY) = E(X)E(Y). En ce cas, je pense qu'on cherche plutôt l'espérance de la loi:
$$P([Xj<x] | [Xj=min(Xi)])$$
Mais me voilà bien avancé

Pour n=2 je trouve 1/4.
Pour n=3, c'est un peu plus compliqué. J'observe les 2 cassures, je prends comme référence la première rencontrée x à partir de 0, et je discute sur la position de l'autre.
Pour 0<=x<=1/3, il y a 2 intervalles pour lesquels x n'est pas le plus petit: entre x et 2x, et entre (1-x) et x. Comme la valeur moyenne dans ces intervallles est x/2, ça donne l'intégrale de 2x(x/2) soit x².
Dans l'intervalle restant, 1-3x, c'est x qui est le plus petit, il faut chercher l'intégrale de x(1-3x).
La somme de ces intégrales donne dans l'intervalle 1/18-2/81.

Pour 1/3<=x<=1, x n'est jamais le plus petit. La moyenne du plus petit sera (1-x)/4, la totalité sera l'intégrale de (1-x)/4 qui donne sauf erreur 1/18.

Sur tout l'intervalle entre 0 et 1, je trouve 7/81.

Je vois que personne n'a pu ne serait-ce qu'approcher la solution. Hormis les conjectures. Pourtant, on a $n$ morceaux qui suivent tous la même loi d'espérance $\frac{1}{n}$ et comme par hasard, on trouve alors une espérance de $\frac{1}{n^2}$ pour le plus petit d'entre eux. Il y a forcément un raisonnement simple qui mène à ce résultat. ça ne peut pas être une coïncidence. Il doit y avoir quelque chose à faire avec Bayes.

On ne cherche vraiment pas quelque chose qui ressemblerait à ça ?
$$P([Xj<x] | [Xj=min(Xi)])$$