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 #1 - 20-06-2013 20:41:53

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Longuur du plus petit morceau

On découpe aléatoirement un bâton de 1 mètre en n morceaux. En moyenne, quelle sera la longueur du plus petit des n morceaux ?

1) Lorsque n=2

2) Lorsque n=3

3) Pour n quelconque


Précisions : Le découpage aléatoire sera assimilé au tirage au sort de n-1 nombres de l'intervalle [0 ; 1], chacun de ces nombres étant tiré selon une loi uniforme continue.



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 #2 - 20-06-2013 20:57:44

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

longueur du plus petit morcezu

Je tente la conjecture d'une espérance de [latex]\frac{1}{n^2}[/latex].
Est-ce correct ?

 #3 - 20-06-2013 21:38:01

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1204

Logueur du plus petit morceau

Intuition:[latex]\frac{1}{n}[/latex]

 #4 - 20-06-2013 22:58:33

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,568E+3

Longueur d plus petit morceau

Forfait...

Je ne suis pas très mathématicien et je me lasse assez vite de ces
"variations sur un même problème"

Tu proposais des trucs plus variés avant ! Mais d'un autre côté, pour la bande de passionnés, c'est sûrement une boîte à trésor ce genre de problème.

Je vais rester fainéant et juste suivre ce problème après la fin du temps. big_smile

 #5 - 20-06-2013 23:04:22

Gulio
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 8

Longueru du plus petit morceau

n=2 -> E[min(X)] = 1/3
n=3 -> E[min(X)] = 1/4

n quelconque -> E[min(X)] = 1/(n+1)

 #6 - 21-06-2013 10:57:57

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

longueur du pkus petit morceau

Oui Nombrilist, bravo, c'est la bonne formule.

Reste à trouver pourquoi.

 #7 - 21-06-2013 11:35:44

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1204

longueir du plus petit morceau

Pour n=1 1/4

Pour n    [latex] \frac{1}{2^(n+1)}[/latex]

j'avais mal lu,mais ça m'a donné l'idée de ton problème!
je m'étonne parfois roll

 #8 - 21-06-2013 12:10:47

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

longueur du plus peyit morceau

@PRINCELEROI : Ok pour le cas n=2. Ce n'est pas la bonne formule pour le cas général. Essaye de voir si ce que se passe pour n=3.

 #9 - 21-06-2013 15:59:46

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

longyeur du plus petit morceau

Je tente le raisonnement suivant, vraiment sans certitude.
On sait que les tailles Xi des n morceaux suivent la même loi de probabilité et ont tous pour espérance 1/n. Donc, chaque Xi a la probabilité 1/n d'être le plus petit. Et comme E(Xi)=[latex]\frac{1}{n}[/latex] et que donc P(Xj=min(Xi))=[latex]\frac{1}{n}[/latex], on a alors E(min(Xi)) = [latex]\frac{1}{n^2}[/latex]

 #10 - 21-06-2013 17:18:00

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1204

Lonngueur du plus petit morceau

Pour n = nombre de bout

longueur minimale = [latex]\frac{1}{2^n}[/latex]

 #11 - 21-06-2013 17:24:15

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
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oLngueur du plus petit morceau

Si on coupe aléatoirement un bâton de 1 mètre en 2 bouts puis on prend le plus petit et on recommence,je pense que:
n = nombre de coupe
longueur moyenne du plus petit bout:[latex]\frac{1}{4^n}[/latex]
qu'en penses tu?

 #12 - 21-06-2013 17:25:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Longuer du plus petit morceau

@Nombrilist : Ce raisonnement ne tient pas. Essaye déjà de voir ce qui se passe pour n=3.

@PRINCELEROI : Ce n'est pas la bonne formule pour le cas général. Essaye de voir si ce que se passe pour n=3. Oui pour ton 1/4^n.

 #13 - 21-06-2013 17:54:40

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
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Longueur du puls petit morceau

J'ai trouvé enfin je crois!

l=[latex]\frac{1}{2n}[/latex]

 #14 - 21-06-2013 17:58:41

titoufred
Elite de Prise2Tete
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longueur du plus petit motceau

Ce n'est pas la bonne formule. Essaye de voir si ce que se passe pour n=3.

 #15 - 21-06-2013 21:07:55

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Longuuer du plus petit morceau

j"obtiens l=[latex]\frac{1}{n^2}[/latex]

 #16 - 21-06-2013 21:11:29

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

longueur du plus petit lorceau

Est-ce qu'on est obligé de passer par des intégrales ou bien est-ce qu'un raisonnement plus simple est possible ?

 #17 - 21-06-2013 23:59:06

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Longueur d uplus petit morceau

@PRINCELEROI : oui !

@Nombrilist : Je ne sais pas. Je pense qu'il est naturel d'utiliser des intégrales mais ce n'est peut-être pas obligatoire, surtout pour n=2 et n=3.

 #18 - 22-06-2013 20:27:20

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Longueur du plus pettit morceau

Titoufred, je ne comprends pas pourquoi mon raisonnement est faux. Soit Xj = min {Xi}. On cherche bien l'espérance de la loi [latex]P([Xj=min(Xi)] \cap [Xj<x]) [/latex] ?

 #19 - 23-06-2013 09:23:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3106

Longuur du plus petit morceau

Ce qui me surprend dans cette histoire, c'est la généralisation...
J'attends de voir la réponse.

 #20 - 23-06-2013 11:19:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

longueut du plus petit morceau

@Nombrilist : Quelle formule utilises-tu, peux-tu la formaliser ? Ton raisonnement devrait également marcher avec max à la place de min, ce qui pose problème.

@nodgim : As-tu la réponse au cas n=2 ? au cas n=3 ?

@Gulio : désolé, je t'ai zappé. Ce n'est pas la bonne formule.

 #21 - 23-06-2013 11:51:21

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

kongueur du plus petit morceau

En effet, tu as raison lol. Xj et Xj<x ne sont probablement pas indépendantes. Sinon j'utilisais tout simplement E(XY) = E(X)E(Y). En ce cas, je pense qu'on cherche plutôt l'espérance de la loi:
[TeX]P([Xj<x] | [Xj=min(Xi)])[/TeX]
Mais me voilà bien avancé lol

 #22 - 23-06-2013 13:32:09

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Longueur du lus petit morceau

Tu confonds XY avec "X et Y", des variables aléatoires et des évènements...

 #23 - 23-06-2013 18:26:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3106

longueir du plus petit morceau

Pour n=2 je trouve 1/4.
Pour n=3, c'est un peu plus compliqué. J'observe les 2 cassures, je prends comme référence la première rencontrée x à partir de 0, et je discute sur la position de l'autre.
Pour 0<=x<=1/3, il y a 2 intervalles pour lesquels x n'est pas le plus petit: entre x et 2x, et entre (1-x) et x. Comme la valeur moyenne dans ces intervallles est x/2, ça donne l'intégrale de 2x(x/2) soit x².
Dans l'intervalle restant, 1-3x, c'est x qui est le plus petit, il faut chercher l'intégrale de x(1-3x).
La somme de ces intégrales donne dans l'intervalle 1/18-2/81.

Pour 1/3<=x<=1, x n'est jamais le plus petit. La moyenne du plus petit sera (1-x)/4, la totalité sera l'intégrale de (1-x)/4 qui donne sauf erreur 1/18.

Sur tout l'intervalle entre 0 et 1, je trouve 7/81.

 #24 - 23-06-2013 19:26:24

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

oLngueur du plus petit morceau

Bonne idée nodgim, tu es bien parti. Cependant, il faut savoir que la plus petite valeur valeur rencontrée (le minimum des 2 nombres tirés) ne se répartit pas uniformément sur [0;1]. Regarde le message de dylasse dans le sujet sur le minimum de n nombres tirés aléatoirement.

 #25 - 23-06-2013 20:51:14

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Longueeur du plus petit morceau

Je vois que personne n'a pu ne serait-ce qu'approcher la solution. Hormis les conjectures. Pourtant, on a [latex]n[/latex] morceaux qui suivent tous la même loi d'espérance [latex]\frac{1}{n}[/latex] et comme par hasard, on trouve alors une espérance de [latex]\frac{1}{n^2}[/latex] pour le plus petit d'entre eux. Il y a forcément un raisonnement simple qui mène à ce résultat. ça ne peut pas être une coïncidence. Il doit y avoir quelque chose à faire avec Bayes.

On ne cherche vraiment pas quelque chose qui ressemblerait à ça ?
[TeX]P([Xj<x] | [Xj=min(Xi)])[/TeX]

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