Enigmes

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 #1 - 10-10-2009 14:21:14

sacredead
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 5

petit problème en pribablilité

un autobus transporte n passagers. au prochain arrêt, chacun d'entre eux peut descendre avec une proba   p.

la proba pour qu'un nouveau passager monte dans l'autobus est p0 et la proba pour qu'aucun nouveau passager ne monte dans l'autobus est  1-p0

trouver la proba pour que l'autobus contienne toujours  n passagers lorsqu'il repart...



good luck !


*la culture n'est pas un luxe, c'est une nécessité..*



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 #2 - 10-10-2009 15:48:07

ZosleX
Visiteur

Petit problème en probabillité

Je trouve que p=0.
Mais cela me parait bizarre.

 #3 - 10-10-2009 17:04:43

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Petit problème en proobablilité

Soit aucun passager ne descend et aucun ne monte, soit un passager sur les n descend et un nouveau passager monte.

Aucun passager ne descend : [latex](1-p)^n[/latex]
Aucun ne monte : [latex]1-p_0[/latex]

Un passager descend : [latex]np(1-p)^{n-1}[/latex]
Un passager monte : [latex]p_0[/latex]

D'où résultat, si je ne me trompe nulle part :
[TeX](1-p_0)(1-p)^n+np(1-p)^{n-1} = (1-p)^{n-1} ((1-p_0)(1-p)+np) [/TeX]
Dans un sens, un problème de probas n'est pas vraiment une énigme. Mais d'un autre côté, un exercice de probas intéressant comme celui-ci est un exercice où il faut faire preuve d'un minimum d'ingéniosité, et donc est un peu une énigme. Alors que dire ? C'est une énigme ou un exo de maths ?..

Crotte. Voilà un vrai problème insoluble hmm


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 #4 - 10-10-2009 21:34:05

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

petit problème en probabkilité

Je ne suis pas certain de ma réponse mais pour que l'autobus contienne toujours n passagers lorsqu'il repart, il faut qu'à l'arrêt m passagers descendent et m passager montent.

0 passager monte : [latex]1-p_0[/latex]
0 passager descend : [latex](1-p)^n[/latex]

1 passager monte : [latex]p_0[/latex]
1 passager descend : [latex]p(1-p)^{n-1}[/latex]

m passagers montent : [latex]p_0^m[/latex]
m passagers descendent : [latex]p^m (1-p)^{n-m}[/latex]

La probabilité que m passagers descendent et m passager montent est donnée par [latex]p_0^m p^m (1-p)^{n-m}[/latex]

Je ne suis pas sur que ce soit la réponse attendue...

 #5 - 12-10-2009 14:02:02

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

petit problème en probabliloté

Examinons tous les cas possibles :

0) 0 monte et 0 descend

proba 0 monte : 1 - p0
proba 0 descend : (1-p) ^ n

donc proba 0) = (1 -p0) x (1-p) ^ n

1) 1 monte et 1 descend

proba 1 monte : p0
proba 1 descend : n  p x (1-p) ^ (n - 1)

donc proba 1) = p0 x n  p x (1-p) ^ (n - 1)

2)  2 ou plus montent et le même nombre descend

proba 2 ou plus montent = 1 - p0 - (1 - p0) = 0

donc proba 2) = 0

Donc la proba toujours n passagers après arrêt  est :
(1 -p0) x (1-p) ^ n + p0 x n  p x (1-p) ^ (n - 1)

 #6 - 15-10-2009 23:43:11

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Peti tproblème en probablilité

Je trouve comme Dylasse. Mais il est curieux qu'un seul passager puisse monter.

 #7 - 15-10-2009 23:50:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Petit problème en prboablilité

J'ai posé , par MP , la question du nombre de passager pouvant monter , je n'ai pas eu de réponse et j'ai laissé tomber hmm

Vasimolo

 #8 - 16-10-2009 10:16:45

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

petit problème en peobablilité

Nombrilist a écrit:

Je trouve comme Dylasse. Mais il est curieux qu'un seul passager puisse monter.

Pourtant, d'après l'énoncé, il en monte au plus un...
A une erreur d'inattention près (oublié un [latex]p_0[/latex]) j'ai la même chose...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 24-10-2009 00:10:41

sacredead
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 5

Petit problème en probablilit

bonsoir à tous, je vais proposer une réponse (enfin essayer)

posons∶

n passagers
proba de descendre∶ p
proba pas descendre: (1-p)

proba monter: p0
proba aucun ne monte: (1-p0)


A: "l'autobus contient  n passagers après l'arrêt"
Bk: "k passagers descendent et k passagers montent"
avec k = 0,...,n

sachant que les Bk sont incompatibles,
p(A)= p(B0UB1UB2...UBn)
donc P(A)= somme P (Bk)


P(B0)==> 0 passagers descendent et 0 montent∶
P(B0) = (1-p)^n .(1-P0)


P(B1) =  1 passagers descend et 1 monte
P(B1) = [latex]C_n^1[/latex]  p .(1-p)^(n-1) . p0

P(B2)= [latex]C_n^2[/latex]  p^2  . (1-p)^(n-2) . p0²

en generalisant il vient

P(Bk) = [latex]C_n^k[/latex]  p^k  . (1-p)^(n-k) . p0^k

donc P(A)= P(B0) + somme P(Bk)

ainsi il vient :

P(A) = (1-p)^n . (1-po) + somme [latex]C_n^k[/latex]  p^k  . (1-p)^(n-k) . p0^k

voila, j'attends vos critiques   =)

 #10 - 24-10-2009 12:34:45

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

petit problème en peobablilité

Comme promis, voilà ma critique lol

La phrase "la proba pour qu'un nouveau passager monte dans l'autobus est p0 et la proba pour qu'aucun nouveau passager ne monte dans l'autobus est  1-p0" dit clairement que, soit 0 passager monte, soit 1 seul.

Si ce n'était pas le cas, il faudrait préciser combien de passagers peuvent monter dans le bus (avec une proba de p0 chacun). Si on ne précise pas, alors une infinité de personnes peuvent monter, et donc, tant que p0 est différent de 0, une infinité de personnes monteront (en gros, le bus repartira plein à ras bord et laissera une foule infinie de déçus qui attendront le prochain lol)


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