Soit aucun passager ne descend et aucun ne monte, soit un passager sur les n descend et un nouveau passager monte.

Aucun passager ne descend : [latex](1-p)^n[/latex]
Aucun ne monte : [latex]1-p_0[/latex]

Un passager descend : [latex]np(1-p)^{n-1}[/latex]
Un passager monte : [latex]p_0[/latex]

D'où résultat, si je ne me trompe nulle part :
[TeX](1-p_0)(1-p)^n+np(1-p)^{n-1} = (1-p)^{n-1} ((1-p_0)(1-p)+np) [/TeX]
Dans un sens, un problème de probas n'est pas vraiment une énigme. Mais d'un autre côté, un exercice de probas intéressant comme celui-ci est un exercice où il faut faire preuve d'un minimum d'ingéniosité, et donc est un peu une énigme. Alors que dire ? C'est une énigme ou un exo de maths ?..

Crotte. Voilà un vrai problème insoluble

Examinons tous les cas possibles :

0) 0 monte et 0 descend

proba 0 monte : 1 - p0
proba 0 descend : (1-p) ^ n

donc proba 0) = (1 -p0) x (1-p) ^ n

1) 1 monte et 1 descend

proba 1 monte : p0
proba 1 descend : n  p x (1-p) ^ (n - 1)

donc proba 1) = p0 x n  p x (1-p) ^ (n - 1)

2)  2 ou plus montent et le même nombre descend

proba 2 ou plus montent = 1 - p0 - (1 - p0) = 0

donc proba 2) = 0

Donc la proba toujours n passagers après arrêt  est :
(1 -p0) x (1-p) ^ n + p0 x n  p x (1-p) ^ (n - 1)

J'ai posé , par MP , la question du nombre de passager pouvant monter , je n'ai pas eu de réponse et j'ai laissé tomber

Vasimolo

bonsoir à tous, je vais proposer une réponse (enfin essayer)

posons∶

n passagers
proba de descendre∶ p
proba pas descendre: (1-p)

proba monter: p0
proba aucun ne monte: (1-p0)


A: "l'autobus contient  n passagers après l'arrêt"
Bk: "k passagers descendent et k passagers montent"
avec k = 0,...,n

sachant que les Bk sont incompatibles,
p(A)= p(B0UB1UB2...UBn)
donc P(A)= somme P (Bk)


P(B0)==> 0 passagers descendent et 0 montent∶
P(B0) = (1-p)^n .(1-P0)


P(B1) =  1 passagers descend et 1 monte
P(B1) = [latex]C_n^1[/latex]  p .(1-p)^(n-1) . p0

P(B2)= [latex]C_n^2[/latex]  p^2  . (1-p)^(n-2) . p0²

en generalisant il vient

P(Bk) = [latex]C_n^k[/latex]  p^k  . (1-p)^(n-k) . p0^k

donc P(A)= P(B0) + somme P(Bk)

ainsi il vient :

P(A) = (1-p)^n . (1-po) + somme [latex]C_n^k[/latex]  p^k  . (1-p)^(n-k) . p0^k

voila, j'attends vos critiques   =)