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 #1 - 02-10-2010 00:57:04

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Enroulage d'une bande autour d'n cylindre

J'ai récemment acheté une machine. Sur cette dernière, il y a un cylindre en rotation sur lequel est fixée une bande abrasive comme le montre l'animation (la bande est en rouge).

Flash non détécté

Plein Ecran / Télécharger SWF
J'achète donc des rouleaux de bande d'une certaine largeur que je dois découper judicieusement pour pouvoir faire le montage...
Les extrémités de la bande passent à l'intérieur de petites fentes se trouvant à chaque extrémité du cylindre et sont pincées par un mécanisme à l'intérieur. Les arrêtes des fentes en contact avec la bande (sur lesquelles cette dernière est pliée) sont dans un même plan passant par l'axe du cylindre.
Il ne faut pas que les enroulements de la bande soient jointifs mais qu'il y ait un jour de l'ordre de quelques millimètres.
On trouve dans le commerce des rouleaux de largeur [latex]B_1=75 mm[/latex] et [latex]B_2=100 mm[/latex].
Les données sont les suivantes:
Diamètre du cylindre: [latex]D=127 mm[/latex]
Longueur du cylindre: [latex]L=405 mm[/latex]
longueur des fentes: [latex]l=25 mm[/latex]
Voici à quoi ressemble la bande découpée et déroulée (possibilité de faire un zoom).

Quel rouleau me donnera le meilleur montage et quelles sont les valeurs de [latex]\alpha[/latex] et [latex]\delta[/latex] qu'il faut que je prenne, pour faire le bon découpage?
Bon courage et bonne prise de tête!



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 #2 - 02-10-2010 22:59:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

nEroulage d'une bande autour d'un cylindre

Je ne comprends pas bien la question , on peut calculer [latex]\alpha[/latex] en fonction de [latex]B[/latex] dans les deux cas ( [latex]\delta[/latex] aussi mais pourquoi ? ) .

Que peut bien vouloir signifier "meilleur montage" ?

Vasimolo

 #3 - 03-10-2010 09:49:32

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

enroulage d'unr bande autour d'un cylindre

oui, dans les deux cas, on peut trouver plusieurs couples [latex](\alpha,\delta)[/latex] qui permettent de faire le montage (suivant le nombre d'enroulements). J'entends par "bon montage":
1) Les enroulements ne se chevauchent pas.
2) Le jour entre les enroulements est faible (quelques millimètres, disons que plus de dix, c'est de trop).

 #4 - 03-10-2010 12:13:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

enroukage d'une bande autour d'un cylindre

Je n'avais pas compris le rôle de la fente que j'avais confondue avec l'espace entre les bandes .

Une petite précision quand même , les fentes sont dans un plan contenant l'axe du cylindre mais tu ne précises pas si elle sont du même côté de l'axe ( c'est peut-être sans importance smile )

Vasimolo

 #5 - 03-10-2010 12:44:01

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

enroulahe d'une bande autour d'un cylindre

Les deux fentes ne sont pas du même coté. On les voit bien sur l'animation en plein écran. La bande est pliée sur une arrête de chaque fente. La distance à plat entre ces deux plis est [latex]\delta[/latex]. Les deux arrêtes en question sont dans un même plan contenant l'axe de révolution du cylindre.
J'espère ne pas trop t'embrouiller!

 #6 - 03-10-2010 13:47:55

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1923
Lieu: UK

Enroulage d'ne bande autour d'un cylindre

L'exercice est bien compliqué !

Soit A, l'angle de la bande sur le rouleau
Soit L, la largeur de bande
Soit D, le diametre du rouleau

Première condition:
Le top de la bande se trouve a quelques millimètres après un tour
tan(A)piD = L + jointure
ce qui donne un angle entre 15 et 20 pour une bande de 100mm
et un angle entre 10 et 15 pour une bande de 75mm.

Deuxième condition:
Le bas de la bande commence a 25mm du haut du cylindre
le haut de la bande se trouve a 25mm du bas du cylindre, ceci après un nombre entier de demi tour.
=> La distance verticale a parcourir sur le cylindre est 355mm (H-2*25mm) + une largeur de bande (inclinée) = 455+quelques millimètres

Dans un premier temps on néglige l'angle d'inclinaison et la taille du joint:
avec 100mm de largeur, la bande doit parcourir 4.5 tours. En prenant en compte l'inclinaison déterminée précédemment, la hauteur verticale de bande est de 100/cos(A) = 103 a 105mm ce qui donne un recouvrement (jointure négative) [4.5*103=463>455+3]

avec 75mm de largeur, il faut maintenant parcourir 5.5 tours [455/75 = 6+]
je passe les calculs ... la résolution est graphique...
ce qui donne un angle de 11.123 deg et un joint de 2.01mm
La longueur de bande requise (fente a fente) est de 2231.45 2231.31, je couperai un peu plus long pour clipper les deux bouts big_smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 03-10-2010 18:07:07

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1923
Lieu: UK

enroulage d'une bande autour s'un cylindre

Je rajoute les formules:

condition 1
[TeX]\pi Dtan{A}-L=j[/latex] avec j la jointure

condition 2
[latex]405=25+j+4.5(L/cos(A)+j)+25
355=5.5j+\frac{4.5L}{cos{A}}[/TeX]
le plus simple pour résoudre cela c'est de remplacer j en C2 par son équivalent donné par C1, puis de modifier A jusqu'à une valeur suffisamment précise

Ensuite la longueur
le bord du bas parcours 5.5 tours. il se trouve à Lincliné du haut de la fente du bas; soit à 355+L/cos(A)  du bas de la fente du haut.
[TeX]L(bord.du.bas) = sqrt{(5.5\pi D)^2+(355+75/cos(A))^2}[/TeX]
il faut ensuite enlever un chouille pour etre au niveau du bas de la fente du bas
-sin(A)(75/cos(A)-25) et ajouter un chouille du cote de la fente du haut 25sin(A)
ce qui donne 2236.41-9.92+4.82=2231.31mm

Je rajoute quelques dessins pour eclaircir...
Tout d'abord, la bande est appliquée sur le cylindre déroulée a gauche
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-bande1.png
le chouille de droite à ajouter
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-bande2.png
celui de gauche à soustraire
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-bande3.png


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 03-10-2010 19:21:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

enroulagr d'une bande autour d'un cylindre

Je dois avoir raté quelque chose car en prenant [latex]\alpha[/latex] suffisamment petit , on fait ce que l'on veut avec l'espace entre les bandes . Ce qui est sûr c'est que le "25mm" pour les fentes est sans intérêt .

Il me semble que c'est un problème magnifiquement illustré mais plutôt mal posé smile

Je me trompe sûrement tongue

Vasimolo

 #9 - 03-10-2010 19:43:37

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

enroulage d'une bande aitour d'un cylindre

Effectivement, si il n'y avait pas les fentes (si la bande était scotchée sur le cylindre par exemple), on pourrait gérer le jour entre les enroulements à loisir. Mais elles sont là, ce qui implique une relation entre l'angle, l'espacement, le nombre de tours, le diamètre et la longueur du cylindre et enfin, la largeur de la bande... Je te l'accorde, le problème est peut-être mal posé, désolé, j'ai fait de mon mieux, mais je peux répondre à tes questions.

 #10 - 03-10-2010 20:17:31

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Enroulage d'une bande autour d'un cylindr

Suite à l'intervention de franck9525, je me suis aperçu que j'avais commis une (petite) boulette sur le schéma. Je viens donc de le changer.
Un grand merci et bravo à Franck qui a fait plus de travail que je ne l'attendais, à cause de mon erreur.

 #11 - 06-10-2010 15:22:13

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

enroulage f'une bande autour d'un cylindre

J'aurais sans doute dû donner l'indice suivant: la courbe décrite par un bord de la bande est une hélice circulaire.
Je note [latex]p[/latex], le pas, i.e, la distance parcourue verticalement durant un tour ou une période. J'introduis également [latex]j[/latex], l'espace entre les bandes, tel que:
[TeX]\cos(\alpha)=\frac{B+j}{p}[/TeX]
D'autre part, un formulaire sur les hélices circulaires me donne:
[TeX]\tan(\alpha)=\frac{p}{\pi D}[/TeX]
Finalement,
[latex]\sin(\alpha)=\frac{B+j}{\pi D}[/latex].
A présent, j'appelle [latex]n[/latex] le nombre de tours entiers qu'il faut faire pour accrocher la bande aux deux extrémités. En raisonnant sur la distance verticale parcourue, on obtient:
[latex](n+1/2)p=L-l+\frac{B}{\cos(\alpha)}-l[/latex].
En posant:
[latex]C=\pi D(n+1/2)[/latex] et [latex]d=L-2l[/latex], on obtient finalement:
[latex]\sin(\alpha)=\frac{CB+d\sqrt{C^2+d^2-B^2}}{C^2+d^2}[/latex].
Pour que la bande ne se chevauche pas, il faut que [latex]j>0[/latex].  Si on cherche [latex]n[/latex] pour que [latex]j[/latex] soit le plus petit possible, on trouve:
[latex]n=5[/latex], [latex]j\approx 2, 0[/latex] mm pour [latex]B=75[/latex], et
[latex]n=3[/latex], [latex]j\approx 24,9[/latex] mm pour [latex]B=100[/latex].
Le meilleur montage se fera donc avec la bande de largeur 75mm. Dans ce cas, pour l'angle de découpe, on trouve:
[latex]\alpha\approx 11[/latex]deg.
Pour la distance dépliéé [latex]\delta[/latex], on peut utiliser l'abscisse curviligne de l'hélice. Il s'agit de la distance parcourue le long d'un bord de la bande durant cinq tours et demi, moins une petite correction (merci franck pour cette dernière wink).

On trouve finalement:
[latex]\delta=\frac{C}{\cos(\alpha)}-B\tan(\alpha)[/latex],
ce qui donne:
[latex]\delta \approx 2222[/latex] mm.
Bon, la définition de [latex]\delta[/latex] est bien maladroite, il aurait été préférable de choisir la distance entre les pointes, je pensais juste alléger les calculs en procédant ainsi.
Bref, merci à tous ceux qui ont essayé.
PS: Je donne la référence de la machine, ça pourra permettre à d'autres personnes de retrouver ce résultat. Il s'agit de la Jet 16-32 plus.

 #12 - 06-10-2010 15:33:24

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1923
Lieu: UK

enroulage d'unr bande autour d'un cylindre

Ah bien sur, une ponceuse de parquet lol


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