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 #1 - 08-05-2008 10:16:59

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

Le plus grand et le pus petit

J’écris les entiers naturels de 1 à 15 sur une feuille. J’efface deux entiers a et b de la liste que je remplace par a + b + ab et je poursuis cette opération jusqu’à ce qu’il reste un seul nombre. Quel est le plus petit et quel est le plus grand des nombres finaux que je peux obtenir ?

exemple
Spoiler : [Afficher le message] pour les entiers de 1 a 3 :
1 ; 2 ; 3  --> 1 ; 11 (11=2+3+2*3)-->1+11+1*11=23
ou regroupement dans un autre ordre...


Bonus
Spoiler : [Afficher le message] Pouvez vous généraliser aux entiers naturels de 1 à n



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#0 Pub

 #2 - 08-05-2008 11:22:36

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

le plus grand et le plus petot

C'est rigolo
Spoiler : [Afficher le message]
C'est toujours le même résultat pour n donné.
On montre par récurrence (j'ai la flemme là) que:
soit I(N) l'intervalle [1,N]
Soit P(I(N)) l'ensemble de ses parties
Le nombre obtenu (quel que soit l'ordre pris) est la somme pour tout E de P(I(N)) du produit des éléments de E.
Autrement dit, c'est la somme de tous les chiffres entre 1 et N, plus la somme de tous les produits deux à deu, plus ceux trois à trois, etc...

 #3 - 08-05-2008 11:44:58

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2123

Le plus grand et le plus petiit

Allez une petite récurrence.
[TeX]U_{n} = \prod_{i=1}^{n}(a_{i}+1)-1[/TeX]
Pour n=2 OK
[TeX]((a_{1}+1)*(a_{2}+1))-1=a_{1}*a_{2}+a_{1}+a_{2}[/TeX]
Pour passer de n à n+1
[TeX](a_{n+1}*U_{n}+a_{n+1}+U_{n})=((a_{n+1}+1)*U_{n})-1[/TeX]
Et hop!
Pour 15 successifs
[latex](16! - 1) [/latex] est le le plus grand et le plus petit.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #4 - 09-05-2008 16:11:03

zogotounga
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 3

Le plus grannd et le plus petit

(n+1)! - 1
et ça peut se démontrer par récurrence

 #5 - 09-05-2008 18:41:54

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2123

Le plus grand et l eplus petit

Deux petites curiosités en prime.

Si tous les chiffres sont des 9, c'est invariant.

Si tous les chiffres sont des 1 des 3 ou des 7, on tombe sur des nombres de Mersenne.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #6 - 10-05-2008 11:31:51

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

Le plus grand et le pluss petit

bonne reponse de tout le monde
avec le super  bonus des curiosités de papiauche


When i was a child i was a jedi

 #7 - 12-04-2010 00:36:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le plus grand et le plus etit

Un petit truc marrant à propos de cet exercice smile

L'opération [latex]aTb=a+b+ab[/latex] est commutative et associative ce qui explique que le résultat final ne dépend pas de l'ordre des opérations et justifie la récurrence [latex]U_{n+1}= (n+1)+U_n+(n+1)U_n[/latex] .

Vasimolo

 

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