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 #26 - 18-11-2015 19:20:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

Nombres récalcitraants

Il te manque (2,12,2) --->692 et ce n'est pas 389 mais 383. Sinon c'est OK et validé, bravo.
Bon pour la méthode tu verras demain, on peut faire plus rapide.

#0 Pub

 #27 - 18-11-2015 20:23:40

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

nombres récalcitrznts

Effectivement, j'ai manqué l'un ai fait une erreur de transcription pour l'autre. Beau problème, ma solution est clairement trop lourde..impatient de voir les autres réponse et la solution...en attendant la prochaine...

 #28 - 19-11-2015 09:24:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

Nombres récalcitrats

Tout d'abord merci aux participants qui se sont penchés sur ce problème pour le moins....récalcitrant.

La question posée sur le nombre attendu de récalcitrants à 13 de 3 chiffres a reçu de la part de plusieurs d'entre vous une réponse probabiliste qui donne un nombre dont l'entier vaut exactement la valeur trouvée par le calcul.
L'idée est celle ci: un chiffre qui n'a que 10 choix possibles ne pourra obtenir un zéro modulo 13 que dans 10 cas sur 13, et donc les cas d'impossiblité sont de (13-10)/13=3/13. Rapporté aux 3 chiffres, le nombre probable de récalcitrants est de 900*(3/13)^3=11,...

Pour trouver ces nombres autres que par élimination, Masab et Portugal se sont échinés là dessus jusqu'au résultat, avec chacun une méthode originale. Je donne ici la mienne qui est encore différente.

Donnons le tableau des valeurs modulo 13 des chiffres c,d,u.
...0...1...2...3...4...5...6...7...8....9
c..0...9...5...1..10..6..2...11..7....3.....mc=4,8,12.
d..0..10..7...4...1..11..8...5...2...12....md=3,6,9
u..0...1...2...3...4...5...6...7...8...9.....mu=10,11,12

le tableau est prolongé par les 3 valeurs manquantes m [13]

Quand un nombre est divisible par 13, il vaut 0 [13] et donc l'équation est:
c+d+u=0 [13] c,d et u étant les valeurs mod 13 du tableau.

Pour qu'il y ait impossibilité de résolution de l'équation, il faut:
mc+d+u=0 [13]
c+md+u=0 [13]
c+d+mu=0 [13]

Système qui se résout facilement et qui donne les valeurs de c,d,u en fonction de mc, md, mu.
c=(mc-md-mu)/2
d=(md-mc-mu)/2
u=(mu-mc-md)/2

Il ne reste plus qu'a remplacer mc, md, mu par les valeurs numériques, soit 3*3*3=27 résultats possibles:
(mc,md,mu)--->(c,d,u)---->nombre décimal

Je donne les 1ères  valeurs:
(4,3,10)--->(2,1,8)--->648
(4,3,11)--->(8,7,2)--->pas de nombre, car 8 un mc.
(4,3,12)--->(1,0,9)--->309
....


Nota: pour 4 chiffres, la formule est
m=(2mm-mc-md-mu)/3
c=(2mc-mm-md-mu)/3
d=(2md-mm-mc-mu)/3
u=(2mu-mm-mc-md)/3

 #29 - 19-11-2015 12:08:48

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

nombres récalcitranys

J'aime beaucoup vos 2 solutions

@masab : j'aime l'élégance avec laquelle tu jongles avec les modulo 3 avant de conclure grâce à une inversion de matrice pour "renverser les inconnues". C'est  acrobatique mais joli...et surtout c'est conceptuellement facile à suivre pour les amateurs tel que moi.

Une chose que je ne comprend pas en lisant les calculs :

3*  ( 9∗u+10∗b+c ) ≡0 mod13
(1+13*2) u+(3*13 - 9) ∗b+3* c≡0 mod13
u = 9∗b- 3 * c mod13  alors que tu écris  u≡9∗b −c mod13
Comme tu trouves les bons nombres à la fin je pense que je rate quelque chose. quoi ?

@nodgim : ta solution est moins amusante et pleine d'astuces que celle de masab mais est resserrée et "symétrique" si bien que les calculs semblent plus simples au bout du compte et plus "générale vue qu'elle permet de résoudre les nombre à 4 chiffres. As tu fait les calculs voir si le résultat est proche de (3/13)^4*9000=25.52..  ?

Mon cœur me fait donc pencher pour masab, la raison pour nodgim pour la médaille d'or. Je m'auto attribue le bronze !

 #30 - 19-11-2015 15:39:34

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

nombreq récalcitrants

Pour une congruence on écrit plutôt
[TeX]u \equiv 9\,b- 3\,c \mod 13[/TeX]
On peut éventuellement mettre
[TeX]u = 9\,b- 3\,c \mod 13[/TeX]
C'est une question de notation... C'est pareil puisque c'est modulo 13. Cela signifie que la différence entre le 1er membre et le 2ième membre est divisible par 13.

J'ai dit que cette équation est équivalente à la précédente (non écrite dans ce message). Cela tient à ce que si l'on multiplie par 9 cette dernière équation, on retrouve la précédente. En effet
[TeX]3\times 9\equiv 1\mod 13[/TeX]
Par suite multiplier une congruence par 3 puis par 9 revient à la multiplier par 1.
Notons que tous les entiers 1,2,...,12 sont inversibles modulo 13. C'est facile à vérifier.

 #31 - 19-11-2015 15:44:45

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

nombres réxalcitrants

oui ca je suis d'accord. mais tu avais ecrit:
u = 9b - c et non pas u= 9b- 3c

typo  ?

 #32 - 19-11-2015 17:17:22

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

nombres récalcitranys

Oui une faute de frappe ! J'ai rectifié.

 

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