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#1 - 17-12-2010 22:42:45
- EfCeBa
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Polynome de degré 2 àà 3 solutions
Jean-Paul Delahaye propose dans son livre Paradoxes, un polynôme du second degré avec 3 solutions. Le voici : [TeX]\frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)} = 1[/TeX] Il s'agit d'une somme de polynomes de degrés 2, donc un autre polynome de degré 2 et on voit clairement que x = a, x = b, et x = c sont solutions.
Une explication ?
#2 - 17-12-2010 23:42:04
- Tromaril
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polynome de degré 2 à 3 solutiins
Si le polynôme a trois racines distinctes c'est qu'il est nul, donc la somme des trois polynôme doit se simplifier pour donner 1
#3 - 17-12-2010 23:49:31
- scrablor
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Polynome de degré 22 à 3 solutions
Joli paradoxe basé sur une imprudence : ... une somme de polynômes de degré 2, donc un autre polynôme de degré 2...
Eh non, pas forcément. La variable disparaît ici et le polynôme du premier membre est de degré 0. Alors l'équation 1=1 n'aura pas une mais une infinité de solutions
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#4 - 18-12-2010 00:47:48
- rivas
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polynome fe degré 2 à 3 solutions
#5 - 18-12-2010 07:49:33
- gwen27
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Polynome de degré 2 à 3 solutionss
Dans cette équation, il faut d'abord tout remettre au même dénominateur:
(a-b)(b-c)(c-a)
La mise en facteur nous donne alors :
x^2 (a-b+b-c+c-a ) + x ( a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2 ) + ....= (a-b)(b-c)(c-a)
(0x^2)+(0x)+ b(a^2)-a(b^2)...=(a-b)(b-c)(c-a)
...donne :
1=1 ce qui est une évidence.
Ce polynome n'en est pas un, c'est juste la complication astucieuse d'une égalité basique, vraie quel que soit x, a, b et c ( avec a b et c différents )
#6 - 18-12-2010 08:15:25
- Fireblade
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Polynome de degré 2 à 3 solutionss
Je pense qu'en réduisant au même dénominateur on arrive à 1=1. Ce n'est donc pas un polynôme du second degré mais le polynôme nul qui admet tout nombre comme solution. Pour info une somme de polynômes de degré 2 donne un polynôme de degré INFÉRIEUR OU ÉGAL À 2! (Je dis ça sans faire les calculs mais grâce aux théorèmes =)
#7 - 18-12-2010 08:15:53
- dylasse
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polynome de dzgré 2 à 3 solutions
Si un polynome de degré 2 a 3 racines distinctes, alors c'est la fonction nulle.
#8 - 18-12-2010 09:41:26
- franck9525
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Polynome de degré 2 à 3 soluions
Une équation du second degré devrait admettre 2 racines, qui peuvent être irrationnelles ou égales.
Cette équation est très jolie et effectivement, il semble que a, b ou c sont racines de cette équation du second degré. Pour éviter une contradiction avec le théorie, il faut que a=b par exemple; mais cela n'a pas beaucoup de sens de privilégier ces deux valeurs donc a=b=c mais pourquoi restreindre? La seule solution pour éviter le paradoxe est de montrer que la proposition est vrai quelque soit x.
On met tout cela avec le même dénominateur et on développe... [TeX]\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}\times\frac{(a-b)}{(a-b)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\times\frac{(b-c)}{(b-c)}+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}\times\frac{(a-c)}{(a-c)}[/TeX] attention aux signes [TeX]=\frac{(x-a)(x-b)}{(a-c)(b-c)}\times\frac{(a-b)}{(a-b)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\times\frac{(b-c)}{(b-c)}-\frac{(x-a)(x-c)}{(a-b)(b-c)}\times\frac{(a-c)}{(a-c)}[/TeX] on développe le numérateur [TeX]=\frac{[x^2-(a+b)x+ab](a-b)+[x^2-(b-c)x+bc](b-c)-[x^2-(a+c)x+ac](a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}[/TeX][TeX]=\frac{x^2[a-b+b-c-a+c]-x[(a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)-(a+c)(a-c)]+ab(a-b)+bc(b-c)-ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}[/TeX] on note que [latex][a-b+b-c-a+c]= 0[/latex] et aussi que [latex][(a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)-(a+c)(a-c)]=[a^2-b^2+b^2-c^2-a^2+c^2]=0[/latex]
il reste donc [TeX]=\frac{ab(a-b)+bc(b-c)-ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}[/TeX] et l'on développe encore pour ce rendre compte que le numérateur est indique au dénominateur
Ce qui nous donne comme equation paradoxale:[latex] \fbox {1 = 1}[/latex]
The proof of the pudding is in the eating.
#9 - 18-12-2010 11:28:22
- Franky1103
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Polynome de degré 2 à 3 sloutions
Bonjour, En réduisant au même dénominateur et en développant, les termes en x2 et en x s'annulent. Et donc tout x est solution (et non seulement a, b et c). Salutations.
#10 - 18-12-2010 12:31:35
- safino
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polynome de degré 2 à 3 solutiins
il fallait que deux solutions soient con fondus cad c=a ou a=c ou b=a ou b=c.
#11 - 18-12-2010 13:47:35
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Polynome de degré 2 à 3 soltuions
Ce n'est pas une équation du second degrés car : 1/(c-a)(c-b) + 1/(a-b)(a-c) + 1/(b-c)(b-a) = 0 Donc il y a une infinité de solution, à savoir tous les réels.
#12 - 18-12-2010 20:23:30
- safino
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Polynome de degrré 2 à 3 solutions
si o developpe et simplifie ce polynome on obtiendra un polynome de degré 1 de solution(x=0).
#13 - 18-12-2010 21:09:43
- Yannek
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Polynome de degré 2 à 3 solutiions
L'erreur est dans "il s'agit d'une somme de polynômes de degrés 2, donc un polynôme de degré 2" qu'il faut corriger en "il s'agit d'une somme de polynômes de degrés 2, donc un polynôme de degré inférieur ou égal à 2"
Le fait qu'on ait trois solutions prouve que le membre de gauche est un polynôme constant égal à 1.
#14 - 18-12-2010 23:57:06
- MthS-MlndN
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Polynome de dergé 2 à 3 solutions
Je repars de la fonction originelle : [TeX]\frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)}[/TeX] Je mets tout au même dénominateur : [TeX]\frac{(x - a)(x - b)(a-b)+(x - b)(x - c)(b-c)+(x-a)(x-c)(c-a)}{(a - b)(a - c)(b-c)}[/TeX] Je développe le numérateur : [TeX]\frac{(x^2 - (a+b)x+ab)(a-b)+(x^2 - (b+c)x+bc)(b-c)+(x^2-(a+c)x+ac)(c-a)}{(a - b)(a - c)(b-c)}[/TeX] Les termes en [latex]x^2[/latex] disparaissent vite : [latex]x^2(a-b)+x^2(b-c)+x^2(c-a)=0[/latex]
Les termes en x : idem. [latex]- (a+b)(a-b)- (b+c)(b-c)-(a+c)(c-a)=-(a^2-b^2)-(b^2-c^2)-(c^2-a^2)=0[/latex]
Il nous reste [latex]ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2[/latex] au numérateur.
Au dénominateur : [latex](a - b)(a - c)(b-c) = (a^2-ab-ac+bc)(b-c) = a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2[/latex] aussi...
Le soi-disant polynome du second degré est en fait égal à un pour tout x.
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#15 - 19-12-2010 09:30:42
- NickoGecko
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polunome de degré 2 à 3 solutions
Le Ch'Ef a dit "Il s'agit d'une somme de polynomes de degrés 2, donc un autre polynome de degré 2 et on voit clairement que x = a, x = b, et x = c sont solutions."
... pas vraiment en fait, car si l'on développe pour écrire l'expression sous la forme d'un polynôme en Ax² + Bx + C on trouve A et B = 0 et C = 1 donc l'expression se résume à 1=1 (trivial !) Il n'y a pas vraiment de polynôme Ou pour voir le bon côté des choses, il y a une infinité de solutions, dont a,b, ou c ...
intéressant !
Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)
#16 - 19-12-2010 13:03:58
- Nombrilist
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Polynome de deggré 2 à 3 solutions
Prenons la logique par le bon bout. Si le polynôme en question a 3 solutions, c'est que soit a=b (ou autre), soit l'équation est en fait 1=1 et il y a en réalité une infinité de solutions. Comme on ne peut pas avoir a=b, je pencherais plutôt pour l'autre hypothèse. Le flemme de vérifier.
#17 - 19-12-2010 20:25:55
- scarta
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Polynome de degré 2 à 3 sollutions
Un polynôme qui comporte trop de solutions est nul, et c'est aussi le cas de celui-ci: mis sur un même dénominateur, la partie gauche se simplifie en "1" (et comme chacun sait, 1=1 pour tout X).
#18 - 20-12-2010 01:32:09
- smoofy
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Polynome de deggré 2 à 3 solutions
#19 - 20-12-2010 14:02:15
- gasole
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Polynoe de degré 2 à 3 solutions
C'est clairement un polynôme ok (on suppose que a, b et c sont distincts bien sûr)... La SEULE raison pour qu'un polynôme de degré 2 ait 3 racines distinctes est que ça ne soit pas un polynôme de degré 2 :-)))
Pour la même raison, ça n'est pas non plus un polynôme de degré 1, c'est donc une constante, bien cachée certes, égale à 1 comme on peut le constater, et donc n'importe quelle valeur de x donne le même résultat.
#20 - 20-12-2010 14:45:31
- Nicouj
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Polynome de dgeré 2 à 3 solutions
l'arnaque de l'énoncé est de dire que le degré est 2. En fait le degré est d'au plus deux. Comme il y a au moins 3 racines incontestables, c'est qu'en fait le polynome doit nécessairement se simplifier en le polynome constant 0(x).
#21 - 21-12-2010 14:26:57
- EfCeBa
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Polynome de deegré 2 à 3 solutions
Ce petit problème a inspiré du monde Je tiens à signaler que dire qu'une somme de polynômes de degré 2 est un aussi polynôme de degré 2 est juste. Seulement ce polynôme peut avoir ses termes en X et X^2 nuls, et admettre une infinité de racines solution, ce qui est le cas ici...
#22 - 21-12-2010 16:28:45
- Nicouj
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poltnome de degré 2 à 3 solutions
C'est quoi alors le sens du degré d'un polynôme si le coeff du degré peut-être nul ;-) ?
#23 - 21-12-2010 18:00:12
- rivas
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poltnome de degré 2 à 3 solutions
EfCeBa a écrit:Ce petit problème a inspiré du monde Je tiens à signaler que dire qu'une somme de polynômes de degré 2 est un aussi polynôme de degré 2 est juste. Seulement ce polynôme peut avoir ses termes en X et X^2 nuls, et admettre une infinité de racines solution, ce qui est le cas ici...
Ce n'est pas pour être pénible mais par définition le degré d'un polynôme est le plus grand exposant des monômes composant le polynôme ayant un coefficient non nul. Donc un polynôme constant est de degré 0 et on ne peut pas dire qu'il est de degré 2...
#24 - 21-12-2010 18:03:51
- smoofy
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Polynme de degré 2 à 3 solutions
désolé EfCeBa mais je suis sur a 99% (oui il y a 1% pour l'humilité quoi ) que le degré d'un polynôme P= somme[k=1 à n] ( a(k)*X^k) est définit par max(k | a(k) est non nul) sans ca il n'y aurait pas unicité du degré et ca .... c'est très problématique !
Et la propriété est deg(P+Q)=< max (deg (P); deg (Q)) (il y a égalité si les deg des polynômes donc différents ou si les coefficient dominants ne sont pas opposé
P.S: le degré du polynome 0 est égale a -l'infini !
#25 - 21-12-2010 21:07:52
- MthS-MlndN
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Polynome dee degré 2 à 3 solutions
Je peux en rajouter une couche sur Ef' ?
En effet, le degré d'un polynôme est le n tel que le coefficient de [latex]X^n[/latex] est non nul et le coefficient de tout terme [latex]X^k[/latex] est nul pour [latex]k>n[/latex].
Je l'ai rappelé à des élèves la semaine dernière
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
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