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 #1 - 17-12-2010 22:42:45

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
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polynome se degré 2 à 3 solutions

Jean-Paul Delahaye propose dans son livre Paradoxes, un polynôme du second degré avec 3 solutions. Le voici :
[TeX]\frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)} = 1[/TeX]
Il s'agit d'une somme de polynomes de degrés 2, donc un autre polynome de degré 2 et on voit clairement que x = a, x = b, et x = c sont solutions.

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 #2 - 17-12-2010 23:42:04

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

Polynome de degré 2 à 3 solutins

Si le polynôme a trois racines distinctes c'est qu'il est nul, donc la somme des trois polynôme doit se simplifier pour donner  1

 #3 - 17-12-2010 23:49:31

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Pollynome de degré 2 à 3 solutions

Joli paradoxe basé sur une imprudence :

... une somme de polynômes de degré 2, donc un autre polynôme de degré 2...

Eh non, pas forcément. La variable disparaît ici et le polynôme du premier membre est de degré 0. Alors l'équation 1=1 n'aura pas une mais une infinité de solutions big_smile


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 18-12-2010 00:47:48

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

polynome de degré 2 à 3 silutions

Ce n'est pas un polynôme mais une équation smile
Le terme de gauche -1 peut être vu comme un polynôme, et dans ce cas, l'exercice est: l'équation P(x)=0 à 3 solutions ou le polynôme P (ou P(X)) à 3 racines réelles. Je sais, je chipote smile

Le polynôme P est à priori de degré inférieur ou égal à 2 (il ne peut pas être de degré > 2 vu son écriture) et non pas 2. Or l'équation à 3 solutions (ou le polynome 3 racines). Elle a donc une infinité de solution et P(x) est le polynôme nul. Il n'y a aucun paradoxe. smile

Amusant. Merci pour l'énigme.

 #5 - 18-12-2010 07:49:33

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

polynome de degré 2 à 3 solutoons

Dans cette équation, il faut d'abord tout remettre au même dénominateur:

(a-b)(b-c)(c-a)

La mise en facteur nous donne alors :

x^2 (a-b+b-c+c-a )  + x ( a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2 ) + ....= (a-b)(b-c)(c-a)

(0x^2)+(0x)+ b(a^2)-a(b^2)...=(a-b)(b-c)(c-a)

...donne :

1=1 ce qui est une évidence.

Ce polynome n'en est pas un, c'est juste la complication astucieuse d'une égalité basique, vraie quel que soit x, a, b et c ( avec a b et c différents )

 #6 - 18-12-2010 08:15:25

Fireblade
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 34

Polynome d degré 2 à 3 solutions

Je pense qu'en réduisant au même dénominateur on arrive à 1=1. Ce n'est donc pas un polynôme du second degré mais le polynôme nul qui admet tout nombre comme solution.
Pour info une somme de polynômes de degré 2 donne un polynôme de degré INFÉRIEUR OU ÉGAL À 2!
(Je dis ça sans faire les calculs mais grâce aux théorèmes =)

 #7 - 18-12-2010 08:15:53

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

oolynome de degré 2 à 3 solutions

Si un polynome de degré 2 a 3 racines distinctes, alors c'est la fonction nulle.

 #8 - 18-12-2010 09:41:26

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

Polynomme de degré 2 à 3 solutions

Une équation du second degré devrait admettre 2 racines, qui peuvent être irrationnelles  ou égales.

Cette équation est très jolie et effectivement, il semble que a, b ou c sont racines de cette équation du second degré. Pour éviter une contradiction avec le théorie, il faut que a=b par exemple; mais cela n'a pas beaucoup de sens de privilégier ces deux valeurs donc a=b=c mais pourquoi restreindre? La seule solution pour éviter le paradoxe est de montrer que la proposition est vrai quelque soit x.

On met tout cela avec le même dénominateur et on développe...
[TeX]\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}\times\frac{(a-b)}{(a-b)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\times\frac{(b-c)}{(b-c)}+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}\times\frac{(a-c)}{(a-c)}[/TeX]
attention aux signes tongue
[TeX]=\frac{(x-a)(x-b)}{(a-c)(b-c)}\times\frac{(a-b)}{(a-b)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\times\frac{(b-c)}{(b-c)}-\frac{(x-a)(x-c)}{(a-b)(b-c)}\times\frac{(a-c)}{(a-c)}[/TeX]
on développe le numérateur
[TeX]=\frac{[x^2-(a+b)x+ab](a-b)+[x^2-(b-c)x+bc](b-c)-[x^2-(a+c)x+ac](a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}[/TeX][TeX]=\frac{x^2[a-b+b-c-a+c]-x[(a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)-(a+c)(a-c)]+ab(a-b)+bc(b-c)-ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}[/TeX]
on note que [latex][a-b+b-c-a+c]= 0[/latex]
et aussi que [latex][(a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)-(a+c)(a-c)]=[a^2-b^2+b^2-c^2-a^2+c^2]=0[/latex]

il reste donc
[TeX]=\frac{ab(a-b)+bc(b-c)-ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}[/TeX]
et l'on développe encore pour ce rendre compte que le numérateur est indique au dénominateur

Ce qui nous donne comme equation paradoxale:[latex] \fbox {1 = 1}[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 18-12-2010 11:28:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

polynomr de degré 2 à 3 solutions

Bonjour,
En réduisant au même dénominateur et en développant, les termes en x2 et en x s'annulent. Et donc tout x est solution (et non seulement a, b et c).
Salutations.

 #10 - 18-12-2010 12:31:35

safino
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 9

Polnyome de degré 2 à 3 solutions

il fallait que deux solutions soient con fondus cad c=a ou a=c ou b=a ou b=c.

 #11 - 18-12-2010 13:47:35

oursinblanc
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 1

Polynome de degé 2 à 3 solutions

Ce n'est pas une équation du second degrés car :
1/(c-a)(c-b) + 1/(a-b)(a-c) + 1/(b-c)(b-a) = 0
Donc il y a une infinité de solution, à savoir tous les réels.

 #12 - 18-12-2010 20:23:30

safino
Amateur de Prise2Tete
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polynome de degré 2 à 3 solitions

si o developpe et simplifie ce polynome on obtiendra un polynome de degré 1 de solution(x=0).

 #13 - 18-12-2010 21:09:43

Yannek
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 60

Polynome de degré 2 à 3 soluitons

L'erreur est dans "il s'agit d'une somme de polynômes de degrés 2, donc un polynôme de degré 2" qu'il faut corriger en "il s'agit d'une somme de polynômes de degrés 2, donc un polynôme de degré inférieur ou égal à 2"

Le fait qu'on ait trois solutions prouve que le membre de gauche est un polynôme constant égal à 1.

 #14 - 18-12-2010 23:57:06

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Polynome de deré 2 à 3 solutions

Je repars de la fonction originelle :
[TeX]\frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} + \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)}[/TeX]
Je mets tout au même dénominateur :
[TeX]\frac{(x - a)(x - b)(a-b)+(x - b)(x - c)(b-c)+(x-a)(x-c)(c-a)}{(a - b)(a - c)(b-c)}[/TeX]
Je développe le numérateur :
[TeX]\frac{(x^2 - (a+b)x+ab)(a-b)+(x^2 - (b+c)x+bc)(b-c)+(x^2-(a+c)x+ac)(c-a)}{(a - b)(a - c)(b-c)}[/TeX]
Les termes en [latex]x^2[/latex] disparaissent vite : [latex]x^2(a-b)+x^2(b-c)+x^2(c-a)=0[/latex]

Les termes en x : idem. [latex]- (a+b)(a-b)- (b+c)(b-c)-(a+c)(c-a)=-(a^2-b^2)-(b^2-c^2)-(c^2-a^2)=0[/latex]

Il nous reste [latex]ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2[/latex] au numérateur.

Au dénominateur : [latex](a - b)(a - c)(b-c) = (a^2-ab-ac+bc)(b-c) = a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2[/latex] aussi...

Le soi-disant polynome du second degré est en fait égal à un pour tout x.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 19-12-2010 09:30:42

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1744

Polynome de degré 2 à 3 solutinos

Le Ch'Ef a dit "Il s'agit d'une somme de polynomes de degrés 2, donc un autre polynome de degré 2 et on voit clairement que x = a, x = b, et x = c sont solutions."

...  pas vraiment en fait, car si l'on développe pour écrire l'expression sous la forme d'un polynôme en Ax² + Bx + C 
on trouve A et B = 0 et C = 1
donc l'expression se résume à 1=1 (trivial !)
Il n'y a pas vraiment de polynôme
Ou pour voir le bon côté des choses, il y a une infinité de solutions, dont a,b, ou c ...


intéressant !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #16 - 19-12-2010 13:03:58

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Messages : 562

polynome se degré 2 à 3 solutions

Prenons la logique par le bon bout. Si le polynôme en question a 3 solutions, c'est que soit a=b (ou autre), soit l'équation est en fait 1=1 et il y a en réalité une infinité de solutions. Comme on ne peut pas avoir a=b, je pencherais plutôt pour l'autre hypothèse. Le flemme de vérifier.

 #17 - 19-12-2010 20:25:55

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Polynome de degré 2 à 3 solutiions

Un polynôme qui comporte trop de solutions est nul, et c'est aussi le cas de celui-ci: mis sur un même dénominateur, la partie gauche se simplifie en "1" (et comme chacun sait, 1=1 pour tout X).

 #18 - 20-12-2010 01:32:09

smoofy
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Messages : 22

olynome de degré 2 à 3 solutions

Le problème vient directement de "Il s'agit d'une somme de polynômes de degrés 2, donc un autre polynôme de degré 2 " ... c'est complétement faux. Le membre de gauche est un polynôme de degré inférieur ou égal a 2 (que je noterais P sans le répété parce que j'ai pas le courage de tout réécrire ^^) et donc on a P-1 qui est un polynôme de degrés inférieur ou égal a deux qui a plus de 3 racines (on a pas montré qu'il n'y en avais que 3) et le seul polynôme vérifiant ca est le polynôme nul (plusieurs démos pas très dur a trouvé) on peut donc conclure qu'en faites P=1.

Je n'es pas vérifié par les calculs mais de toute façon c'est inutile et fastidieux et puis comme on dit les maths c'est pas des calculs smile


Deuxième solutions si on veut vraiment faire des calculs mais sans trop se prendre la tête avec des grosses formules : on calcul la dérivé seconde de P en partant du principe que c'est forcément une constante puisque P est de degré inférieur ou égal a 2 (cela simplifie les calculs que je n'es toujours pas envie de faire ^^) on trouve 0. Donc la dérivé de P est une constante (ce qui prouve par la même occasion que P est de degré inférieur ou égal a 1) et toujours en partant du même principe la dérivé de P se calcul plus facilement et on trouve une fois de plus 0 et donc P est une constante ... il suffit ensuite le l'évaluer en n'importe quel réel (a b ou c pour pas se prendre la tête) et on trouve comme dit dans le sujet : 1. Donc P est constant et égal a 1.

Il y a bien sur de nombreuses autres solutions pour ce problème mais je crois que je me suis assez étalé sur le sujet comme ca XD.


Conclusion : "ne pas se fier au apparences" s'applique aussi en maths smile


P.S: J'ai associé polynôme et fonction polynomiale qui sont deux choses bien différentes et sans vouloir te vexé ef' ce que tu a écris n'est pas un polynôme mais bien une équation (c'est très différent). Et il aurait été plus logique de parler des racines du polynômes P-1 ou des solutions de l'équation ... faut faire attention au mots qu'on utilise en maths smile

P.P.S : Désolé si y'a quelques fautes ... il est tard !

 #19 - 20-12-2010 14:02:15

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Polynome de degré 2 à 3 ssolutions

C'est clairement un polynôme ok (on suppose que a, b et c sont distincts bien sûr)...
La SEULE raison pour qu'un polynôme de degré 2 ait 3 racines distinctes est que ça ne soit pas un polynôme de degré 2 :-)))

Pour la même raison, ça n'est pas non plus un polynôme de degré 1, c'est donc une constante, bien cachée certes, égale à 1 comme on peut le constater, et donc n'importe quelle valeur de x donne le même résultat.

 #20 - 20-12-2010 14:45:31

Nicouj
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olynome de degré 2 à 3 solutions

l'arnaque de l'énoncé est de dire que le degré est 2. En fait le degré est d'au plus deux.
Comme il y a au moins 3 racines incontestables, c'est qu'en fait le polynome doit nécessairement se simplifier en le polynome constant 0(x).

 #21 - 21-12-2010 14:26:57

EfCeBa
Administrateur
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Polynome de degré 22 à 3 solutions

Ce petit problème a inspiré du monde smile
Je tiens à signaler que dire qu'une somme de polynômes de degré 2 est un aussi polynôme de degré 2 est juste. Seulement ce polynôme peut avoir ses termes en X et X^2 nuls, et admettre une infinité de racines solution, ce qui est le cas ici...

 #22 - 21-12-2010 16:28:45

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
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Polynome de degr é2 à 3 solutions

C'est quoi alors le sens du degré d'un polynôme si le coeff du degré peut-être nul ;-) ?

 #23 - 21-12-2010 18:00:12

rivas
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Polynome de deré 2 à 3 solutions

EfCeBa a écrit:

Ce petit problème a inspiré du monde smile
Je tiens à signaler que dire qu'une somme de polynômes de degré 2 est un aussi polynôme de degré 2 est juste. Seulement ce polynôme peut avoir ses termes en X et X^2 nuls, et admettre une infinité de racines solution, ce qui est le cas ici...

Ce n'est pas pour être pénible mais par définition le degré d'un polynôme est le plus grand exposant des monômes composant le polynôme ayant un coefficient non nul. Donc un polynôme constant est de degré 0 et on ne peut pas dire qu'il est de degré 2... smile

 #24 - 21-12-2010 18:03:51

smoofy
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 22

Polynome de deré 2 à 3 solutions

désolé EfCeBa mais je suis sur a 99% (oui il y a 1% pour l'humilité quoi big_smile) que le degré d'un polynôme P= somme[k=1 à n] ( a(k)*X^k)  est définit par max(k | a(k) est non nul) sans ca il n'y aurait pas unicité du degré et ca .... c'est très problématique !

Et la propriété est deg(P+Q)=< max (deg (P); deg (Q))   (il y a égalité si les deg des polynômes donc différents ou si les coefficient dominants ne sont pas opposé

P.S: le degré du polynome 0 est égale a -l'infini !

 #25 - 21-12-2010 21:07:52

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Polynmoe de degré 2 à 3 solutions

Je peux en rajouter une couche sur Ef' ? big_smile

En effet, le degré d'un polynôme est le n tel que le coefficient de [latex]X^n[/latex] est non nul et le coefficient de tout terme [latex]X^k[/latex] est nul pour [latex]k>n[/latex].

Je l'ai rappelé à des élèves la semaine dernière lol


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