![](/img/vague-bas-gauche.png) |
#1 - 10-04-2016 11:40:16
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Legros et Leolng
Bonjour à tous. Legros et Lelong sont 2 rectangles à cotés entiers. Legros a 6 fois plus d'aire que Lelong, mais Lelong a un périmètre 6 fois plus long que Legros. Si Lelong a une largeur 1, quelles sont les dimensions possibles de Legros et Lelong ?
Bonne recherche
#2 - 10-04-2016 14:00:40
- shadokpoilu
- Habitué de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 45
- Messages : 26
legros rt lelong
Bonjour, j'appelle a et b les dimensions de Legros, c et d les dimensions de Lelong. on doit donc résoudre le système : [TeX]\left\{ \begin{array}{rcl} ab & =& 6cd \\ 2(c+d) & = & 12(a+b)\\ c & = & 1\\ \end{array} \right.[/TeX] donc on réduit : [TeX]\left\{ \begin{array}{rcl} ab & =& 6d \\ 2+2d & = & 12(a+b)\\ \end{array} \right.[/TeX] on a donc : [TeX]d=6(a+b)-1[/TeX] et enfin [TeX]a = \frac{6-36b}{36-b}[/TeX] avec un petit tableur, je trouve donc 8 solutions (16 si on considère les solutions symétriques) a | b | d 37 | 1326 | 8177 38 | 681 | 4313 39 | 466 | 3029 41 | 294 | 2009 42 | 251 | 1757 46 | 165 | 1265 51 | 122 | 1037 66 | 79 | 869
#3 - 10-04-2016 15:07:00
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,952E+3
Legros et Llong
le gros peut faire : 1326 x 37 681 x 38 466 x39 294 x 41 251 x 42 165 x 46 122 x 51 ou 79 x 66
#4 - 10-04-2016 17:52:07
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Legros et Lelongg
Shadokpoilu et Gwen, c'est bon. Shadokpoilu, si tu n'avais pas de tableur, saurais tu retrouver les solutions ?
#5 - 10-04-2016 20:29:21
- enigmatus
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 561
#6 - 10-04-2016 23:41:10
- papiauche
- Sa Sainteté
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 2131
Legros t Lelong
Si j'appelle a et b les longueurs de Legros, après résolution des équations, j'arrive pour ses longueurs à: [TeX]b= 6(6a-1)/(a-36)[/TeX] Très faible en équations diophantiennes, j'appelle DCode à la rescousse. Pour trouver 8 solutions pour Legros:
37-1236 38-681 39-466 41-294 42-251 46-265 51-122 66-79
Avec pour Lelong les valeurs 1 et:
7622 4313 3029 2009 1757 1265 1037 869
Si je ne me suis pas gouré, ça marche. Mais je cherche ce qu'il y a bien de remarquable là-dedans ![hmm](img/smilies/hmm.png)
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#7 - 11-04-2016 08:13:34
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Legos et Lelong
Papiauche et Enigmatus, c'est bon.
@tous: Trouvez les solutions sans l'aide de l'informatique. C'était un peu le but de l'énigme, faire découvrir une méthode arithmétique plutôt simple. La méthode permet de compter le nombre de solutions avant même de les calculer.
#8 - 11-04-2016 11:01:54
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
legros et kelong
Puisque c'était un peu facile, trouvez une solution telle que Legros soit un carré, largeur/longueur libre pour Lelong (mais tjs cotés entiers), et rapport des aires/périmètres de k entier libre également.
#9 - 11-04-2016 11:25:15
- enigmatus
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 561
Legros et Lelng
nodgim #8 a écrit:trouvez une solution
Je t'en propose même une infinité. Pour k=1, tous les carrés de côté entier font l'affaire, Legros et Lelong étant identiques.
#10 - 11-04-2016 16:42:20
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Legros eet Lelong
@Enigmatus: k autre que 0 ou 1, bien entendu.
Réécrit en entier: Legros est un carré à coté entier k fois (k entier>1) plus grand en aire que le rectangle Lelong à cotés entiers, mais Lelong a un périmétre k fois plus long que Legros. Trouver toutes les solutions.
#11 - 11-04-2016 21:31:36
- golgot59
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1494
- Lieu: Coutiches
Lergos et Lelong
Salut !
ab=6d (1) donc a et b ne sont pas impair tous les deux. 6(a+b)=1+d (2)
or d=ab/6 donc 6a+6b=1+ab/6 Soit 36(a+b)-ab=1 ou a(36-b)=1-36b
D'où a=(1-36b)/(36-b)
comme a>0, on a 1-36b>0 et 36-b>0 qui donne b<1/36 impossible ou 1-36b<0 et 36-b<0 qui donne b>36
Les rôles de a et b sont symétriques donc a>36 aussi. D'après l'équation 2 on a aussi d>6(36+36)-1 donc d>431
Je m'arête là pour le moment...
#12 - 12-04-2016 01:35:56
- dhrm77
- L'exilé
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 3004
- Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali
legrps et lelong
Sans l'aide d'aucun programme: Le long est un rectangle de 1 x a. le gros un rectangle de n * m Supposons que le gros soit un carré de coté n=m. l'aire du gros est donc n*n = 6* a a+1 est egal a 6 *( n+n), donc si on neglige le 1, on obtient n*n = 6 * 6 * 2n d'ou n*n = 72n, d'ou n=72. ensuite, on cherche au alentours de 72x72 en essayant 71*73, 70*74, etc... mais en respectant n*m est un multiple de 6. et (n*m)/6 + 1 est aussi un multiple de 6...
on trouve finalement un gros rectangle de 66 * 79 et un long de 1 * 869.
Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
#13 - 12-04-2016 08:20:41
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
legros et lelobg
@Golgot et Dhrm: Je salue vos efforts pour trouver l'approche sans l'aide de l'informatique. L'un et l'autre n'êtes pas sur la bonne voie. C'est plus court et plus net. La solution est vraiment très proche une fois que l'équation est posée. Indice: division enclidienne.
#14 - 13-04-2016 18:50:25
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
megros et lelong
Merci et bravo à vous participants qui avez tous trouvé les 8 rectangles possibles.
Je donne ci-après la façon de s'y prendre pour trouver directement les valeurs sans avoir besoin d'aide informatique.
Pour le cas où Legros est un carré, on montre facilement qu'il n'y a pas de solution possible en analysant le discriminant d'une équation classique du second degré.
---------------------------------
A et B sont les cotés de Legros, c et d les cotés de Lelong, k le rapport aire/périmétre. AB = k*cd c + d = k (A + B) AB = kc ( kA+kB-c) A(B-k²c)=k²cB-kc² A = (k²cB-kc²) / (B-k²c) A = k²c + (k^4c² - kc²)/(B-k²c)
B-k²c doit diviser k^4c² - kc² pour avoir A entier. Tous les diviseurs de k^4c² - k²c conviennent et sont solutions.
Application numérique c=1 k=6 k^4 c² - k c² = 36² - 6 = 1290 = 2*3*5*43 Il y a 16 diviseurs possibles (2*2*2*2) donc 16 solutions. Comme l'équation AB = kc ( kA+kB-c) est symétrique entre A et B, il y a 8 solutions qui sont les longueurs et 8 solutions qui sont les largeurs. ça donne donc 8 rectangles possibles. Les solutions sont B = 36 + diviseur de 1290. (1,2,3,5,6,10,15,30 pour les 8 plus petits diviseurs)
Il n'y a pas de solutions pour la version "Legros est un carré". Soit A coté du carré, c et d les cotés de Lelong, k le rapport. On a les égalités: A² = kcd c + d = 2kA A²=kc(2kA-c) A² - 2k²cA + kc² = 0 Le discriminant réduit est (k^4)c² - kc² Pour espérer obtenir une valeur entière, le discriminant doit être un carré. c² étant déja un carré, il faut k^4 - k carré. k^4 - k = k (k^3-1) = k ( k-1) (k² + k + 1 ) Les 3 facteurs sont premiers entre eux 2 à 2 (sauf pour k=2 ou 4, mais essai infructueux). Si k est carré, k-1 ne peut l'être, et vice versa (sauf le cas trivial non autorisé k=1 ) L'expression ne peut donc pas être un carré.
#15 - 16-04-2016 15:02:47
- dhrm77
- L'exilé
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 3004
- Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali
legros er lelong
nodgim a écrit:[snip] AB = k*cd c + d = k (A + B) AB = kc ( kA+kB-c) A(B-k²c)=k²cB-kc² A = (k²cB-kc²) / (B-k²c) A = k²c + (k^4c² - kc²)/(B-k²c) [snip]
Tu m'a perdu sur la fin.. Comment passes-tu de : A = (k²cB-kc²) / (B-k²c) à A = k²c + (k^4c² - kc²)/(B-k²c) ?
Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
#16 - 16-04-2016 15:44:31
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
legros et lzlong
Comment passes-tu de : A = (k²cB-kc²) / (B-k²c) à A = k²c + (k^4c² - kc²)/(B-k²c) ?
k²cB-kc² = k²c (B-k²c) + k^4c² -kc²
A=k²c (B-k²c)/ (B-k²c) + (k^4c² -kc²)/(B-k²c)
et on arrive au résultat.
#17 - 17-04-2016 00:30:12
- dhrm77
- L'exilé
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 3004
- Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali
legros et lelobg
Ha oui je vois maintenant... Ca me rappelle qu'a l'école mes profs de math me repprochais souvent que je sautais des étapes dans mes démonstrations....
Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
#18 - 19-04-2016 18:22:38
#19 - 20-04-2016 08:05:53
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Legros e tLelong
Le site de Diophante est une inépuisable source d'inspiration. Dommage qu'il ne soit pas construit à la mode des forums, ce serait un peu plus vivant. Mais bon ça semble convenir très bien à ses habitués, qui sont des pointures. Il y a là dedans des enigmes peu abordables pour un sujet lambda...
|
![](/img/vague-haut-droite.png) |