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 #1 - 10-04-2016 11:40:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Legros et Lelnog

Bonjour à tous.
Legros et Lelong sont 2 rectangles à cotés entiers. Legros a 6 fois plus d'aire que Lelong, mais Lelong a un périmètre 6 fois plus long que Legros. Si Lelong a une largeur 1, quelles sont les dimensions possibles de Legros et Lelong ?

Bonne recherche



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 #2 - 10-04-2016 14:00:40

shadokpoilu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 19

Lgeros et Lelong

Bonjour,
j'appelle a et b les dimensions de Legros, c et d les dimensions de Lelong.
on doit donc résoudre le système :
[TeX]\left\{
\begin{array}{rcl}
ab & =& 6cd \\
2(c+d) & = & 12(a+b)\\
c & = & 1\\
\end{array}
\right.[/TeX]
donc on réduit :
[TeX]\left\{
\begin{array}{rcl}
ab & =& 6d \\
2+2d & = & 12(a+b)\\
\end{array}
\right.[/TeX]
on a donc :
[TeX]d=6(a+b)-1[/TeX]
et enfin
[TeX]a = \frac{6-36b}{36-b}[/TeX]
avec un petit tableur, je trouve donc 8 solutions (16 si on considère les solutions symétriques)
a   |    b   |    d
37 | 1326 | 8177
38 | 681   | 4313
39 | 466   | 3029
41 | 294   | 2009
42 | 251   | 1757
46 | 165   | 1265
51 | 122   | 1037
66 | 79     | 869

 #3 - 10-04-2016 15:07:00

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Legros et Llong

le gros peut faire :
1326 x 37
681 x 38
466 x39
294 x 41
251 x 42
165 x 46
122 x 51
ou 79 x 66

 #4 - 10-04-2016 17:52:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

legros et lemong

Shadokpoilu et Gwen, c'est bon.
Shadokpoilu, si tu n'avais pas de tableur, saurais tu retrouver les solutions ?

 #5 - 10-04-2016 20:29:21

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 401

Lergos et Lelong

Bonjour,

Code:

      Legros        Lelong
 1)   66 x   79     1 x  869
 2)   51 x  122     1 x 1037
 3)   46 x  165     1 x 1265
 4)   42 x  251     1 x 1757
 5)   41 x  294     1 x 2009
 6)   39 x  466     1 x 3029
 7)   38 x  681     1 x 4313
 8)   37 x 1326     1 x 8177

 #6 - 10-04-2016 23:41:10

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

legroq et lelong

Si j'appelle a et b les longueurs de Legros, après résolution des équations, j'arrive pour ses longueurs à:
[TeX]b= 6(6a-1)/(a-36)[/TeX]
Très faible en équations diophantiennes, j'appelle DCode à la rescousse.
Pour trouver 8 solutions pour Legros:

37-1236
38-681
39-466
41-294
42-251
46-265
51-122
66-79


Avec pour Lelong les valeurs 1 et:

7622
4313
3029
2009
1757
1265
1037
869

Si je ne me suis pas gouré, ça marche.
Mais je cherche ce qu'il y a bien de remarquable là-dedans hmm


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #7 - 11-04-2016 08:13:34

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Legros et Lelogn

Papiauche et Enigmatus, c'est bon.

@tous: Trouvez les solutions sans l'aide de l'informatique. C'était un peu le but de l'énigme, faire découvrir une méthode arithmétique plutôt simple. La méthode permet de compter le nombre de solutions avant même de les calculer.

 #8 - 11-04-2016 11:01:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Legors et Lelong

Puisque c'était un peu facile, trouvez une solution telle que Legros soit un carré, largeur/longueur libre pour Lelong (mais tjs cotés entiers), et rapport des aires/périmètres de k entier libre également.

 #9 - 11-04-2016 11:25:15

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 401

egros et Lelong

nodgim #8 a écrit:

trouvez une solution

Je t'en propose même une infinité. Pour k=1, tous les carrés de côté entier font l'affaire, Legros et Lelong étant identiques.

 #10 - 11-04-2016 16:42:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Legros e Lelong

@Enigmatus: k autre que 0 ou 1, bien entendu.

Réécrit en entier:
Legros est un carré à coté entier k fois (k entier>1) plus grand en aire que le rectangle Lelong à cotés entiers, mais Lelong a un périmétre k fois plus long que Legros.
Trouver toutes les solutions.

 #11 - 11-04-2016 21:31:36

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Legross et Lelong

Salut !

ab=6d (1) donc a et b ne sont pas impair tous les deux.
6(a+b)=1+d (2)

or d=ab/6 donc 6a+6b=1+ab/6
Soit 36(a+b)-ab=1 ou a(36-b)=1-36b

D'où a=(1-36b)/(36-b)

comme a>0, on a 1-36b>0 et 36-b>0 qui donne b<1/36 impossible
ou 1-36b<0 et 36-b<0 qui donne b>36

Les rôles de a et b sont symétriques donc a>36 aussi. D'après l'équation 2 on a aussi d>6(36+36)-1 donc d>431

Je m'arête là pour le moment...

 #12 - 12-04-2016 01:35:56

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Legros et Lelongg

Sans  l'aide d'aucun programme:
Le long est un rectangle de 1 x a.
le gros un rectangle de n * m
Supposons que le gros soit un carré de coté n=m.
l'aire du gros est donc n*n = 6* a
  a+1 est egal a 6 *( n+n), donc  si on neglige le 1, on obtient n*n = 6 * 6 * 2n
d'ou n*n = 72n, d'ou n=72.
ensuite, on cherche au alentours de 72x72 en essayant 71*73, 70*74, etc...
mais en respectant n*m est un multiple de 6. et (n*m)/6 + 1 est aussi un multiple de 6...

on trouve finalement  un gros rectangle de 66 * 79 et un long de 1 * 869.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #13 - 12-04-2016 08:20:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Legros te Lelong

@Golgot et Dhrm:
Je salue vos efforts pour trouver l'approche sans l'aide de l'informatique. L'un et l'autre n'êtes pas sur la bonne voie. C'est plus court et plus net. La solution est vraiment très proche une fois que l'équation est posée.
Indice: division enclidienne.

 #14 - 13-04-2016 18:50:25

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Legro set Lelong

Merci et bravo à vous participants qui avez tous trouvé les 8 rectangles possibles.

Je donne ci-après la façon de s'y prendre pour trouver directement les valeurs sans avoir besoin d'aide informatique.

Pour le cas où Legros est un carré, on montre facilement qu'il n'y a pas de solution possible en analysant le discriminant d'une équation classique du second degré.

---------------------------------

A et B sont les cotés de Legros, c et d les cotés de Lelong, k le rapport aire/périmétre.
AB = k*cd
c + d = k (A + B)
AB = kc ( kA+kB-c)
A(B-k²c)=k²cB-kc²
A = (k²cB-kc²) / (B-k²c)
A = k²c + (k^4c² - kc²)/(B-k²c)

B-k²c doit diviser k^4c² - kc² pour avoir A entier. Tous les diviseurs de k^4c² - k²c conviennent et sont solutions.

Application numérique
c=1 k=6
k^4 c² - k c² = 36² - 6 = 1290 = 2*3*5*43
Il y a 16 diviseurs possibles (2*2*2*2) donc 16 solutions. Comme l'équation AB = kc ( kA+kB-c) est symétrique entre A et B,
il y a 8 solutions qui sont les longueurs et 8 solutions qui sont les largeurs.
ça donne donc 8 rectangles possibles.
Les solutions sont B = 36 + diviseur de 1290. (1,2,3,5,6,10,15,30 pour les 8 plus petits diviseurs)



Il n'y a pas de solutions pour la version "Legros est un carré".
Soit A coté du carré, c et d les cotés de Lelong, k le rapport.
On a les égalités:
A² = kcd
c + d = 2kA
A²=kc(2kA-c)
A² - 2k²cA + kc² = 0
Le discriminant réduit est (k^4)c² - kc²
Pour espérer obtenir une valeur entière, le discriminant doit être un carré.
c² étant déja un carré, il faut k^4 - k carré.
k^4 - k = k (k^3-1) = k ( k-1) (k² + k + 1 )
Les 3 facteurs sont premiers entre eux 2 à 2 (sauf pour k=2 ou 4, mais essai infructueux).
Si k est carré, k-1 ne peut l'être, et vice versa (sauf le cas trivial non autorisé k=1 )
L'expression ne peut donc pas être un carré.

 #15 - 16-04-2016 15:02:47

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Legros et Lelnog

nodgim a écrit:

[snip]
AB = k*cd
c + d = k (A + B)
AB = kc ( kA+kB-c)
A(B-k²c)=k²cB-kc²
A = (k²cB-kc²) / (B-k²c)
A = k²c + (k^4c² - kc²)/(B-k²c)
[snip]

Tu m'a perdu sur la fin..
Comment passes-tu de :
A = (k²cB-kc²) / (B-k²c)
à
A = k²c + (k^4c² - kc²)/(B-k²c)        ?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #16 - 16-04-2016 15:44:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Legrros et Lelong

Comment passes-tu de :
A = (k²cB-kc²) / (B-k²c)
à
A = k²c + (k^4c² - kc²)/(B-k²c)  ?



k²cB-kc² = k²c (B-k²c) + k^4c² -kc²

A=k²c (B-k²c)/ (B-k²c) + (k^4c² -kc²)/(B-k²c)

et on arrive au résultat.

 #17 - 17-04-2016 00:30:12

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

legros ey lelong

Ha oui je vois maintenant...
Ca me rappelle qu'a l'école mes profs de math me repprochais souvent que je sautais des étapes dans mes démonstrations....


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #18 - 19-04-2016 18:22:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Legrso et Lelong

Je n'avais pas suivi le problème mais je suis tombé la dessus : http://www.diophante.fr/problemes-du-mo … rectangles

Ce n'est pas tout à fait la même chose mais il y a un air de famille smile

Vasimolo

 #19 - 20-04-2016 08:05:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

legros et lelobg

Le site de Diophante est une inépuisable source d'inspiration. Dommage qu'il ne soit pas construit à la mode des forums, ce serait un peu plus vivant. Mais bon ça semble convenir très bien à ses habitués, qui sont des pointures. Il y a là dedans des enigmes peu abordables pour un sujet lambda...

 

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