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 #1 - 06-02-2015 10:01:28

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

deux jeux en yn

salut.

Le sol d'un salon est carrelé avec des pièces de céramiques identiques . Ce sont des quadrilatères ABCD  dont l'angle A est droit et dont les côtés AB=260 ,
BC=240 , CD=80 & DA=60
Deux enfants jouent à pile ou face avec une pièce de monnaie non truquée de diamètre 27mm exactement . Mais il y a une seconde condition pour gagner.
Le garçon prend PILE mais doit en même temps voir sa pièce finir sa course sur au moins deux pièces de carrelage  . Les joints sont de simples segments avec une épaisseur négligeable.
Sa sœur , elle , choisit donc FACE mais sa pièce ne doit pas finir sa course sur un joint. Elle doit donc finir sa course sur une seule pièce du carrelage.

Question 1 :  le jeu est-il équitable ?

Question 2 : quelle est la probabilité de gain de chacun des enfants ?

n.b.  pour les probas , on s'arrêtera à la sixième décimale avec un calcul mathématique. donc pas de force brut.

                                               amusez vous bien.



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 #2 - 06-02-2015 20:22:35

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Deux eux en un

Comment on calcule une probabilité  de gain ? C'est comme les "espérances ? )

si les chances de gagner à chaque coup du premier sont : 0,439007975 /2
et si celles du second sont de 0,560992025 /2

Avec un nul, une fois sur 2 , le jeu est en faveur de celui dont la pièce ne devra toucher aucun joint. Mais pour l'espérance, je passe la main.

 #3 - 07-02-2015 12:51:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

deux jeux zn un

Le pile ou face c'est juste pour cacher le calcul d'angles smile

Vasimolo

 #4 - 09-02-2015 16:41:21

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

deux jeuc en un

salut.

solution: 
Le quadrilatère ABCD  possédant un angle droit A  , la diagonale est facilement calculable :  BD = 266.833281283 mm

Puis en utilisant Al Kashi , on peut calculer les angles DCB puis CBD

DCB  = arcos [(CD² + BC² - BD²)/(2.CD.BC)] = 100.806922875°

De la même façon  l'angle CBD = 17.1272805459°

L'angle DBA = arctan(60/260) = 12.9946167919°

L'angle B vaut donc DBA + CBD = 30.1218973378°

par déduction l'angle D  = 139.071179787°

On a donc les 4 angles du pavé.

Avec Héron on calcule l'aire du triangle DCB :

A(DCB) = sqrt[p.(p-80).(p-240).(p-BD)] = 9429.74018730 mm²

puis l'aire du triangle rectangle A(ABD) = 60 x 260/2 = 7800 mm²

et enfin l'aire du pavé : A(ABCD) = 17229.7401873 mm²

Le garçon doit mettre sa pièce sur au moins un joint. Le centre de la pièce devra se tenir à l'intérieur d'une bande de largeur r = 13.5mm à la périphérie du pavé. 
l'aire de cette bande est en fait celui d'un parallélogramme de hauteur r et de base:
b = 640 - r.[cotan(A/2) +  cotan(B/2) +  cotan(C/2) + cotan(D/2) ]

ce qui donne une aire de bande A= r.[640 - 5.9165807r] = 7561.70316743 mm²

et une probabilité de faire PILE et finir sur un joint :

P =1/2 x 7561.70316743/17229.7401873 = 0.219437525

celle de sa sœur P= 0.280562475

merci à tous ceux qui ont cherché .

 #5 - 09-02-2015 19:36:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Dexu jeux en un

Le problème n'étais pas inintéressant , mais je n'aime pas trop le calcul surtout quand il est approché smile

Si tout tombait juste ou à peu près , j'aurais fini le problème mais là c'était au delà de mes compétences . Je sais qu'il y en a qui adore les gros calculs bourrins , je ne fais pas partie du lot lollollollollol

Vasimolo

 #6 - 09-02-2015 19:52:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Deux jexu en un

Je n'ai fait aucun calcul lol Géogebra m'a donné les surfaces.

Sauf que je ne sais pas recopier les nombres correctement...

 #7 - 09-02-2015 19:55:07

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Deux jex en un

J'avais calculé les coordonnées du point C (dans un repère simple) comme une des deux intersections des deux cercles centrés en B et D assez rapidement. Mais j'avais abandonné au moment de calculer les surfaces.

 #8 - 09-02-2015 20:11:16

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

deux jeuc en un

Vasimolo a écrit:

Le problème n'étais pas inintéressant , mais je n'aime pas trop le calcul surtout quand il est approché smile

Si tout tombait juste ou à peu près , j'aurais fini le problème mais là c'était au delà de mes compétences . Je sais qu'il y en a qui adore les gros calculs bourrins , je ne fais pas partie du lot lollollollollol

Vasimolo

Courage, la vente de pommes, je m'en suis sorti avec une astuce niveau primaire.

 

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