nodgim Très bien!

nodgim C'est exact, et c'est d'ailleurs là que ça devient intéressant
J'aurais dû l'écrire plus explicitement dans l'énigme.
Spoiler : [Afficher le message] On pourra chercher le nombre de puissances de 20 inférieures à $10^N$ et celles inférieures à $2^N$et encadrer le nombre de possibilités d'écrire une puissance de 20 en binaire ou en décimal avec moins de N chiffres

Ebichu Pas mal, un peu laborieux mais ça marche (quoique ma solution soit à peu près aussi laborieuse... )
Si on ne veut que montrer que les nombres de chiffres sont tous différents, nodgim a trouvé une solution très efficace.

Si tu souhaites t'attaquer à la généralisation, essaye de démontrer que pour tout entier k, il existe un unique $(ab)^N$ de longueur k  en base a ou en base b à la condition qu'il n'existe pas p et q tels que $a^p = b^q$ (a,b,p,q entiers)

Voilà une proposition de résolution:
Le nombre de puissances de 20 inférieures à $10^N$ est $\lfloor log_{20}(10^N)\rfloor+1$
idem pour 2^N, il y en a $\lfloor log_{20}(2^N)+1\rfloor$
Le nombre de possibilités d'écrire une puissance de 20 en binaire ou en décimal avec moins de N chiffres est donc $n(N) = \lfloor log_{20}(10^N)\rfloor + \lfloor log_{20}(2^N)\rfloor+2$
On a alors $log_{20}(10^N) -1 + log_{20}(2^N) -1 +2 < n(N) < log_{20}(10^N) + log_{20}(2^N)+2 \iff N< n(N) < N+2 \iff n = N+1$ (inégalités strictes car $log_{20}(10^N)$ est irrationnel
On en déduit que le  nombre de possibilités d'écrire une puissance de 20 en binaire ou en décimal avec  N chiffres est n(N) - n(N-1) = 1.
Donc cette écriture existe et est unique!

Une autre façon de démontrer le problème est:
Le nombre de chiffres de $20^n$ est $\lfloor log_{10}(20^n) \rfloor +1$ en décimal et $\lfloor log_{2}(20^n) \rfloor +1$ en binaire.
D'après le théorème de Beatty, ces deux suites forment une partition de N (irrationalité et somme des inverses égale à 1 OK)
La démonstration de ce théorème étonnant est finalement la même que ma méthode ci dessus.

nodgim, je serai intéressé de voir ta réponse

Le problème plus général revient à savoir si pour un entier k donné , il existe n tel que (ab) ^ n comporte k chiffres, soit en écriture base a, soit en écriture base b.

Pour cela travaillons en logarithmes:
- Les log des puissances de a, c'est à dire les multiples de a
- Les log des puissances de b, c'est à dire les multiples de b
- Les log des puissances de ab,  c'est à dire les multiples de (a+b)

Et donc la question est de savoir si la partie entière de n(a+b) / a ou n(a+b) / b est unique, d'une part, et si pour tout entier k on trouve un unique multiple de (a+b)/a ou (a+b)/b tel que ce multiple est k < n(a+b)/a < k+1 ou (exclusif) k < m (a+b)/b < k+1, d'autre part. Remarquons que la seconde contrainte englobe de fait la 1ère.

Si on pose x = b/a et b > a, alors on a affaire aux multiples de (1+x) et (1+1/x), avec x > 1 et irrationnel.

Pour un entier k donné, on n'a pas une infinité de choix pour ces multiples :
- 1+x ou
- 2+2x ou
...ou
-[k/2] + [k/2]x ou

- k + k/x ou
-(k-1) +  (k-1)/x ou
...ou
-[(k+1)/2] + [(k+1)/2]/x

Or, chacun de ces choix correspond à une valeur de x dans un intervalle, et tous ces intervalles sont disjoints mais sans trous.
- k + k / x si  k < x
- 1 + x si (k-1) < x < k
- (k-1) + (k-1) / x si (k-1)/2 < x < k-1.
etc....

Les différents jalons entre les intervalles, du plus grand au plus petit, sont :
k/1, (k-1)/1, (k-1)/2, (k-1)/3, (k-2)/3, (k-2)/4, (k-3)/4, (k-3)/5,....1
les intervalles étant occupés alternativement par 1 multiple de (1+ x) et  1 multiple de (1+1/x).

Pour un x donné et un k donné, on a donc bien une solution unique.

CQFD