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 #1 - 12-03-2020 18:35:35

nodgim
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Enigmes résolues : 0
Messages : 3795

Partition de 22020

Bonjour @ tous.

Dans ce problème, il s'agit de " partitionner " 2020 en le plus grand nombre possible d'éléments avec cette contrainte sévère : quel que soit le sous-ensemble de la partition, la somme ne doit jamais être un diviseur de 2020.   

A titre d'exemple, la partition max de 10 est de 3 éléments :  3 + 3 + 4. En effet, les sommes partielles possibles sont 3, 4, 6, 7, aucune d'elle n'est diviseur de 10.

Bon courage à vous.



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 #2 - 13-03-2020 10:36:19

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 722

Partition d 2020

Faut rester modeste pour lancer l’énigme !
Je propose 673 + 673 + 674 smile

Bref, ne pas faire d'enigme pendant les réunions !

 #3 - 13-03-2020 18:36:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3795

Partitio de 2020

Godisdead ouvre l'enchère à 3 éléments, que je peux révéler ici sans remords : 673+673+674.

C'est correct, mais il y a mieux.

 #4 - 13-03-2020 19:32:12

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

Partition ed 2020

J'arrive à 505 éléments avec 508+3+3+...+3 (il y a 504 fois "3").

Tu as mieux ?

 #5 - 14-03-2020 05:43:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3795

Partittion de 2020

C'est bien cela, Ebichu, bravo à toi !

Je crois qu'on doit pouvoir montrer qu'il est impossible de faire mieux pour ce nombre. Mais ce n'est pas une généralité, on peut par exemple regarder avec 420.

Si maintenant il fallait chercher une formule minimale valable pour n'importe quel nombre, quelle serait celle que tu utiliserais ?

 #6 - 14-03-2020 09:35:43

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 288

Partitionn de 2020

salut.

je ne comprend pas bien :
1  est bien diviseur de 2020 ; dans l'exemple donné le nombre 3 est en double ;
donc les répétitions de nombres sont possibles . Dans ces conditions je propose :

2020 = 3 + 3 + 3 +.....( x 663 )....+ 3 + 3 + 31  (664 nombres)

mais je me suis planté ; 31 = 20 + 5 + 4 + 2

Alors 3 ( x 660 ) + 40 = 2020  (661 termes) devrait coller .

Mais 40 = 8 x 5
avec 665 termes : 2020 = 3 + 3 +....(x 660) + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

 #7 - 14-03-2020 11:35:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
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partition dz 2020

@ Une Coudée : 1 fois 8 + 31 fois  3 = 101, diviseur de 2020.

 #8 - 15-03-2020 13:44:23

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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Partition de 2200

bonjour,

En regardant le plus petit premier ( ici : 3 )qui ne divise pas 2020 et le nombre le plus proche du plus grand diviseur de 2020 et de même congruence que 2020 (mod:3) ; ici : 1009 .
2020 = 337 x 3 + 1009 . Soit 338 nombres .

Mais bon ... il y a sans doute mieux .

 #9 - 15-03-2020 16:27:58

nodgim
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Enigmes résolues : 0
Messages : 3795

Partittion de 2020

@ Une coudée : oui, il y a mieux,  tu utilises les bons outils, il manque juste un petit quelque chose pour arriver au bon résultat. Tu devrais regarder 1010 de plus près....

 #10 - 17-03-2020 11:09:01

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 288

Paartition de 2020

bonjour,

2020 =  3 (x504) + 508 . Soit 505 termes
420 =  11 (x34)  +  46 . Soit 35  termes  .
Pas sûr encore que ce soit le top .
Je cherche encore ce second terme .

 #11 - 17-03-2020 16:48:48

nodgim
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Partition d e2020

Bravo, Une coudée, c'est tout bon pour 2020, et on peut prouver qu'il n'est pas possible de faire mieux. 

420 est plus délicat à plus d'un titre :

- La valeur que tu as trouvée est commune à 3 partitions distinctes.
- Il y a une astuce qui permet un chouia de partition en plus.

 #12 - 19-03-2020 08:18:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Partitio de 2020

Diviseurs de 2020 : 1 ; 2020 (pour mémoire) ; 2 ; 1010 ; 4 ; 505 ; 5 ; 404 ; 10 ; 202 ; 20 ; 101 .

Le plus petit entier qui n'est pas dans la liste est le meilleur candidat potentiel.

2020 = 3 * 673 + 1

Cette partition ne convient pas puisque tout diviseur valant 1 [3] et > 3 peut se construire avec une partie de cet ensemble. En contrepartie, tout diviseur valant 2 [3] ne le peut pas.

Le plus grand diviseur incompatible est donc 505, et donc il faut avoir un nombre 1 [3] > 505 : 508

Partition : 2020 =1 fois 508 + 504 fois 3.

Il est impossible de repartitionner 508.

On remarquera qu'en tentant de partitionner avec le 2ème entier plus petit, à savoir 6, qui est le double de 3, il est impossible de faire mieux.

--------------------------------------------------------------------------------------

Pour 420 :

Diviseurs ; 1 ; 420 , 2 , 210 , 3 , 140 , 4 , 105 , 5 , 84 , 6 , 70 , 7 , 60 , 10 , 42 , 12 , 14 , 30 , 15 , 28 , 20 , 21 .

Plus petit entier hors liste : 8

420 = 52 * 8 + 4.

Plus grand diviseur qui vaut 4 [8] : 140.

420 = 1 fois  148 + 34 fois 8.

On peut partitionner 148 en 2 éléments dont la valeur [8] est distincte des diviseurs qui lui sont supérieurs : 148 = 37 + 111, qui valent respectivement 5 et 7 [8].

420 = 1 fois 37 + 1 fois 111 + 34 fois 8.

On peut aussi partitionner 420 avec 9 et 11 qui donnent 35. 

---------------------------------------------------------------------------------

D'une façon générale, le min de partition possible d'un entier, avec les contraintes de l'énoncé, si on veut esquisser une formule générale :

P(n) = (n - D ) / d

avec d = le plus petit entier premier avec n.
et D = le plus grand diviseur de n tel que sa valeur [d] est égale à n [d].

 

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