J'espère relancer l'intérêt des matheux pour ce topic avec ces quelques réflexions :

La préparation de ce celui-ci m'a remis en mémoire ce que m'avait confié un ami prof :
"Pour mon premier cours de probabilité en début d'année, je commence par demander à mes élèves :
Si on place un chimpanzé devant un clavier  et qu'il tape au hasard sur les touches, quelle est la probabilité pour qu'il arrive à entrer le texte du roman "Les misérables" en entier sans une seule faute ? ... ? ... Eh bien, il y a une chance sur deux : soit il y arrive, soit il n'y arrive pas !"

Autrement dit : "On peut faire raconter aux probabilités n'importe quoi, tout dépend d'abord de l'ensemble des hypothèses que l'on admet au départ, qu'il faut préciser explicitement' et dont il faut bien analyser toutes les conséquences".

Ainsi, dans le cas du premier calcul exposé, avec l'hypothèse de points pris dans un espace plan infini avec une équiprobabilité pour tous les points, cela conduit aux deux conséquences suivantes. En admettant que b soit la plus grande longueur, quelque soit la valeur ε aussi petite que l'on veut :
- la proportion de triangles pour lesquels le rapport (b - c) / b est inférieur à ε tend vers 1 quand R tend vers l'infini.
- si h est la hauteur correspondante à b, la proportion de triangles pour lesquels le rapport h/b est inférieur à ε tend vers 1 quand R tend vers l'infini.

Autrement dit, pratiquement tous les triangles que l'on peut construire par cette méthode sont à la fois isocèles et plats !

D'où ma méfiance à propos des calculs manipulant l'infini et sur l'hypothèse d'équiprobabilité !
Qu'en pensez-vous ?

Merci scarta pour ta participation .
J'avais bien vu ta "démonstration" sur le Net. Je la trouve beaucoup plus convaincante que la première de celles que j'ai exposées : au moins, la proportion de triangles isocèles ou plats ne tend pas vers 1 quand R tend vers l'infini !

Mais tu n'as pas répondu à mes questions :
- qu'elle est la proportion de triangles acutangles avec la démonstration que je propose?
- et surtout, comment expliquer la différence de résultats quand on change la méthode de fabrication du triangle ?

Merci à scarta qui a bien voulu intéresser à mon cas de conscience.

L'aire totale de ma deuxième figure  Atot = π a² / 3 - √3 /4 = 0,6141848 a²
L'aire des triangles obtusangles      Aobtu =  π a² / 8 = 0,3926991 a²
L'aire des triangles acutangles        Aaigu = Atot - Aobtu = 0,2214858 a²
Le pourcentage de triangles acutangles s’établit donc avec cette méthode à
                                          36,06174 %,
valeur notablement différente de celle obtenue par la première méthode.

La conclusion de scarta "Les deux sont justes, faut vivre avec" ne me satisfait qu'à moitié...

Pour ceux que sa référence au paradoxe des enveloppes questionne, vous pouvez jeter un coup d’œil ici.

Toutes vos réflexions sur ce problème sont encore les bienvenues. Merci.