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 #1 - 06-05-2022 18:51:57

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3233
Lieu: 94110

Aigu vs obtu

En me baladant sur le Web, je suis tombé sur le "paradoxe de l'obtusité"  : parmi tous les triangles possibles, quelle est la proportion de triangles acutangles ?
Un certain nombre de sites reprennent cette démonstration : dans un plan infini (*) dont tous les points sont équiprobables (**), on choisit un sommet du triangle et l'on suppose dans un premier temps que les deux autres sommets sont situés dans un cercle de rayon R autour de ce point.
Le deuxième sommet étant choisi, cela délimite deux zones :

https://p0.storage.canalblog.com/04/28/210892/53428182.png

Si le troisième point est situé dans la zone blanche, le triangle est acutangle, dans la rose, il est obtusangle. Il est assez facile de montrer que la zone blanche est  trois fois plus petite que la rose, et ceci, quelque soit la valeur de R, que celle-ci tende vers r ou vers l'infini.
Ainsi, un triangle n'a qu'une chance sur quatre d'avoir ses trois angles aigus ! Étonnant, n'est-il pas ?
La démonstration parait imparable, au point que certains auteurs d'articles sur ce sujet, s'étonnent que d'autres puissent avoir l'audace de proposer une valeur différente...

Et pourtant... Si on choisit au départ deux sommets du triangle et que l'on place le centre du cercle au milieu de ce premier coté, le résultat du calcul n'est plus du tout constant en fonction de R, même si on retrouve le même résultat quand R tend vers l'infini.

Et si on choisissait les trois sommets du triangle dans un plan infini, en conservant l'hypothèse de l'équiprobabilité  ?
Je propose alors de ramener au milieu de ma feuille de papier ou de mon écran, par une habile rotation suivie d'une homothétie, le coté le plus grand de ce triangle pour obtenir la figure ci dessous :

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-TriangleQuelconque.png

- Que devient alors la probabilité pour qu'un triangle, dont les trois sommets ont été choisis au hasard dans un plan infini, soit acutangle ?
- Comment expliquer la différence avec le résultat précédent ?

Je laisse ce topic masqué quelques jours pour que chacun puisse s'exprimer sans connaître les autres réponses.
Puis je vous laisserez vous expliquer entre vous en cas de désaccord wink .

  .
(*) J'aurai tendance à me méfier des calculs manipulant l'infini, autant que de ceux manipulant la valeur zéro...
(**) cette hypothèse pourrait être remise en question...

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#0 Pub

 #2 - 08-05-2022 22:31:05

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3233
Lieu: 94110

aigu vs pbtus

J'espère relancer l'intérêt des matheux pour ce topic avec ces quelques réflexions :

La préparation de ce celui-ci m'a remis en mémoire ce que m'avait confié un ami prof :
"Pour mon premier cours de probabilité en début d'année, je commence par demander à mes élèves :
Si on place un chimpanzé devant un clavier  et qu'il tape au hasard sur les touches, quelle est la probabilité pour qu'il arrive à entrer le texte du roman "Les misérables" en entier sans une seule faute ? ... ? ... Eh bien, il y a une chance sur deux : soit il y arrive, soit il n'y arrive pas !"


Autrement dit : "On peut faire raconter aux probabilités n'importe quoi, tout dépend d'abord de l'ensemble des hypothèses que l'on admet au départ, qu'il faut préciser explicitement' et dont il faut bien analyser toutes les conséquences".

Ainsi, dans le cas du premier calcul exposé, avec l'hypothèse de points pris dans un espace plan infini avec une équiprobabilité pour tous les points, cela conduit aux deux conséquences suivantes. En admettant que b soit la plus grande longueur, quelque soit la valeur ε aussi petite que l'on veut :
- la proportion de triangles pour lesquels le rapport (b - c) / b est inférieur à ε tend vers 1 quand R tend vers l'infini.
- si h est la hauteur correspondante à b, la proportion de triangles pour lesquels le rapport h/b est inférieur à ε tend vers 1 quand R tend vers l'infini.

Autrement dit, pratiquement tous les triangles que l'on peut construire par cette méthode sont à la fois isocèles et plats lol !

D'où ma méfiance à propos des calculs manipulant l'infini et sur l'hypothèse d'équiprobabilité !
Qu'en pensez-vous wink ?

 #3 - 08-05-2022 23:35:13

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1755

aigu vs obtis

Je parie sur 25-75
Si tu prends des angles entiers, tu as vite fait de tout épuiser (à la main ou à la machine) et tu tombes sur 25 et des brouettes.
Pour des incréments de 0.5 tu arrives à 25 et des bananes
Pour des incréments de 0.1 c'est 25 et des cacahuètes
Pour des incréments de 0.01 c'est 25 et des petzouilles

Bon ok ça n'a rien d'une démo...

 #4 - 09-05-2022 23:09:22

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3233
Lieu: 94110

Aigu vs otbus

Merci scarta pour ta participation smile .
J'avais bien vu ta "démonstration" sur le Net. Je la trouve beaucoup plus convaincante que la première de celles que j'ai exposées : au moins, la proportion de triangles isocèles ou plats ne tend pas vers 1 quand R tend vers l'infini !

Mais tu n'as pas répondu à mes questions :
- qu'elle est la proportion de triangles acutangles avec la démonstration que je propose?
- et surtout, comment expliquer la différence de résultats quand on change la méthode de fabrication du triangle ?

 #5 - 12-05-2022 09:02:30

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1755

aigu vs obrus

Je vois ça un peu comme le paradoxe des enveloppes. Les deux sont justes, faut vivre avec big_smile

 #6 - 13-05-2022 15:44:11

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3233
Lieu: 94110

Aigu vss obtus

Merci à scarta smile qui a bien voulu intéresser à mon cas de conscience.

L'aire totale de ma deuxième figure  Atot = π a² / 3 - √3 /4 = 0,6141848 a²
L'aire des triangles obtusangles      Aobtu =  π a² / 8 = 0,3926991 a²
L'aire des triangles acutangles        Aaigu = Atot - Aobtu = 0,2214858 a²
Le pourcentage de triangles acutangles s’établit donc avec cette méthode à
                                          36,06174 %,
valeur notablement différente de celle obtenue par la première méthode.

La conclusion de scarta "Les deux sont justes, faut vivre avec" ne me satisfait qu'à moitié...

Pour ceux que sa référence au paradoxe des enveloppes questionne, vous pouvez jeter un coup d’œil ici.

Toutes vos réflexions sur ce problème sont encore les bienvenues. Merci.

 #7 - 13-05-2022 19:00:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,285E+3

Aigu vs obbtus

Bonsoir

Je n'ai pas tout lu mais à priori ça ressemble au paradoxe de Bertrand , choisir au hasard ne veut pas vraiment dire grand chose hors contexte mathématique parfaitement défini smile

Vasimolo

 

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