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 #1 - 17-01-2015 12:06:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteay 89

Mon pâtissier exhibe sur sa devanture une petite collection de gâteaux triangulaires dont les côtés sont des nombres entiers de centimètres , voici l’un d’eux :


http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-P=A.png

Périmètre = Aire : le rêve de tous les écoliers géométrophobes  .

Il prétend les avoir tous et pourtant il n’y en a pas beaucoup .

Il ajoute que l’un des gâteaux est le double d'un autre et là je ne comprends plus rien car si on double le périmètre , on quadruple l’aire .

A l’aide , il me rend chèvre lollollollol

Amusez-vous bien tant que l'obscurantisme ne nous prive pas de gâteaux sad

Vasimolo



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 #2 - 17-01-2015 13:06:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

gâtrau 89

Salut Vasimolo,

L'égalité aire-périmètre conduit, après avoir posé l'équation et après simplification, à cette égalité a=4(b-2)/(b-4), avec a et b entiers.

b-2 et b-4 n'ayant au mieux que 2 en facteur commun, b-4 ne peut prendre que les valeurs 1,2,4 et 8.
b=5 a=12 ça marche car ça donne un triangle rectangle.
b=6 a=8 c'est le cas de l'énoncé
b=8 a=6 idem
b=12 a=5 déja vu.

Il n'y a donc que 2 solutions en tout (5,12) et (6,8)

 #3 - 17-01-2015 13:11:57

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Gâteeau 89

Bonjour,
En plus du triangle réduit à un point, j'en trouve 5, dont voici les dimensions

Code:

1) 5 12 13 A=P=30 Rectangle
2) 6  8 10 A=P=24 Rectangle
3) 6 25 29 A=P=60
4) 7 15 20 A=P=42
5) 9 10 17 A=P=36

Le 3) a effectivement une aire et un périmètres doubles de ceux du 1), mais est un triangle plus aplati.

 #4 - 17-01-2015 18:41:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtau 89

@Enigmatus : bravo smile

@Nodgim : il t'en manque quelques-uns ( le triangle n'est pas forcément rectangle ) .

Vasimolo

 #5 - 17-01-2015 19:04:25

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâtea u89

Ah ben oui, je n'ai fait que les triangles rectangles...

 #6 - 17-01-2015 20:12:11

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Gâteau 899

Pour le fun j'ai aussi 5 12 13 et 9 10 17 mais je ne trouve pas de justification mathématique, juste une équation qui m'est inabordable sauf tatonnements.

16 p = (p-2a)(p-2b)(p-2c)

 #7 - 17-01-2015 20:21:13

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Gâteau 889

J'en trouve 3 aux rotations de côté près pour le moment:
{6,8,10}==> P=S=24
{9,10,17}==> P=S=36
{5,12,13}==> P=S=30

 #8 - 17-01-2015 21:39:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâeau 89

Gwen et Kossi : il en manque 2 smile

Vasimolo

 #9 - 18-01-2015 08:25:37

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

gâteay 89

Une table des triangles "héroniens" me donne :

6 8 10 => 24
5 12 13 => 30
9 10 17 => 36
7 15 20 => 42
6 25 29 => 60

 #10 - 18-01-2015 11:55:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtezu 89

Le compte est bon Gwen smile

Vasimolo

 #11 - 18-01-2015 13:33:57

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

gâtzau 89

le triplet (3,4,5) avec S=P=12 aussi en fait partie, c'est d'ailleurs la moitié du triplet (6,8,10).

Il me reste le dernier triplet à moins que ce soit (0,0,0) big_smile

 #12 - 18-01-2015 16:02:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteai 89

Non Kossi smile

3+4+5=12 et 3*4/2=6 sad

Vasimolo

 #13 - 18-01-2015 18:44:27

golgot59
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

GGâteau 89

Salut !

Bon, j'ai trouvé en cherchant bêtement :
5 12 13
6 8 10
7 15 20
9 10 17

Je n'ai pas l'impression qu'il en reste... sans certitude !

 #14 - 18-01-2015 18:56:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteu 89

Il t'en manque un Golgot et c'est celui qui donne du sens à la remarque du pâtissier smile

Vasimolo

 #15 - 18-01-2015 22:20:09

nobodydy
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Gâteauu 89

Salut

En voila déjà 1 lol

5cm /12cm /13cm  P=30cm et A=30cm2

A suivre...

 #16 - 18-01-2015 23:19:32

Franky1103
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Lieu: Luxembourg

âteau 89

Je trouve 5 gâteaux qui sont, par ordre croissant de périmètre ou de surface:
l'exemple: 6-8-10 / 5-12-13 / 9-10-17 / 7-15-20 / 6-25-29: le gâteau double.

 #17 - 18-01-2015 23:34:04

golgot59
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Gâeau 89

OK, 6 25 29, dont l'aire et le périmètre sont double de 5 12 13

Il a fallu que j'agrandisse mon fichier excel pour le dégoter celui là ! lol

 #18 - 19-01-2015 06:59:09

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1286

gâtrau 89

et en voila 2 autres !

29cm , 25 cm et 6 cm = 60cm et 60cm2

7cm, 15 cm et 20 cm = 42cm et 42cm2

Merci wink

à suivre....

 #19 - 19-01-2015 17:47:18

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Gâtea u89

Dans tout triangle la surface est reliée au périmètre par la formule S=p/2*r où r est le rayon du cercle inscrit
Donc ici r=2
donc d=4 ainsi tous les côtés ont une longueur supérieure à 4
Mais selon la formule de héron on déduit rapidement que le périmètre est multiple de 4 donc que l'expression (p-2a)(p-2b)(p-2c) est multiple de 64. A partir de cela, je cherche

edit-Tous les côtés sont multiples de deux, selon héron ça peut aider... Donc on peut commencer à a=6 et voir que qui découle


Un promath- actif dans un forum actif

 #20 - 19-01-2015 17:47:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtzau 89

@Franky et Golgot : oui smile
@Nobodydy : il en manque 1 .

Personne n'a essayé de les trouver sans machine alors que ça se fait aisément à la main avec un peu de patience .

Vasimolo

 #21 - 19-01-2015 18:07:45

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Gâteau 8

Ah oui, le triplet {3,4,5} ne le faisait pas, une division par 2 omise et voilà ...

Voici la liste complète :-)

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-TRIANGLE_PS.JPG

Le triangle 3 est le double du 1 :-)

 #22 - 19-01-2015 18:09:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 98

C'est bon Kossi smile

Vasimolo

 #23 - 19-01-2015 18:24:50

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1286

Gâteau 899

Oups !
Il en manque un sad

Alors le 9-10 et 17 cm

Et le compte est bon . J'espère lol

Merci pour cette decouverte
Héron héron petit patapon

 #24 - 19-01-2015 18:32:15

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Gâteau 98

@Promath : En effet il faut partir de la formule de Héron et raisonner sur la parité .
@Nobodydy : C'est bien , tu peux te reposer lollollollol

Vasimolo

 #25 - 20-01-2015 09:25:02

Corycos
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 25

gâyeau 89

Salut

J'ai pu trouver quatre triangles dont les aires et les périmètres ont les mêmes nombres.


A- Aire = 30 cm² , les côtés: a=5 cm, b=12 cm,c=13 cm  Périmètre = 30 cm.
B- Aire = 36 cm² , les côtés: a=9 cm, b=10 cm,c=17 cm  Périmètre = 36 cm.
C- Aire = 42 cm² , les côtés: a=7 cm, b=15 cm,c=20 cm  Périmètre = 42 cm.
D- Aire = 60 cm² , les côtés: a=6 cm, b=25 cm,c=29 cm  Périmètre = 60 cm.

Le  gâteau D est le double de A.

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