experimentalement: (d'apres mon message precedent)
- pour le cas de gauche, je trouve que je te donne 142€ (je joue)
- pour le cas de droite, je trouve que je te donne 247€  (je ne joue pas)
mais pour les calculs exacts, faudra attendre...

Bonjour,

chaque fois que vous faites 3 fois de suite pile ou face

Chaque lancer donne un "pile ou face". Donc j'aurai au total 333 séries de 3 "pile ou face".

Plus sérieusement, si je fais 3 pile de suite et 3 face de suite, te dois-je 2 € ? Ou bien détermine-t-on à l'avance si on s'intéresse aux séries de pile ou à celles de face ?

Dans ce cas, je pense être un peu gagnant en moyenne. Je ne vois pas comment faire le calcul exact, mais une simulation montre que je te devrai en moyenne entre 142 et 143 €, alors que j'en aurai touché 150.

Ajouté :
En faisant un calcul de proche en proche (programme en python), j'obtiens une valeur moyenne exacte (sauf erreur) de 142.653 €

La simulation me donnait 142.647 € (pour 1 million d'essais)

On commence par un jeu plus simple : au bout de combien de coups en moyenne obtient-on 3 piles ou 3 faces à la suite ? Par exemple, si on obtient PFPFFF, cela a pris 6 coups.

Quand on développe l'arbre des probabilités, on observe qu'il y a une proba de 1/4 que ce nombre soit 3, puis 1/8 que ce nombre soit 4, puis 2/16, 3/32, 5/64, 8/128... et en général Fn-3/2^(n-1) que ce nombre soit n (où Fn est le n-ième terme de la suite de Fibonacci, avec F0=F1=1).

L'espérance du nombre de coups est donc 3*1/4+4*1/8+5*2/16+6*3/32+7*5/64+8*8/128+... et un calcul un peu astucieux donne que cette espérance vaut 7 (on peut entre autres utiliser que 1/4+1/8+2/16+3/32+5/64+8/128+... vaut 1 d'après l'arbre des probas ci-dessus).

Comme 1000/7 vaut moins de 150, ça me donne très envie de jouer.

J'ai mené un calcul par ordinateur pour m'en assurer, et j'ai obtenu une espérance de gain pour nodgim de 142,653 € environ (légèrement moins que 1000/7 car il doit y avoir quelques effets de bord) : nodgim, tu risques d'y laisser quelques plumes... (note : j'ai la valeur exacte sous forme d'une fraction compliquée obtenue avec une chaîne de Markov à 1000 états).

@Ebichu: très bien ! Ta méthode est assez différente de la mienne.

@Sydre: Tu perds 208 € au bout de 1000 lancers, ça signifie que tu fais en moyenne 1 triplet en moins de 5 lancers. Il me semble que c'est un peu fort.

La réponse sous forme d'un tableau de calcul
http://data.over-blog-kiwi.com/1/22/43/ … -troi.xlsx

Donc, y a pas photo
tu gagnes environ 100€ à chaque partie.


[autre proposition : Je te propose de tirer aléatoirement 25 nombres entiers compris entre 1 et 300, s'il n'y en a pas deux identiques je te donne 3€ si deux sont identiques tu me donnes 2€]

@Sydre: c'est beaucoup mieux, et c'est presque ça. Il y a tout de même un écart trop fort par rapport à ce qui est attendu. Je ne sais pas comment tu as obtenu ta formule, ce serait intéressant de publier ta méthode.

@ Nicko Gecko :

J'imagine que "Face" et "Pile" sont données par la fonction ALEA ?

Sinon, tu es effectivement dans la bonne fourchette, bravo !

Combien d'essais as tu entrepris ou sur combien de ligne as tu fait ce calcul ?

Et oui, si on fait 1000 fois PILE ou 1000 fois FACE, on doit donner 333 €.

Pour moi la question n'est pas claire.
- Ce que tu appelles un lancer, est-ce bien un lancer de 1000 piéces ?
- Est-ce bien l'évolution du résultat en fonction de k que tu veux ?

Si c'est le cas, en arrondissant au centime :

k=  1 1000.00 €
k=  2  333.11 €
k=  3  142.65 €
k=  4   66.52 €
k=  5   32.16 €
k=  6   15.81 €
k=  7    7.83 €
k=  8    3.90 €
k=  9    1.94 €
k= 10    0.97 €
k= 11    0.48 €
k= 12    0.24 €
k= 13    0.12 €
k= 14    0.06 €
k= 15    0.03 €
k= 16    0.02 €
k= 17    0.01 €
k= 18    0.00 €

En regardant ton tableau, Enigmatus, je me rends compte que tu as compris la question. Bien sûr, à partir de k = 10, tu tombes sous l'unité, aussi il faudrait prolonger les lancers. Sinon, il ne te reste qu'à trouver le rapport entre k et ton résultat pour déduire une règle générale.

Réflexion de tête cinq minutes avant de dormir

PPP
PPF
PFP
FPP
PFF
FPF
FFP
FFF

Donc deux chances que ça arrive sur 8 lancés.
Donc si je considère que je fais 1000/8 = 125 séries de 8 lancés indépendants les uns des autres ce qui devrait être le cas, en moyenne je devrai faire 2*125 séries de 8 lancés dans lesquels apparaissent un motif PPP ou  FFF.
Il faudrait donc débourser 250€.

Je perds donc 100€.

Le raisonnement ne doit pas être tout à fait correct, il faudrait poser les choses tranquillement sur une feuille. A mon avis on devrait obtenir une jolie formule avec un produit mais je n'ai pas le temps pour le moment.

Bref je préfère que tu gardes ton argent, dans le doute.

nodgim #24 a écrit:

Bravo, Enigmatus ! c'est bien la bonne formule pour la généralisation.

Tu dois confondre, je n'ai rien dit…