Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 04-11-2016 11:29:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

vous kouez ou pas ?

Bonjour @ tous,

150 € (1) pour vous !

(1) A condition que vous me cédiez 1 € chaque fois que vous faites 3 fois de suite pile ou 3 fois de suite face en lançant 1000 fois une pièce de monnaie.

Cette offre vous tente ?

PS: quand vous donnez 1 €, vous n'avez pas à débourser un euro de plus avant les 3 coups suivants.



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 04-11-2016 12:33:05

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2990
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Vous jouez oou pas ?

Cette enigme n'est pas sans rapport avec une autre de tes énigmes en mars 2016...

Ceci dit, question... Si je fais 4 fois de suite "pile" est ce que je te donne 2€ ?
ou encore:
pile      je  donne
1 :                 0
2 :                 0
3 :                 1
4 :          1    ou     2
5 :          1    ou     3
6 :          2    ou     4
7 :          2    ou     5
8 :          2    ou     6
9 :          3    ou     7
10:         3    ou     8
11:         3    ou     9
12:         4    ou     10  ?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #3 - 04-11-2016 12:45:35

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2990
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

vois jouez ou pas ?

experimentalement: (d'apres mon message precedent)
- pour le cas de gauche, je trouve que je te donne 142€ (je joue)
- pour le cas de droite, je trouve que je te donne 247€  (je ne joue pas)
mais pour les calculs exacts, faudra attendre...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 04-11-2016 13:13:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Vou jouez ou pas ?

On donne même les options avant que la question soit posée...

@Dhrm77, c'est l'option de gauche que j'avais en tête, mais je savais bien qu'on me poserait la question.

Sinon, tes calculs approchés sont corrects. Une formule générale ?

 #5 - 04-11-2016 16:56:42

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

vius jouez ou pas ?

Bonjour,

Code:

chaque fois que vous faites 3 fois de suite pile ou face

Chaque lancer donne un "pile ou face". Donc j'aurai au total 333 séries de 3 "pile ou face".

Plus sérieusement, si je fais 3 pile de suite et 3 face de suite, te dois-je 2 € ? Ou bien détermine-t-on à l'avance si on s'intéresse aux séries de pile ou à celles de face ?

 #6 - 04-11-2016 17:45:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Vous joez ou pas ?

@Enigmatus:
Si tu fais PPP, tu payes ton €. Après, si tu fais juste derrière FFF, tu payes ton €.
Tu payes chaque fois que tu fais un PPP ou un FFF.

Comme ça, si tu te fatigues avant la fin, j'aurais gagné ma journée.

 #7 - 04-11-2016 18:08:27

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Vous jouez ou pas

Dans ce cas, je pense être un peu gagnant en moyenne. Je ne vois pas comment faire le calcul exact, mais une simulation montre que je te devrai en moyenne entre 142 et 143 €, alors que j'en aurai touché 150.

Ajouté :
En faisant un calcul de proche en proche (programme en python), j'obtiens une valeur moyenne exacte (sauf erreur) de 142.653 €

La simulation me donnait 142.647 € (pour 1 million d'essais)

 #8 - 05-11-2016 08:37:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Vous jouez u pas ?

@ Enigmatus: c'est correct, bravo.
Il y a en effet plus court que de faire 1 million d'essais...

 #9 - 05-11-2016 12:09:14

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

vpus jouez ou pas ?

On commence par un jeu plus simple : au bout de combien de coups en moyenne obtient-on 3 piles ou 3 faces à la suite ? Par exemple, si on obtient PFPFFF, cela a pris 6 coups.

Quand on développe l'arbre des probabilités, on observe qu'il y a une proba de 1/4 que ce nombre soit 3, puis 1/8 que ce nombre soit 4, puis 2/16, 3/32, 5/64, 8/128... et en général Fn-3/2^(n-1) que ce nombre soit n (où Fn est le n-ième terme de la suite de Fibonacci, avec F0=F1=1).

L'espérance du nombre de coups est donc 3*1/4+4*1/8+5*2/16+6*3/32+7*5/64+8*8/128+... et un calcul un peu astucieux donne que cette espérance vaut 7 (on peut entre autres utiliser que 1/4+1/8+2/16+3/32+5/64+8/128+... vaut 1 d'après l'arbre des probas ci-dessus).

Comme 1000/7 vaut moins de 150, ça me donne très envie de jouer.

J'ai mené un calcul par ordinateur pour m'en assurer, et j'ai obtenu une espérance de gain pour nodgim de 142,653 € environ (légèrement moins que 1000/7 car il doit y avoir quelques effets de bord) : nodgim, tu risques d'y laisser quelques plumes... (note : j'ai la valeur exacte sous forme d'une fraction compliquée obtenue avec une chaîne de Markov à 1000 états).

 #10 - 05-11-2016 14:33:42

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

oVus jouez ou pas ?

On perd 208 € en moyenne donc ce sera sans moi smile

 #11 - 05-11-2016 16:33:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

vous jouez pu pas ?

@Ebichu: très bien ! Ta méthode est assez différente de la mienne.

@Sydre: Tu perds 208 € au bout de 1000 lancers, ça signifie que tu fais en moyenne 1 triplet en moins de 5 lancers. Il me semble que c'est un peu fort.

 #12 - 05-11-2016 20:51:00

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

vous jouez ou pad ?

nodgim, si tu utilises une pièce truquée, tu peux gagner :
- une pièce tombant sur pile 41 fois sur 100 te fait perdre en moyenne 0,566 € par partie
- une pièce tombant sur pile 40 fois sur 100 te fait gagner en moyenne 1,020 € par partie

 #13 - 06-11-2016 00:45:19

aunryz
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 49

Vous jouz ou pas ?

La réponse sous forme d'un tableau de calcul
http://data.over-blog-kiwi.com/1/22/43/ … -troi.xlsx

Donc, y a pas photo
tu gagnes environ 100€ à chaque partie.


[autre proposition : Je te propose de tirer aléatoirement 25 nombres entiers compris entre 1 et 300, s'il n'y en a pas deux identiques je te donne 3€ si deux sont identiques tu me donnes 2€]


Du fagot des Nombreux

 #14 - 06-11-2016 01:45:33

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

Vous jouez uo pas ?

Effectivement j'ai calculé un peu vite roll

On perd [latex]143,05\, €[/latex] en moyenne donc il est intéressant de jouer.

La formule générale pour [latex]n[/latex] lancers est :
[TeX]\frac{92\cdot n-\lfloor\frac{n}{3}\rfloor -115}{640}[/TeX]

 #15 - 06-11-2016 08:31:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

VVous jouez ou pas ?

@Sydre: c'est beaucoup mieux, et c'est presque ça. Il y a tout de même un écart trop fort par rapport à ce qui est attendu. Je ne sais pas comment tu as obtenu ta formule, ce serait intéressant de publier ta méthode.

 #16 - 06-11-2016 14:45:02

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

Vous jouez oou pas ?

Bonjour


Avec Excel, et pour l'instant sans macro, je trouve une moyenne au bout de x lancers inférieure à 145 €
(entre 142€ et 144€)

PILE et FACE sont donnés par la fonction ALEA() avec un doute sur la frontière de 0.5 (inférieur strictement ou inférieur ou égal ?)



http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-tirage150eurosb.JPG

Rq : pour être sûr d'avoir bien compris l'énoncé : si tous les lancers sont "PILE" ou "FACE", la somme due est de 333 euros, n'est-ce pas ?

A confirmer par macro pour enregistrer un grand nombre de résultats

Pour la théorie, hummmm .... à part imaginer les combinaisons successives des triplets

PPP
PPF
PFP
PFF
FPP
FPF
FFP
FFF



A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #17 - 06-11-2016 15:58:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

vpus jouez ou pas ?

@ Nicko Gecko :

J'imagine que "Face" et "Pile" sont données par la fonction ALEA ?

Sinon, tu es effectivement dans la bonne fourchette, bravo !

Combien d'essais as tu entrepris ou sur combien de ligne as tu fait ce calcul ?

Et oui, si on fait 1000 fois PILE ou 1000 fois FACE, on doit donner 333 €.

 #18 - 06-11-2016 16:07:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Vou jouez ou pas ?

Pour ceux qui veulent aller plus loin :
Combien ça vous coûtera en moyenne, par lancer, si vous donnez 1 € pour une suite de k PILE ou k FACE ?

 #19 - 06-11-2016 17:38:29

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Vous jouez ou ps ?

Pour moi la question n'est pas claire.
- Ce que tu appelles un lancer, est-ce bien un lancer de 1000 piéces ?
- Est-ce bien l'évolution du résultat en fonction de k que tu veux ?

Si c'est le cas, en arrondissant au centime :

Code:

k=  1 1000.00 €
k=  2  333.11 €
k=  3  142.65 €
k=  4   66.52 €
k=  5   32.16 €
k=  6   15.81 €
k=  7    7.83 €
k=  8    3.90 €
k=  9    1.94 €
k= 10    0.97 €
k= 11    0.48 €
k= 12    0.24 €
k= 13    0.12 €
k= 14    0.06 €
k= 15    0.03 €
k= 16    0.02 €
k= 17    0.01 €
k= 18    0.00 €

 #20 - 06-11-2016 18:19:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Vous jouez ou pas

C'est vrai Enigmatus, la question n'est pas claire, c'est parce que je suis trop dedans....
Si la taxe de 1€ s'applique non plus au bout de 3 PILE ou 3 FACE d'affilée, mais au bout de 4 PILE ou FACE d'affilée, combien cela vous coutera t'il, en fonction du nombre de lancers (après un grand nombre de lancers) ?
Et généralisation pour n PILE ou FACE d'affilée ?

Est ce plus clair ?

 #21 - 06-11-2016 18:24:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Vous jouez ou paas ?

En regardant ton tableau, Enigmatus, je me rends compte que tu as compris la question. Bien sûr, à partir de k = 10, tu tombes sous l'unité, aussi il faudrait prolonger les lancers. Sinon, il ne te reste qu'à trouver le rapport entre k et ton résultat pour déduire une règle générale.

 #22 - 06-11-2016 21:29:36

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Vous jouez ou pa ?

Il faudra en moyenne 2^k-1 lancers pour obtenir une suite de k Pile ou de k Face.

Bloquant pour trouver le résultat avec ma méthode initiale, j'ai cherché une autre méthode pour obtenir le résultat. Avec par exemple k=3, si on appelle m le nombre moyen de lancers au bout duquel on a 3 Pile ou 3 Face, on a la relation :

m = 2*( 1/4*(m+1) + 1/8*(m+2) + 1/8*3 )

Cette relation découle de l'observation suivante : si on sait que le premier résultat est Pile, et le second Face, tout se passe comme si le premier coup avait été inutile, et donc le nombre moyen de lancers au bout duquel on a 3 Pile ou 3 Face est m+1. De même, si on sait que les 3 premiers lancers ont eu pour résultats PPF, le nombre moyen de lancers au bout duquel on a 3 Pile ou 3 Face est m+2. Enfin, si on sait que les 3 premiers lancers ont eu pour résultats PPP, le nombre de lancers au bout duquel on a 3 Pile ou 3 Face est déterminé, c'est 3.

Cette relation se résout en m=7, et si on la généralise pour tout k, on obtient m(k)=2^k-1.

Était-ce cela, ta méthode ?

 #23 - 06-11-2016 23:18:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Vous jouez u pas ?

Réflexion de tête cinq minutes avant de dormir

PPP
PPF
PFP
FPP
PFF
FPF
FFP
FFF

Donc deux chances que ça arrive sur 8 lancés.
Donc si je considère que je fais 1000/8 = 125 séries de 8 lancés indépendants les uns des autres ce qui devrait être le cas, en moyenne je devrai faire 2*125 séries de 8 lancés dans lesquels apparaissent un motif PPP ou  FFF.
Il faudrait donc débourser 250€.

Je perds donc 100€.

Le raisonnement ne doit pas être tout à fait correct, il faudrait poser les choses tranquillement sur une feuille. A mon avis on devrait obtenir une jolie formule avec un produit mais je n'ai pas le temps pour le moment.

Bref je préfère que tu gardes ton argent, dans le doute. smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 07-11-2016 07:35:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Vous jouez u pas ?

Bravo, Ebichu! c'est bien la bonne formule pour la généralisation. Je me souviens maintenant avoir déjà vu cette méthode pour ce genre de problème, perso je la maitrise assez mal. Ce n'est pas la méthode que j'ai employée, la mienne est un peu plus poussive.

@ Shadock: non, tu ne perdras pas autant d'argent, je ne suis pas aussi cruel tout de même.

 #25 - 07-11-2016 10:50:01

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Vous jouez ou aps ?

nodgim #24 a écrit:

Bravo, Enigmatus ! c'est bien la bonne formule pour la généralisation.

Tu dois confondre, je n'ai rien dit…

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Construction par schaff60
30-12-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
On continue ? (+ indices) par MthS-MlndN
12-06-2009 Enigmes Mathématiques
09-02-2008 Enigmes Mathématiques
P2T
Gateau 30+ indice par gabrielduflot
28-08-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
30-10-2009 Enigmes Mathématiques
21-05-2011 Enigmes Mathématiques
27-03-2012 Enigmes Mathématiques
P2T
Faire 20 avec des trois par supermotard125
07-01-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Avec des 8... par scarta
07-12-2016 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete