Bonjour,
Je répond un peu tard car les réponses sont déjà données. Néanmoins, je me suis intéressé a la loi de probabilité suivies par la variable aléatoire X comptant le nombre d’occurrences de trois 3P ou 3F.
Même si c'est evidemment beaucoup plus simple de calculer l'espérance comme le fait Ebichu, ça peut être intéressant de savoir la loi pour une valeur précise de X.
Supposons n le nombre de tirages.
On peut voir que pour X=k fixé, le nombre de séquences comportant k triplet parmi la séquence de longueur n peut être ramené à compter le nombre de débu de triplet parmi les n-2 tirages, sous la condition que chaque débuts soit séparés de au moins 3 cases. Si les débuts étaient séparés par au moins une case, on obtiendrait bien évidemment les coefficients binomiaux, que l'on notera (k n) (k parmi n) Ici, on notera ((k n)) k parmi n séparés de 3 cases.
Il nous reste à chercher la relation de récurrence suivie par ce nouveau coefficient binomial.
On sait que (k n) = (k n-1) + (k-1 n-1). Cette formule ce trouve ainsi: soit un début se trouve tout à droite, et il en reste k-1 à caser dans les n-1 dernières cases , donc (k-1 n-1), soit les k débuts sont situés partout sauf sur la première case, il y en a donc k parmi n-1 cases, ce qui nous donne notre relation.
Ici, en suivant le même raisonnement, on trouve que ((k n)) = ((k n-1)) + ((k-1 n-3)).
A partir de notre relation de récurrence, on trouve le triangle suivant (par la même manière que le triangle de pascal:
1 0 0 0 0 0 0 ...
1 1 0 0 0 0 0 ...
1 2 0
1 3 0
1 4 1 0
1 5 3 0
1 6 6 0
1 7 10 1
1 8 15 4
1 9 21 10
...
On reconnait les séquences
1,1,1,1,1
1,2,3,4,5,6
1,3,6,10
1,4,10 ... qui apparaissent dans le triangle de pascal
On peut donc conjecturer:
((k n)) = ( k n-2(k-1) )
Vérifions que la relation de récurrence est vérifiée:
((k n-1)) + ((k-1 n-3)) = ( k n-1-2(k-1) ) + ( k-1 n-3-2(k-2) ) = ( k n-2k+1 ) + ( k-1 n-2k+1) = ( k n-2k+2 ) = ( k n-2(k-1) ) = ((k n))
L'initialisation est facile à vérifier, par le principe de récurrence, la formule est donc juste.
On déduit donc que P(X = k) = ((k n-2))*2^k*2^(n-3k) / 2^n = ( k n-2k )*2^(n-2k) / 2^n (2^k car deux choix possibles pour chaque triplet, 2^(n-3k) car deux choix possibles pour chaque tirage restant)...
Il reste alors à calculer l'espérance (mais ça m'a l'air assez dur...)