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Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 23-06-2009 10:06:07

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×5×313

Muliplication de Fibonacci

Nouveau concours sur wildaboutmath :

Soit F la série de Fibonacci :
F0=1[/latex],[latex]F1=1[/latex],et[latex]Fn=Fn2+Fn1
Simplifier l'expression :
Sn=F0×F1+F1×F2+F2×F3+...+Fn1×Fn+Fn×Fn+1
Spoiler : [Afficher le message]
Si ça peut vous éviter des calculs :
S0=F0×F1=1S1=S0+F1×F2=1+1×2=3S2=S1+F2×F3=3+2×3=9S3=S2+F3×F4=9+3×5=24S4=S3+F4×F5=24+5×8=64

Si vous souhaitez participer au concours, voyez le règlement ici :
http://wildaboutmath.com/2009/06/22/mmm … nacci-fun/

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#0 Pub

 #2 - 23-06-2009 11:45:44

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

multiplication dr fibonacci

S0=1=12=(F1)2S1=3=1×3=F1×F3S2=9=32=(F3)2S3=24=3×8=F3×F5S4=64=82=(F5)2S5=168=8×21=F5×F7S6=441=212=(F7)2S7=1155=21×55=F7×F9S8=3025=552=(F9)2S9=7920=55×144=F9×F11...
Vérifions donc que :
S2n=(F2n+1)2S2n1=F2n1×F2n+1
Par récurrence :

- OK pour S0 et S1 : voir plus haut smile

- supposons qu'à un rang k donné,
S2k=(F2k+1)2S2k1=F2k1×F2k+1
Alors :
S2k+1=S2k+F2k+1×F2k+2=(F2k+1)2+F2k+1×F2k+2=F2k+1×(F2k+1+F2k+2)=F2k+1×F2k+3
Puis :
S2k+2=S2k+1+F2k+2×F2k+3=F2k+1×F2k+3+F2k+2×F2k+3=(F2k+1+F2k+2)×F2k+3=(F2k+3)2
Et voilà big_smile

Merci d'avoir donné les premiers termes, c'est bien aussi d'avoir une idée du résultat qu'on cherche à obtenir avant de commencer les calculs hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 23-06-2009 11:53:21

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

multiplicatuon de fibonacci

Si n est est pair:
S(n) = F(n)*F(n)

Si n est impair:
S(n) = F(n)*F(n) - 1


Démo par récurrence

0 et 1 OK

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fibonacci

Cas n impair

S(n+1) = S(n) +F(n)*F(n+1) = F(n)*F(n) - 1 +F(n)*F(n+1)

Cassini: F(n)*F(n) = F(n-1)*F(n+1) + 1

S(n+1)= F(n-1)*F(n+1)+F(n)*F(n+1)= F(n+1)*(F(n-1)+F(n))

Or F(n-1)+F(n) = F(n+1)

donc

S(n+1) = F(n+1)*F(n+1)

Cas n pair

S(n+1) = S(n) +F(n)*F(n+1) = F(n)*F(n)+F(n)*F(n+1)

Cassini: F(n)*F(n) = F(n-1)*F(n+1) - 1

S(n+1)= F(n-1)*F(n+1)+F(n)*F(n+1)-1= F(n+1)*(F(n-1)+F(n)) -1

Or F(n-1)+F(n) = F(n+1)

donc:

S(n+1) = F(n+1)*F(n+1) -1


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #4 - 23-06-2009 20:37:03

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 614

Multiplication de Fiboncci

http://www.prise2tete.fr/upload/gabriel … onacci.pdf

Rectification: il y a un changement d'indices à faire en posant m=n-1 et revenir à n donc à la fin les 2 exposants sont 2×n1

 #5 - 29-06-2009 11:23:39

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×5×313

Multiplication de Fibonaci

Je ne veux pas me prononcer mais j'ai trouvé par récurrence comme MthS et papiauche. Mais bravo à tous ceux qui ont essayé car ce n'était pas facile.

L'auteur a signalé en milieu de semaine que seules 2 personnes avaient répondu, si vous souhaitez participer au concours envoyez lui votre méthode (expliquée en anglais) par mail.

 #6 - 01-07-2009 09:52:10

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×5×313

Multipliication de Fibonacci

 #7 - 04-07-2009 20:05:56

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×5×313

Multiplication de Fbonacci

 #8 - 04-07-2009 20:09:31

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Multipliication de Fibonacci

La prochaine fois tu gagneras wink
En tout cas, nous sommes très fiers de voir un représentant de p2t cité ainsi lollol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #9 - 04-07-2009 23:56:08

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

multiplication de fivonacci

Le vainqueur, c'est moi. cool
Au tirage au sort.neutral

Spoiler : [Afficher le message] Et en plus, c'est vrai, mail de confirmation re-routé sur demande

Je vois voir avec le ch'Ef comment faire dation de cette somme importante à P2T.

Faut dire, avec la bande passante que la chenille consomme, cela lui revient de droit.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #10 - 05-07-2009 00:04:36

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Multiplicatin de Fibonacci

Tu es Henno Brandsma,  .mau.ou Olivier ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #11 - 05-07-2009 00:09:17

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Multiplicaton de Fibonacci

Olivier, malin big_smile


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #12 - 05-07-2009 00:34:01

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Multiplication de ibonacci

grandiose, p2t est cité deux fois, bravo à vous lol


http://enigmusique.blogspot.com/
 

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