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 #1 - 23-06-2009 10:06:07

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Multiplication e Fibonacci

Nouveau concours sur wildaboutmath :

Soit [latex]F[/latex] la série de Fibonacci :
[TeX]F_0=1[/latex], [latex]F_1=1[/latex], et [latex]F_n=F_{n-2}+F_{n-1}
[/TeX]
Simplifier l'expression :
[TeX]S_n = F_0 \times F_1 + F_1 \times F_2 + F_2 \times F_3 + ... + F_{n-1} \times F_n + F_n \times F_{n+1}[/TeX]
Spoiler : [Afficher le message]
Si ça peut vous éviter des calculs :
[latex]S_0 = F_0 \times F_1 = 1
S_1 = S_0 + F_1 \times F_2 = 1+1 \times 2 = 3
S_2 = S_1 + F_2 \times F_3 = 3+ 2 \times 3 = 9
S_3 = S_2 + F_3 \times F_4 = 9+ 3 \times 5 = 24
S_4 = S_3 + F_4 \times F_5 = 24+ 5 \times 8 = 64[/latex]

Si vous souhaitez participer au concours, voyez le règlement ici :
http://wildaboutmath.com/2009/06/22/mmm … nacci-fun/



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 #2 - 23-06-2009 11:45:44

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

multiplixation de fibonacci

[TeX]S_0 = 1 = 1^2 = (F_1)^2
S_1 = 3 = 1 \times 3 = F_1 \times F_3
S_2 = 9 = 3^2= (F_3)^2
S_3 = 24 = 3 \times 8 = F_3 \times F_5
S_4 = 64 = 8^2= (F_5)^2
S_5 = 168 = 8 \times 21 = F_5 \times F_7
S_6 = 441 = 21^2= (F_7)^2
S_7 = 1155 = 21 \times 55 = F_7\times F_9
S_8 = 3025 = 55^2= (F_9)^2
S_9 = 7920 = 55 \times 144 = F_9 \times F_{11}...[/TeX]
Vérifions donc que :
[TeX]S_{2n} = (F_{2n+1})^2
S_{2n-1} = F_{2n-1} \times F_{2n+1}[/TeX]
Par récurrence :

- OK pour [latex]S_0[/latex] et [latex]S_1[/latex] : voir plus haut smile

- supposons qu'à un rang k donné,
[TeX]S_{2k} = (F_{2k+1})^2
S_{2k-1} = F_{2k-1} \times F_{2k+1}[/TeX]
Alors :
[TeX]S_{2k+1} = S_{2k} + F_{2k+1} \times F_{2k+2}
= (F_{2k+1})^2 + F_{2k+1} \times F_{2k+2}
= F_{2k+1} \times (F_{2k+1} + F_{2k+2})
= F_{2k+1} \times F_{2k+3}[/TeX]
Puis :
[TeX]S_{2k+2} = S_{2k+1} + F_{2k+2} \times F_{2k+3}
= F_{2k+1} \times F_{2k+3} + F_{2k+2} \times F_{2k+3}
= (F_{2k+1} + F_{2k+2}) \times F_{2k+3}
= (F_{2k+3})^2[/TeX]
Et voilà big_smile

Merci d'avoir donné les premiers termes, c'est bien aussi d'avoir une idée du résultat qu'on cherche à obtenir avant de commencer les calculs hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 23-06-2009 11:53:21

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

Mutliplication de Fibonacci

Si n est est pair:
S(n) = F(n)*F(n)

Si n est impair:
S(n) = F(n)*F(n) - 1


Démo par récurrence

0 et 1 OK

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fibonacci

Cas n impair

S(n+1) = S(n) +F(n)*F(n+1) = F(n)*F(n) - 1 +F(n)*F(n+1)

Cassini: F(n)*F(n) = F(n-1)*F(n+1) + 1

S(n+1)= F(n-1)*F(n+1)+F(n)*F(n+1)= F(n+1)*(F(n-1)+F(n))

Or F(n-1)+F(n) = F(n+1)

donc

S(n+1) = F(n+1)*F(n+1)

Cas n pair

S(n+1) = S(n) +F(n)*F(n+1) = F(n)*F(n)+F(n)*F(n+1)

Cassini: F(n)*F(n) = F(n-1)*F(n+1) - 1

S(n+1)= F(n-1)*F(n+1)+F(n)*F(n+1)-1= F(n+1)*(F(n-1)+F(n)) -1

Or F(n-1)+F(n) = F(n+1)

donc:

S(n+1) = F(n+1)*F(n+1) -1


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #4 - 23-06-2009 20:37:03

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Multiplication de Fibonaci

http://www.prise2tete.fr/upload/gabriel … onacci.pdf

Rectification: il y a un changement d'indices à faire en posant m=n-1 et revenir à n donc à la fin les 2 exposants sont [latex] 2 \times n - 1[/latex]

 #5 - 29-06-2009 11:23:39

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Multiplciation de Fibonacci

Je ne veux pas me prononcer mais j'ai trouvé par récurrence comme MthS et papiauche. Mais bravo à tous ceux qui ont essayé car ce n'était pas facile.

L'auteur a signalé en milieu de semaine que seules 2 personnes avaient répondu, si vous souhaitez participer au concours envoyez lui votre méthode (expliquée en anglais) par mail.

 #6 - 01-07-2009 09:52:10

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Multiplication dee Fibonacci

 #7 - 04-07-2009 20:05:56

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

multiplicarion de fibonacci

 #8 - 04-07-2009 20:09:31

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Multipllication de Fibonacci

La prochaine fois tu gagneras wink
En tout cas, nous sommes très fiers de voir un représentant de p2t cité ainsi lollol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #9 - 04-07-2009 23:56:08

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

Mutliplication de Fibonacci

Le vainqueur, c'est moi. cool
Au tirage au sort.neutral

Spoiler : [Afficher le message] Et en plus, c'est vrai, mail de confirmation re-routé sur demande

Je vois voir avec le ch'Ef comment faire dation de cette somme importante à P2T.

Faut dire, avec la bande passante que la chenille consomme, cela lui revient de droit.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #10 - 05-07-2009 00:04:36

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Multiplication de Fiboacci

Tu es Henno Brandsma,  .mau.ou Olivier ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #11 - 05-07-2009 00:09:17

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

Multiplication de Fbonacci

Olivier, malin big_smile


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #12 - 05-07-2009 00:34:01

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Multiplcation de Fibonacci

grandiose, p2t est cité deux fois, bravo à vous lol


http://enigmusique.blogspot.com/
 

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