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 #1 - 04-01-2017 15:35:54

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Double paalindrome

Bonjour à tous.
Voici une petite énigme inspirée d'un site anglophone :
Quel est le plus petit nombre entier supérieur à 32 dont les écritures dans les bases 31 et 32 sont toutes deux des palindromes ?



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 #2 - 04-01-2017 15:53:01

ash00
Sage de Prise2Tete
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Double palinddrome

Comme c'est la saison, j'ai testé 2017 !
232 et 1v1 respectivement !

 #3 - 04-01-2017 17:37:53

scarta
Elite de Prise2Tete
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double palibdrome

Sans réfléchir, j'ai testé 2017. C'est la mode tongue

 #4 - 04-01-2017 17:57:23

scarta
Elite de Prise2Tete
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Double plaindrome

Démo: à 2 chiffres, un tel résultat n'existe pas.
à 3 chiffres, on a
a*1025 + 32*b = c*962 + 31*d
c = 1 ==> a = 1 ==> 32b + 63 = 31d ==> équation diophantienne ==> résultat non concluant
c = 2 et même raisonnement ==> on trouve 2017

 #5 - 04-01-2017 18:12:55

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

doubme palindrome

Deux chiffres => N = 33.a = 32.b => impossible
Trois chiffres => N = 1025.a + 32.b = 962.c + 31 d
Un tableur donne: N = 1025 x 1 + 32 x 31 = 962 x 2 + 31 x 2 = 2017
Ce nombre s’écrit: 1-31-1 en base 32 et 2-3-2 en base 31
Merci pour ce petit divertissement.

 #6 - 04-01-2017 18:34:34

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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dpuble palindrome

Bonjour,
Comme par hasard, c'est 2017.

 #7 - 04-01-2017 18:42:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3136

Double palidnrome

J'ai un 15919 qui s'écrit 16 17 16 en B31 et 15 17 15 en B32.
Mais ce n'est pas validé....

 #8 - 04-01-2017 18:54:53

fvallee27
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oDuble palindrome

2017, voilà le genre d'exercice de maths que j'aime ! (parce qu'il est à mon niveau)
smile
Merci scrablor.


Science sans conscience n'est que scie à saucisses

 #9 - 04-01-2017 19:18:17

nodgim
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fouble palindrome

Sinon 2017 c'est mieux ( 232 en b31, 1 31 1 en b32)
Et c'est bien le plus petit possible !

 #10 - 04-01-2017 20:01:30

gwen27
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double pzlindrome

Sans trop réfléchir, je tente 2017 big_smile et ça marche !  lol

Il faudra attendre 129 ans pour la reposer celle-ci : http://oeis.org/A048268

 #11 - 05-01-2017 10:48:09

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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double palindrole

Soit n un nombre vérifiant ces conditions.

Supposons que le nombre s'écrit en base 32 avec 2 "chiffres".
Ces 2 chiffres sont identiques car c'est un palindrome en base 32 : a.a(32)
Alors n = 32.a + a = 33a, avec 1 <= a <= 31
Conséquence : 33 <= n <= 1023

On veut donc que ce nombre soit aussi un palindrome en base 31.
Si il s'écrit b.b(31), alors n = 32b, 1 <= b <= 30
Mais 33a = 32b est impossible pour 1 <= a <= 31 et 1 <= b <= 30
Donc il s'écrit avec au moins 3 chiffres : b.c.b(31). Soit n = 31*31*b + 31*c + b
L'encadrement de n impose que b soit égal à 1
On a alors 33a = 962b + 31c
Si on applique un module 31 : 2a = b [31]
3 cas possibles seulement, d'après les encadrements de a et b :
1/ b = 2a, alors 33a = 962(2a) + 31c => impossible
2/ b = 2a-31, alors 33a = 962(2a-31) + 31c => 61a + c = 962. Implique c = 47 [61] ce qui est impossible d'après l'encadrement de c
3/ b = 2a-62, alors 33a = 962(2a-62) + 31c => 61a + c = 1924. Implique c = 33 [61] ce qui est impossible d'après l'encadrement de c

Donc le nombre cherché s'écrit nécessairement avec au moins 3 chiffres en base 32
Je passe les calculs et les hypothèses des différents cas possibles, c'est pas très passionnant.
Mais en cherchant un nombre de la forme 1.a.1 (32), on finit par trouver le plus petit nombre possible : 1.31.1 (32) s'écrit aussi 2.3.2 (31)

Et ce nombre vaut ... 2017 !
Bonne année smile

 #12 - 05-01-2017 11:14:28

nobodydy
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double palindeome

http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-scrablor-2017.jpg

232 (31)
1v1 (32)

 #13 - 05-01-2017 16:46:16

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Doouble palindrome

Et dire que j'ai pris la peine de faire un programme pour trouver la réponse... ce n'est pas la question, mais le suivant est 3010 smile

 #14 - 05-01-2017 17:02:02

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 426

Doube palindrome

D'ailleurs, il y a plein de choses intéressantes à dire. Les premiers palindromes forment une suite arithmétique de terme initial 2017 et de raison 993, jusqu'à 28828. Leur écriture en base 31 est de la forme a.(a+1).a avec a entre 2 et 29, et leur écriture en base 32 est de la forme (a-1).(33-a).(a-1).

Puis vient 28860 qui est un peu différent, puisque son écriture en base 31 est 30.0.30, et 28.5.28 en base 32.

Puis, c'est le grand trou, jusqu'à 2034625 qui s'écrit respectivement 2.6.9.6.2 et  1.30.2.30.1. Puis vient 3020674... Peut-être y a-t-il moyen de tous les identifier ?

 #15 - 05-01-2017 19:02:23

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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douvle palindrome

Bonjour,
a deux chiffres pour les deux:
n*33 = p*34 impossible (n est de la forme k*34 et p de la forme k'*33, k=0 impossible k=1 trop grand)

trois chiffres en base 32, 2 en base 33:
n*(32²+1) + 32*p = 34q
si q = 32, 34*32 = 32²+32*2 , n ne peut pas être à la fois 1 et 0.
q = 31, 34*31 = 32² + 32*2 - 34 = 32² + 32 - 2= 32² + 30 non
q = 30 trop petit

trois chiffres dans les deux cas:
n(33²+1)+33p = q(32²+1)+32r
donc 33p - 32r + (n-q)(32²+1) + 65n = 0
supposons n = q:
alors 32(p - r + 2n) + p + n = 0
p+n< 64 donc p+n = 32 donc p-r+2n = 1 donc 32 -r +n = 1 donc r-n = 31 impossible car r inférieur à 31 et n supérieur à 1

trois et 4 chiffres
étude de cas comme avant, impossible

grrr... lol

 #16 - 05-01-2017 22:45:35

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 947

double palindrole

Beaucoup de réponses, plus ou moins expliquées.

@ caduk > relis mon post, il s'agit des bases 31 et 32.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #17 - 06-01-2017 21:08:57

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 182

Double palinrome

Mince, qu'est ce que j'ai fait...
Bon, on retrouve quand même les même résultats en utilisant la même méthode.
J'ai oublié d'écrire le cas ou n-q est non nul.
soit n-q = 1
On a alors 31(p - r) + p + (n-q)(31²+1) + 63*n = 0
or  (n-q)(31²+1) + 63*n = 0 < 31*31+1+63*2 = 1088
1088/31 = 35,097
31(p - r) est la division euclidienne par 31 car p est inférieur à 31 donc p-r > 35 impossible...

Maintenant, réétudions le cas de 3 et 4 chiffres (avec des détails cette fois ci...)
écrivons a|b|c la concaténation des chiffres a b et c:
31|31|31 s'écrit en base 31:1|3|3|0
qui n'est pas un palindrome.
Les plus petit palindrome en base 32 du plus grand au plus petit sont successivement: 31|31|31, 31|30|31, 31|29|31, 31|28|31...
On retire 32 à chaque étape soit une 31-aine et une unité en base 31.
On obtient donc successivement 1|3|3|0, 1|3|2|30, 1|3|1|29
La différence entre unités est toujours -3 ou 28
La différence entre les 31²-aines et les 31^3-aines est soit 2,1ou 0, donc on n'obtiendra pas de palindrome.

Plus petit, on a ensuite 30|31|30 qui donne 1|2|0|29 qui ne marche pas (écart de 29 ou de 2)
Ensuite, on a 29|31|29 qui donne 1|1|29|27 marche pas
Ensuite, on est trop petit...

quatre chiffres dans les deux cas:
(32^3+1)p + (32²+32)q = (31^3+1)m + (31²+31)n
donc (31^3+1)(p-m) + 2977p +  (31²+31)(q-n) + 64q = 0
Si p = m
2977p +  (31²+31)(q-n) + 64q = 0
comme pgcd(30²+30*k, 64) = 1 ou 2 , donc p = 0 ou 32
or p ne peut pas être nul, et est inférieur à 31 donc pas de solutions...

Si p - m non nul:
si p-m = -1:
2977p + 64q + (31²+31)(q-n) = (31^3+1)
Or de même, pgcd((31^3+1)k + (31²+31)r , 64) = 1 ou 2 donc pas de solutions

J'espère que je n'ai toujours pas loupé la solution... mad

Edit:
Je me suis gouré sur ma partie avec trois chiffres roll

on a p + 63n < 30 + 63*30 = 1920
en étudiant les cas possible pour la valeur de p-r, on trouve 2146, merci scrablor... big_smile

 #18 - 07-01-2017 18:05:58

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Messages : 947

doubme palindrome

Merci aux participants.

Voici ma méthode :
Un nombre supérieur à 32 s'écrit avec au moins deux chiffres dans les bases 31 et 32.

Supposons qu'il s'écrive aa en base 32. Il vaut alors 32a+a, soit 31a+2a. Si a<16, le nombre s'écrit ab avec b=2a en base 31, ce qui n'est pas un palindrome. Si 15<a<31, N=(a+1)*31+(2a-31), mais (a+1)=(2a-31) demanderait a=32, impossible. Si a=31, 31²+2*31 s'écrit 120 en base 31 et ce n'est toujours pas un palindrome.

Le nombre N cherché a donc au moins trois chiffres en base 32.
Partons de N = a*32² + b*32 + a
N = a*(31+1)² + b*(31+1) + a
N = a*31² + (2a+b)*31 + (2a+b)
Nécessairement, 2a+b est supérieur ou égal à 31, sinon N s'écrirait acc en base 31 en posant c=2a+b, avec c>a, et cela ne serait pas un palindrome.
Posons 2a+b = 31+d.
Alors N = (a+1)*31² + (d+1)*31 + d

On ne veut que le plus petit, essayons a=1 et donc d=2 pour avoir un palindrome.
Effectivement :
2*31² + 3*31 + 2 = 2017
1*32² + 31*32 + 1 = 2017

Bonne année 2017 !


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #19 - 08-01-2017 00:23:26

fvallee27
Elite de Prise2Tete
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Doubl epalindrome

Comme je n'ai pas vos connaissances en mathématiques (d'ailleurs je ne comprends rien à vos explications), j'ai fait le bourrin dans dcode : changement de base N, et j'ai entré tous les palindromes de la base 31, jusqu'à ce que je trouve celui de la base 32. Pas très élégant, mais ça fonctionne ! smile


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