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#1 - 04-01-2017 15:35:54
- scrablor
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Double palidrome
Bonjour à tous. Voici une petite énigme inspirée d'un site anglophone : Quel est le plus petit nombre entier supérieur à 32 dont les écritures dans les bases 31 et 32 sont toutes deux des palindromes ?
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#2 - 04-01-2017 15:53:01
- ash00
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Duble palindrome
Comme c'est la saison, j'ai testé 2017 ! 232 et 1v1 respectivement !
#3 - 04-01-2017 17:37:53
- scarta
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Doouble palindrome
Sans réfléchir, j'ai testé 2017. C'est la mode
#4 - 04-01-2017 17:57:23
- scarta
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Double pallindrome
Démo: à 2 chiffres, un tel résultat n'existe pas. à 3 chiffres, on a a*1025 + 32*b = c*962 + 31*d c = 1 ==> a = 1 ==> 32b + 63 = 31d ==> équation diophantienne ==> résultat non concluant c = 2 et même raisonnement ==> on trouve 2017
#5 - 04-01-2017 18:12:55
- Franky1103
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Double palidnrome
Deux chiffres => N = 33.a = 32.b => impossible Trois chiffres => N = 1025.a + 32.b = 962.c + 31 d Un tableur donne: N = 1025 x 1 + 32 x 31 = 962 x 2 + 31 x 2 = 2017 Ce nombre s’écrit: 1-31-1 en base 32 et 2-3-2 en base 31 Merci pour ce petit divertissement.
#6 - 04-01-2017 18:34:34
- enigmatus
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Double palinndrome
Bonjour, Comme par hasard, c'est 2017.
#7 - 04-01-2017 18:42:47
- nodgim
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Double plaindrome
J'ai un 15919 qui s'écrit 16 17 16 en B31 et 15 17 15 en B32. Mais ce n'est pas validé....
#8 - 04-01-2017 18:54:53
- fvallee27
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Double palindome
2017, voilà le genre d'exercice de maths que j'aime ! (parce qu'il est à mon niveau)
Merci scrablor.
Science sans conscience n'est que scie à saucisses
#9 - 04-01-2017 19:18:17
- nodgim
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souble palindrome
Sinon 2017 c'est mieux ( 232 en b31, 1 31 1 en b32) Et c'est bien le plus petit possible !
#10 - 04-01-2017 20:01:30
- gwen27
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Double palindrrome
Sans trop réfléchir, je tente 2017 et ça marche !
Il faudra attendre 129 ans pour la reposer celle-ci : http://oeis.org/A048268
#11 - 05-01-2017 10:48:09
- L00ping007
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Double plaindrome
Soit n un nombre vérifiant ces conditions.
Supposons que le nombre s'écrit en base 32 avec 2 "chiffres". Ces 2 chiffres sont identiques car c'est un palindrome en base 32 : a.a(32) Alors n = 32.a + a = 33a, avec 1 <= a <= 31 Conséquence : 33 <= n <= 1023
On veut donc que ce nombre soit aussi un palindrome en base 31. Si il s'écrit b.b(31), alors n = 32b, 1 <= b <= 30 Mais 33a = 32b est impossible pour 1 <= a <= 31 et 1 <= b <= 30 Donc il s'écrit avec au moins 3 chiffres : b.c.b(31). Soit n = 31*31*b + 31*c + b L'encadrement de n impose que b soit égal à 1 On a alors 33a = 962b + 31c Si on applique un module 31 : 2a = b [31] 3 cas possibles seulement, d'après les encadrements de a et b : 1/ b = 2a, alors 33a = 962(2a) + 31c => impossible 2/ b = 2a-31, alors 33a = 962(2a-31) + 31c => 61a + c = 962. Implique c = 47 [61] ce qui est impossible d'après l'encadrement de c 3/ b = 2a-62, alors 33a = 962(2a-62) + 31c => 61a + c = 1924. Implique c = 33 [61] ce qui est impossible d'après l'encadrement de c
Donc le nombre cherché s'écrit nécessairement avec au moins 3 chiffres en base 32 Je passe les calculs et les hypothèses des différents cas possibles, c'est pas très passionnant. Mais en cherchant un nombre de la forme 1.a.1 (32), on finit par trouver le plus petit nombre possible : 1.31.1 (32) s'écrit aussi 2.3.2 (31)
Et ce nombre vaut ... 2017 ! Bonne année
#12 - 05-01-2017 11:14:28
- nobodydy
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doyble palindrome
232 (31) 1v1 (32)
#13 - 05-01-2017 16:46:16
- Ebichu
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Douuble palindrome
Et dire que j'ai pris la peine de faire un programme pour trouver la réponse... ce n'est pas la question, mais le suivant est 3010
#14 - 05-01-2017 17:02:02
- Ebichu
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Double palindromme
D'ailleurs, il y a plein de choses intéressantes à dire. Les premiers palindromes forment une suite arithmétique de terme initial 2017 et de raison 993, jusqu'à 28828. Leur écriture en base 31 est de la forme a.(a+1).a avec a entre 2 et 29, et leur écriture en base 32 est de la forme (a-1).(33-a).(a-1).
Puis vient 28860 qui est un peu différent, puisque son écriture en base 31 est 30.0.30, et 28.5.28 en base 32.
Puis, c'est le grand trou, jusqu'à 2034625 qui s'écrit respectivement 2.6.9.6.2 et 1.30.2.30.1. Puis vient 3020674... Peut-être y a-t-il moyen de tous les identifier ?
#15 - 05-01-2017 19:02:23
- caduk
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Double palindroem
Bonjour, a deux chiffres pour les deux: n*33 = p*34 impossible (n est de la forme k*34 et p de la forme k'*33, k=0 impossible k=1 trop grand)
trois chiffres en base 32, 2 en base 33: n*(32²+1) + 32*p = 34q si q = 32, 34*32 = 32²+32*2 , n ne peut pas être à la fois 1 et 0. q = 31, 34*31 = 32² + 32*2 - 34 = 32² + 32 - 2= 32² + 30 non q = 30 trop petit
trois chiffres dans les deux cas: n(33²+1)+33p = q(32²+1)+32r donc 33p - 32r + (n-q)(32²+1) + 65n = 0 supposons n = q: alors 32(p - r + 2n) + p + n = 0 p+n< 64 donc p+n = 32 donc p-r+2n = 1 donc 32 -r +n = 1 donc r-n = 31 impossible car r inférieur à 31 et n supérieur à 1
trois et 4 chiffres étude de cas comme avant, impossible
grrr...
#16 - 05-01-2017 22:45:35
- scrablor
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dpuble palindrome
Beaucoup de réponses, plus ou moins expliquées.
@ caduk > relis mon post, il s'agit des bases 31 et 32.
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#17 - 06-01-2017 21:08:57
- caduk
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Double palindromme
Mince, qu'est ce que j'ai fait... Bon, on retrouve quand même les même résultats en utilisant la même méthode. J'ai oublié d'écrire le cas ou n-q est non nul. soit n-q = 1 On a alors 31(p - r) + p + (n-q)(31²+1) + 63*n = 0 or (n-q)(31²+1) + 63*n = 0 < 31*31+1+63*2 = 1088 1088/31 = 35,097 31(p - r) est la division euclidienne par 31 car p est inférieur à 31 donc p-r > 35 impossible...
Maintenant, réétudions le cas de 3 et 4 chiffres (avec des détails cette fois ci...) écrivons a|b|c la concaténation des chiffres a b et c: 31|31|31 s'écrit en base 31:1|3|3|0 qui n'est pas un palindrome. Les plus petit palindrome en base 32 du plus grand au plus petit sont successivement: 31|31|31, 31|30|31, 31|29|31, 31|28|31... On retire 32 à chaque étape soit une 31-aine et une unité en base 31. On obtient donc successivement 1|3|3|0, 1|3|2|30, 1|3|1|29 La différence entre unités est toujours -3 ou 28 La différence entre les 31²-aines et les 31^3-aines est soit 2,1ou 0, donc on n'obtiendra pas de palindrome.
Plus petit, on a ensuite 30|31|30 qui donne 1|2|0|29 qui ne marche pas (écart de 29 ou de 2) Ensuite, on a 29|31|29 qui donne 1|1|29|27 marche pas Ensuite, on est trop petit...
quatre chiffres dans les deux cas: (32^3+1)p + (32²+32)q = (31^3+1)m + (31²+31)n donc (31^3+1)(p-m) + 2977p + (31²+31)(q-n) + 64q = 0 Si p = m 2977p + (31²+31)(q-n) + 64q = 0 comme pgcd(30²+30*k, 64) = 1 ou 2 , donc p = 0 ou 32 or p ne peut pas être nul, et est inférieur à 31 donc pas de solutions...
Si p - m non nul: si p-m = -1: 2977p + 64q + (31²+31)(q-n) = (31^3+1) Or de même, pgcd((31^3+1)k + (31²+31)r , 64) = 1 ou 2 donc pas de solutions
J'espère que je n'ai toujours pas loupé la solution...
Edit: Je me suis gouré sur ma partie avec trois chiffres
on a p + 63n < 30 + 63*30 = 1920 en étudiant les cas possible pour la valeur de p-r, on trouve 2146, merci scrablor...
#18 - 07-01-2017 18:05:58
- scrablor
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Double palndrome
Merci aux participants.
Voici ma méthode : Un nombre supérieur à 32 s'écrit avec au moins deux chiffres dans les bases 31 et 32.
Supposons qu'il s'écrive aa en base 32. Il vaut alors 32a+a, soit 31a+2a. Si a<16, le nombre s'écrit ab avec b=2a en base 31, ce qui n'est pas un palindrome. Si 15<a<31, N=(a+1)*31+(2a-31), mais (a+1)=(2a-31) demanderait a=32, impossible. Si a=31, 31²+2*31 s'écrit 120 en base 31 et ce n'est toujours pas un palindrome.
Le nombre N cherché a donc au moins trois chiffres en base 32. Partons de N = a*32² + b*32 + a N = a*(31+1)² + b*(31+1) + a N = a*31² + (2a+b)*31 + (2a+b) Nécessairement, 2a+b est supérieur ou égal à 31, sinon N s'écrirait acc en base 31 en posant c=2a+b, avec c>a, et cela ne serait pas un palindrome. Posons 2a+b = 31+d. Alors N = (a+1)*31² + (d+1)*31 + d
On ne veut que le plus petit, essayons a=1 et donc d=2 pour avoir un palindrome. Effectivement : 2*31² + 3*31 + 2 = 2017 1*32² + 31*32 + 1 = 2017
Bonne année 2017 !
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#19 - 08-01-2017 00:23:26
- fvallee27
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double pakindrome
Comme je n'ai pas vos connaissances en mathématiques (d'ailleurs je ne comprends rien à vos explications), j'ai fait le bourrin dans dcode : changement de base N, et j'ai entré tous les palindromes de la base 31, jusqu'à ce que je trouve celui de la base 32. Pas très élégant, mais ça fonctionne !
Science sans conscience n'est que scie à saucisses
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