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 #1 - 07-12-2016 18:39:45

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

Pliae

Quelles sont toutes (!) les formes planes qui sont "semblables" à elles-mêmes* (pas égales, mais de même apparence)
lorsqu'on les plie sur elles-mêmes ?

Bien sur,
il s'agit de montrer qu'il n'y en a pas plus que ce que l'on affirme.

[Une solution est assez connue.]



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 #2 - 07-12-2016 19:05:48

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,601E+3

pliagr

Là, comme ça : un triangle rectangle isocèle et une feuille A4 ou tout rectangle de rapport v2.

Je n'en vois pas d'autre, mais de là à le prouver...

Une forme ronde se plie avec un trait droit.


Une forme à n côtés les verra s'associer 2 à 2 et donc on tend vers une forme à n/2 côtés. (+ 1 côté crée par le pli)
Après, il faut mitiger ce compte car on peut plier un côté sur lui même (en partant d'un sommet) ou deux côtés sur eux-mêmes.

Pour un triangle :

2 côtés se superposent => 1 côté
1 côté plié en 2 => 1 côté
1 côté créé => 1 côté.

Pour cela, le triangle doit être isocèle (avoir un axe de symétrie) L'angle créé est de 90° , il doit donc être isocèle rectangle.

Pour un quadrilatère :
Deux cotés doivent être pliés en 2 pour retomber sur un quadrilatère.
On forme donc deux angles droits par pliage. On a donc deux côtés parallèles et deux angles droits. Le pli suivant ne pouvant pas se faire dans le même sens, on a donc 4 côtés parallèles.
Le rapport trouvé par Léonard de Vinci pour le massicotage est obligatoire.

Au delà de 4 côtés, on ne pourra pas plier la forme sans perdre un côté dans le compte. (avec le pentagone : maximum = 4/2 +1 +1 = 4 côtés par pliage.)

 #3 - 08-12-2016 10:15:22

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

ploage

Hello !
_______

Oui pour les .... surfaces possibles de gwen27, Franky1103 et masab

Mais le plus difficile reste de prouver que ce sont les seules

(Le problème est assez "ouvert" comme on dit ces temps-ci
dans l'enseignement ...
comme pour rappeler que le reste est bien fermé (sourire)²)


Une piste : (qui restreint sérieusement le domaine de recherche) qu'en est-il des surfaces à frontières courbes ?

https://lelcaill.files.wordpress.com/2015/12/dessa0011.jpg

Bonne journée.


Du fagot des Nombreux

 #4 - 08-12-2016 10:27:41

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2798
Lieu: Luxembourg

pliagz

A cause des différentes symétries, pour l'instant je ne vois que deux solutions:
- le rectangle aux proportions de la fameuse feuille A4 (rapport entre les côtés de V2),
- le triangle rectangle isocèle, plié suivant sa hauteur.

 #5 - 08-12-2016 11:30:16

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 695

Pliaeg

Deux figures [latex]F_1[/latex] et [latex]F_2[/latex] sont-elles dites semblables si elles se déduisent l'une de l'autre par une similitude plane ?

 #6 - 08-12-2016 11:38:10

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 695

pliagr

Une solution est donnée par le triangle rectangle isocèle.
Si on le plie en deux suivant la médiatrice de l'hypoténuse, on obtient un triangle rectangle isocèle plus petit, dans le rapport [latex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex].

 #7 - 08-12-2016 17:24:46

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 151

Pliaeg

Bonjour, deux solutions triviales: le triangle rectangle isocèle et le rectangle de rapport sqrt(2)
Après, si on cherche du côté des fractales, on peut trouver une foultitude de solutions:
http://www.prise2tete.fr/upload/caduk-fractaleSemblable.JPG

Quelles sont donc les restrictions du problème? (dimension 2, surface compacte, nombre fini de points anguleux...)

 #8 - 08-12-2016 22:08:13

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

liage

Une proposition intéressante de caduk
qui ouvre vers le monde des fractals

effectivement (mais comme tu le dis caduk, je pensais plutôt à des surfaces compactes)
toute solution aura le monde des fractals qu'elle peut générer.

Mais encore une fois
plus que les solutions
il s'agit surtout de montrer qu'il n'y en a pas d'autres.

Par exemple dans le monde des surfaces délimitées par des courbes.

(bonne soirée)²


Du fagot des Nombreux

 #9 - 08-12-2016 23:57:25

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 151

Pliag

Bonjour,
Dans ce cas, on peut démontrer que les deux figures que j'ai énoncées sont les seules.

Tout d'abord, le trait de pliage est axe de symétrie de la figure.
Remarquons d'abord que la forme est forcément simplement convexe (c'est à dire sans trou). En effet, le pliage divise au moins par 2 le nombre de trou, que le trait de pliage passe à côté ou à travers les trous.
On peut ensuite remarquer que le trait de pliage ne passe qu'une seule fois par la forme. En effet, si le trait de pliage passait par au moins deux endroits différents en ressortant de la figure entre les deux, en prolongeant par symétrie des deux côtés, on obtient un trou, ce qui est contradictoire.

Maintenant, notons m le nombre de cotés droits de la figure, c'est à dire le nombre de segment sur le bord de la figure séparés par un point anguleux ou une zone courbe.
3 cas de figures:
- si le trait de pliage coupe a ses deux extrémités un côté droit, la figure obtenue comporte m/2+2 côtés droits
- si le trait de pliage ne coupe à aucune extrémité un côté droit, la figure obtenue comporte m/2+1 côtés droits.

-Si le trait de pliage coupe à l'une des deux extrémités, la figure obtenue comporte (m+1)/2 +1 côtés droits.
Il n'y a pas de soucis de nombre de côtés non entier car une figure possédant un nombre pair de côté ne peut pas être coupé de la troisième manière, et vice versa...

Il faut donc vérifier l'une des équations suivantes:
1) m = m/2 + 2, soit m = 4
2) m = m/2 + 1 soit m  = 2 (impossible)
3) m = (m+1)/2 + 1 soit m = 3

cas 1) quadrilatère, coupe par ses côtés.
Le seul cas de symétrie est le trapèze parallèle (cerf volant non compris car axe de symétrie passant par les coins.)
On obtient deux angles droit au niveau de l'axe de symétrie, ce qui impose un rectangle. On calcule facilement le seul rapport possible, qui est racine de 2.

cas 3) triangle, isocèle pour la symétrie, un angle droit au niveau de l'axe de symétrie donc triangle rectangle isocèle.

Les cas trouvés sont donc les seuls qui existent

Dernière parenthèse:
Tu sembles supposer que la fractale que j'ai tracée découle du triangle isocèle, ce qui n'est pas complètement faux, toutefois, on peut en trouver de nombreuses autres très différente vérifiant cette propriété (telle la courbe de Koch), mais qui ne sont issues ni du triangle, ni du rectangle...
Edit:
J'ai négligé les bords courbes, deux choses à compléter:
Le cas 2) n'est pas impossible, si on a un ou deux bords courbes, mais c'est très vite écarté.
Si on a trois côté droits:
-avec un bord courbe: par symétrie, l'axe passe par le bord courbe, on voit immédiatement que ça ne marche pas,  car il y aura forcément souci de rapport entre les côtés.
-deux bords courbes: par symétrie, l'axe passe par le coin, ne laisse qu'un bord courbe
-3 bords courbes: ne laisse que 2 bords courbes

Si on a 4 côtés, on supprime de même tout les cas de figures...

Edit 2:
J'ai également oublié de supprimer le cas non connexe au tout début.
On s'aperçoit que le trait de pliage doit passer par toutes les composantes connexes (sinon le nombre de composantes connexes diminue). La direction de la figure sera la même (ou opposée) si on a plus de deux composantes connexes. On remarque alors rapidement que l'on aura un problème au niveau des rapports si on a plus d'une composantes connexes...

 #10 - 09-12-2016 02:46:48

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

pluage

Il y a au moins 2 solutions simples:
le rectangle de cotés a et b, et le triangle isocele avec deux cotés de longueur a et une hauteur de longueur b, ou dans les 2 cas [latex]b = \frac{a}{\sqrt{2}}[/latex].

Quand tu dis "plie sur elle-meme" est-ce que veut dire que en pliant on superpose exactement les 2 parties. C'est a dire qu'aucune surface nouvelle ne provient que d'un coté du pliage ?
Si on n'est pas obligé de superposé exactement les 2 parties, alors je peux penser a toute une serie de triangles qui se reduisent progressivement en pliant un bout a un certain angle.

Egalement s'agit-il d'un seul pliage? Sinon un carré redevient un carré apres 2 pliages.

En fait, en y reflechissant un peu, je ne vois pas d'autre formes qui répondent à la question.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #11 - 09-12-2016 15:47:53

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 695

pliahe

Une autre solution consiste à prendre un rectangle de côtés a et b avec [latex]a = b\sqrt{2}[/latex]. On plie suivant la droite joignant les milieux des grands côtés.
C'est le cas de la feuille A0 que l'on plie en A1 ; de la feuille A1 que l'on plie en A2 etc...

PS Pour l'instant, je me contente de chercher des solutions...

 #12 - 09-12-2016 16:30:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

pliafe

Salut Aunryz,

C'est une énigme difficile, je n'ai pas encore la réponse. Un peu plus de temps ne serait pas inutile !

S'il y avait une partie courbe, le rayon de courbure ne peut être modifié dans le pliage. Or, un pliage = une diminution de l'aire. Donc le rapport rayon de courbure / aire serait forcément changé dans le pliage.

Il ne faut que des segments pour que ça marche.

 #13 - 10-12-2016 23:53:34

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

Plage

[Bon soir]

Plein de bonnes réponses pour ce qui est des deux formes (j'avais omis de préciser compactes. Merci caduk)
Franky1103, masab, dhrm77,

Pour ce qui est des justifications

effectivement
les surfaces totalement courbes sont à éliminer puisque par pliage apparaît un segment
et que dans les cas de figures mixtes symétriques,
si le rayon de courbure des parties courbes n'est pas constant chaque symétrie supprime un axe de symétrie
si le rayon de courbure est constant, chaque symétrie diminue l'amplitude des arcs de cercles en question.

L'explication détaillée de caduk (chapeau bas) va bien plus loin que ce que je voulais proposer
et qui revient à conclure que seuls sont possibles (du faire de la réduction du nombre des côtés comme l'a évoqué gwen27) le triangle isocèle rectangle et le rectangle du type A0; A1 ...

Merci de votre participation et partage
sur ce petit problème à énoncé simple
mais qui fait faire du chemin.


http://ddata.over-blog.com/0/04/35/24/2013-2014/0-GEOGEBRA/animations/02/pour-anim6-tres-petite-cycle.gif

Bon tout...


Du fagot des Nombreux

 #14 - 11-12-2016 08:16:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

Pilage

Je n'ai pas vu écrire dans l'énoncé que le pliage devait se faire selon une symétrie ! J'avais compris que lorsqu'on plie, le contour restant visible est identique au contour initial, à la taille près.
Par exemple, il est possible d'obtenir 2 figures identiques pour un rectangle lorsque le rapport longueur/largeur est compris entre 1 et V2. L'endroit du pliage se calcule facilement.
Il existe peut être d'autres cas de ce genre, mais c'est bien difficile à trouver, ou à trouver qu'il n'en existe pas d'autres.

 #15 - 11-12-2016 15:06:32

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

pliagr

Effectivement nodgim je n'ai pas précisé que
sur elle-même excluait un pliage partiel.


Merci de ta précision.


Du fagot des Nombreux

 #16 - 11-12-2016 15:51:55

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 151

Pliaeg

C'est effectivement un problème intéressant, auquel j'avais pensé, mais je l'avais rejeté car beaucoup plus dur...
Voici les conditions nécessaires et suffisantes pour un triangle:
On remarque tout d'abord que le trait de pliage doit passer par un sommet pour obtenir à nouveau un triangle, et que lors du pliage, l'un des sommets pliés doit se retrouver à l'intérieur du triangle. Notons ici a, b et c les angles au sommets A, B et C.
notons d l'angle ADB et e l'angle DBA
supposons que le sommet finissant à l'intérieur du triangle soit le sommet C. Pour obtenir à nouveau un triangle semblable au premier, il suffit de retrouver les mêmes angles. l'angle a reste le même, d est strictement plus grand que c et e strictement plus petit que b. On a donc d = b et e = c.
Pour que le sommet C se retrouve sous la droite AC, il faut que d soit supérieur à 90, soit b supérieur à 90.
Pour que le sommet C se retrouve au dessus de la droite AB, il faut que e soit supérieur à b/2, soit c supérieur à b/2.
Ces conditions sont équivalentes à un pliage qui conserve les angles. http://www.prise2tete.fr/upload/caduk-pliageTriangle.JPG

 #17 - 11-12-2016 19:23:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

plizge

Bien vu, Caduk !

Dommage que le dessin ne soit pas correct, ta base est un peu courte.

Je vois bien par exemple la Tour Eiffel qui aurait été construite penchée, que pour remédier à ça on coupe les pieds trop longs, mais qu'on les coupe trop courts de sorte que la tour se remet à pencher mais dans l'autre sens, selon la même inclinaison. Une histoire de Shadoks, quoi. 

Sinon, il est à remarquer que le pliage peut se faire une infinité de fois, comme pour le rectangle. Sous réserve bien entendu qu'on ne soit pas gêné par l'épaisseur du papier.

Le concours est donc maintenant ouvert, existe t il d'autres figures que le triangle ou le rectangle qui restent invariables par pliage ?

 

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