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 #1 - 27-04-2011 15:31:27

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

C'es l'heure 1

J'ai une horloge digitale classique, qui affiche l'heure grâce à 4 afficheurs "7-segments".
Mon horloge affiche midi. Lorsque je repasse devant, elle affiche midi six.
Avec quelle probabilité peut-on dire que 6 minutes pleines se sont écoulées ?

La case réponse valide a/b sous forme de fraction irréductible.



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#0 Pub

 #2 - 27-04-2011 15:44:53

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

C'est l'herue 1

Si on regarde l'horloge à 12:00:00, il y a 60 possibilités qui font qu'au moins 6 minutes se sont écoulées, de 12:06:00 à 12:06:59.
Si on regarde l'horlode à 12:00:01, il y a 59 possibilités qui font qu'au moins 6 minutes se sont écoulées, de 12:06:01 à 12:06:59
...
Si on regarde l'horloge à 12:00:xx secondes, il y a 60-xx possibilités qui font qu'au moins 6 minutes se sont écoulées.
...
Si on regarde l'horloge à 12:00:59 secondes, il y a 1 possibilité qui fait qu'au moins 6 minutes se sont écoulées, 12:06:59.

Chaque évènement "il s'est écoulé k secondes depuis midi", où k est compris entre 0 et 59, a une probabilité que je note p(k).
La probabilité cherchée vaut donc :
[TeX]P=\sum_{k=0}^{59}p(k).\frac{60-k}{60}
P=\sum_{k=1}^{60}\frac{k}{60}.p(60-k)[/TeX]
Or on peut considérer que [latex]p(k)=\frac1{60}[/latex] quel que soit k.

D'où [latex]P=\frac1{60^2}\sum_{k=1}^{60}k[/latex]
[TeX]P=\frac1{60^2}\frac{60.61}2[/TeX]
Et finalement [latex]P=\frac{61}{120}[/latex]

Soit un tout petit peu plus que 1 chance sur 2 smile

 #3 - 27-04-2011 16:48:41

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

c'est l'heute 1

J'ai d'abord cherché la probabilité qu'exactement 6 minutes pleines se soient écoulées mais apparemment la question est: qu'au moins 6 minutes pleines se soient écoulées. Voila pour les mouches... smile

Considérons les 2 créneaux d'une minute comme une succession de 60 secondes.
Si l'on passe devant l'horloge à 12:00:00, n'importe laquelle des 60 secondes de 12:06:xy répond à la question. La probabilité est donc de 60/60 si l'on est passé devant à 12:00:00.
Si l'on passe devant l'horloge à 12:00:01, les 59 dernières secondes de 12:06:xy répondent à la question. La probabilité est donc de 59/60 si l'on est passé devant à 12:00:01.
Si l'on passe devant l'horloge à 12:00:02, les 58 dernières secondes de 12:06:xy répondent à la question. La probabilité est donc de 58/60 si l'on est passé devant à 12:00:02.
...

La probabilité cherchée est donc:
[TeX]\dfrac1{60}.\dfrac{60}{60}+\dfrac1{60}.\dfrac{59}{60}+...=\dfrac1{60.60}.(60+59+...+2+1)=\dfrac1{60.60}.\dfrac{60.61}2=\dfrac{61}{120}[/TeX]
Ce qui est validé par la case réponse.
Il y a donc un tout petit plus d'une chance sur 2 qu'au moins 6 minutes se soient écoulées.

Merci pour cette énigme.

 #4 - 27-04-2011 16:52:10

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

x'est l'heure 1

2 bonnes réponses
@rivas: combien de mois ont 27 jours ? smile

 #5 - 27-04-2011 17:09:11

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

C'est l'here 1

Quand tu dis 6 minutes pleines, c'est "au moins 6 minutes" ?

 #6 - 27-04-2011 18:08:47

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

c'est l'heute 1

@Nombrilist : oui

 #7 - 28-04-2011 10:17:30

logan
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 90

C'est l'ehure 1

Sympa

Pour trouver il faut regarder les secondes

Si lorsqu'il était 12h00 il s'était écoulé en plus :
- 0 seconde, quelque soit le nombre de seconde écoulé à 12h06 il s'est écoulé au moins 6 minutes
- 1 seconde, pour qu'il se soit écoulé au moins 6 minutes il faut au minimum qu'il soit 12h06'01''
- 2 secondes, il faut qu'il soit au minimum 12h06'02''
- 3 secondes, (...) 12h06'03''
- ...
- 59 secondes, (...) 12h06'59''

Ainsi la probabilité qu'il se soit écoulé au moins 6 minutes

(nombre de cas possible lq 0 seconde + ... + nombre de cas possible lq 59 secondes)/(nombre de cas total)
-> (60+59+58+...+1)/(60*60)
-> [(61*60)/2]/60²
-> 61/120

 #8 - 28-04-2011 11:41:04

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

c'est l'jeure 1

Aucun mois n'a 27 jours. smile
De même qu'aucune voiture usuelle n'a 3 roues.
Avoir 27 jours veut vraiment dire pour moi exactement 27 jours.

Mais c'est simplement mon interprétation de la chose...

 #9 - 28-04-2011 13:08:08

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

c'zst l'heure 1

61/120 n'est juste qu'a la seconde pres. on estime que si on a vu les  heurea a 12:00:04 puis 12:06:04 6 minutes se sont ecoulées, alors qu'il y a une chance sur deux que en fait les heures soient par example:
12:00:04.50001 puis 12:06:04.49999 se qui n'est pas tout a fait 6 minutes.
en fait la bonne reponse devrait etre 1/2 si le temps que l'on met a regarder l'heure est infiniment petit.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #10 - 28-04-2011 14:01:19

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

'Cest l'heure 1

Bonne remarque de dhrm77 : on va donc poser comme hypothèse de ne pas descendre sous la seconde quand on parle de durée

 #11 - 28-04-2011 14:48:48

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

C'est l'eure 1

61/120

 #12 - 29-04-2011 15:49:17

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

C'est l'heur 1

Apparemment Nombrilist s'est posé la même question que moi smile

 

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