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 #1 - 29-03-2017 11:18:21

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

petitr suite sympa

Bonjour à tous,

Soit f est une fonction derivable sur [a b]

* on suppose f continuement dérivable.

Un = racine(n) * [Intégrale de a à b ] {f(x)sin(nx)dx }

Que peux on dire de la convergence de Un ?

* Que se passe il si la continuité de la dérivée n'est pas réalisée ?

Désolé ca fait un peu exercice de math mais je trouve la solution tellement jolie...



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 #2 - 29-03-2017 12:06:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3258

Pettite suite sympa

J'assimilerais bien l'aire, pour n grand, à quelque chose comme f(b)*Pi / rac (n).
Donc, une convergence vers zéro.

 #3 - 29-03-2017 12:11:46

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

Petie suite sympa

@nodgim : c'est clairement la bonne intuition mais peux tu la justifier un peu ? Je ne vois pas trop comment apparaissent les elementsde ta formule. Il existe un demo que je pense rigoureuse et qui tient en un argument et un micro-calcul

 #4 - 29-03-2017 12:56:37

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

petote suite sympa

Un converge vers 0 !
On peut montrer ça grâce à une intégration par parties : on intègre sin(nx) et on dérive f(x). Cela fait sortir un facteur 1/n qui permet de montrer que le tout converge vers 0

 #5 - 29-03-2017 13:03:15

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 526

Petite suite sypa

Intégration par parties :
[TeX]U_n = \sqrt{n} \left[\frac{-\cos(nx)f(x)}{n}\right]_a^b + \sqrt{n} \int_a^b \frac{\cos(nx)f'(x)}{n}dx[/TeX]
Comme f et f' sont continues sur un intervalle fermé, elles sont bornées : par exemple |f|<M et |f'|<M'.

Donc le premier terme est majoré par [latex]\frac{2M}{\sqrt{n}}[/latex] et le deuxième par [latex]\frac{M'(b-a)}{\sqrt{n}}[/latex] et [latex](U_n)[/latex] converge vers 0.

PS : ma solution nécessite tout de même une dérivée continue... ta méthode en a-t-elle besoin ?

 #6 - 29-03-2017 14:23:48

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

Petitee suite sympa

Oui looping et ebichu. C'etait ma demonstration.

et ebichu pointe du doigt le problème de la continuité de la dérivée à laquelle j'avais pensé mais que je n'avais pas approfondi ce qui est un tord. On va dire que le problème suppose cette continuité mais je serais intéressé de voir si il existe des contre-exemple dans le cas ou cette continuité n'est pas vérifiée.

 #7 - 29-03-2017 16:42:27

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Petite usite sympa

Bonjour, par IPP:
Un = -racine(n)/n [ [f(x)cos(nx)] + int(
[TeX]u_n = -\dfrac{\sqrt{n}}{n}[[f(x)cos(nx)]_a^b  + \int_a^b f'(x)cos(nx)dx][/TeX]
En utilisant le fait que cos est compris entre -1 et 1, cette intégrale tend vers 0
Le résultat est toujours valable si f' est continue par morceaux. Si f est continue par morceaux, ça marche aussi, on a un nombre fini de crochets, et l'encadrement fonctionnera toujours.
Reste à voir le cas ou la dérivée est discontinue en un nombre infini de points...

 #8 - 29-03-2017 17:09:55

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

petite suire sympa

Dans l'idée c'est évidemment okcaduk.

Ca ne me semble pas 100% evident dans le cas ou f' n'est pas bornée ?

Par ailleurs,il serait intéressant de voir si on arrive a trouver un contre-exemple dans le cas que tu cites...

 #9 - 02-04-2017 17:09:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

petite suitr sympa

La question correcte aurait été  : Puis-je me permettre d'en faire un problème ailleurs, avant de dire "Je l'ai fait , ça ne te dérange pas ?  , parce que de toute façon , tu ne peux rien y faire, c'est fait "

 #10 - 10-04-2017 15:21:06

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

Ptite suite sympa

@gwen27 : ca s'adresse a moi le commentaire ? smile

 #11 - 10-04-2017 18:59:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

petite quite sympa

lol non, je parle dans le vide...

 #12 - 11-04-2017 13:26:00

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Peite suite sympa

N'était-ce pas pour un certain Dattier, qui a supprimé tous ses messages (et probablement qu'on connaissait sous un autre pseudo autrefois) ?


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #13 - 11-04-2017 13:59:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

Petite suite sympaa

Un truc du genre... big_smile  En tout cas, il ressemble comme deux gouttes d'eau à quelqu'un avec qui je m'étais déjà un peu fâché.

 #14 - 18-04-2017 17:29:03

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

Pettite suite sympa

Vous êtes trop cryptiques pour moi... même si c'est probablement dans l’esprit du site...smile

Pour conclure, je ne suis pas le fameux figuier repseudoté, et le problème venait de moi, même si vu comme il est simple il existait surement quelque part.

 #15 - 18-04-2017 21:12:04

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

petite suite symoa

Non, non !
Gwen s'adressait à un certain Monsieur Dattier, qui a effacé tous ses messages, ce qui rend le fil de la discussion décousu...


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #16 - 18-04-2017 21:22:03

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

ePtite suite sympa

Bon, je vais être clair : tu as dû louper des réponses sur ce topic.

Dattier (aux abonnés absents et ayant supprimé tous ses messages, si ce n'est pas la modération ) a dit :

Coucou ! Elle est chouette ton énigme ! Je viens de la poster sur un autre site en mon nom, du coup ...  Ca ne te dérange pas ?

Je LUI ai répondu :

La question correcte aurait été  : Puis-je me permettre d'en faire un problème ailleurs, avant de dire "Je l'ai fait , ça ne te dérange pas ?  , parce que de toute façon , tu ne peux rien y faire, c'est fait "

En gros, j'ai balancé une pique à un indésirable qui a dû choisir d'aller voir ailleurs. Rien contre toi dans cette histoire.  (A part le fait que je n'ai toujours pas compris ne serait-ce que l'énoncé de l'énigme big_smile )

 

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