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 #1 - 04-03-2018 15:38:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3546

syrzcuse élargi (1)

Bonjour à tous.

Une énigme en 2 temps sur la célèbre conjecture 3n+1, pour se distraire un peu des serpents d'Ebichu.

Première partie plutôt facile.

Montrer qu'il existe une infinité de b, entier naturel impair premier avec 3, en remplacement de 1, tel qu'il existe des boucles de longueur supérieure à 1 (ce qui exclut le cas trivial n=b).

Pour une valeur b trouvée, donner le nombre minimal de nombres qui rebouclent.

Pour les non-initiés à la conjecture de Syracuse, on rappelle que c'est une suite infinie qui donne comme terme qui suit un entier donné n :  n/2 si n pair et 3n+1 sinon. Dans la présente énigme, même opération, mais en remplaçant 3n+1 par 3n+b.

Bon amusement



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 #2 - 06-03-2018 20:58:33

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Syracuse élargi ()1

Salut nodgim,

j'ai beaucoup de boulot en ce moment, peux-tu rajouter quelques jours de recherche ? Merci.

 #3 - 07-03-2018 09:09:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3546

Syracue élargi (1)

OK Ebichu, je redonne du temps.

 #4 - 12-03-2018 21:36:27

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

dyracuse élargi (1)

Salut nodgim,

désolé pour l'attente. J'ai fini par m'y mettre.

J'ai trouvé que si on prend b du type : b=2^n-9 (avec n>3), alors il existe une boucle de longueur 2 (sous-entendu, avec 2 nombres impairs à l'intérieur) commençant par 5.

En effet, on rencontre dans l'ordre :
* 5
* 3*5+2^n-9 = 6+2^n
* 3+2^(n-1)
* 3*(3+2^(n-1))+2^n-9 = 5*2^(n-1)
* 5

Par exemple, si n=4, ça donne : b=7, puis
* 5
* 3*5+7 = 22
* 22/2 = 11
* 3*11+7 = 40
* 40/2 = 20
* 20/2 = 10
* 10/2 = 5

En revanche je ne comprends pas la deuxième question, à savoir :

Pour une valeur b trouvée, donner le nombre minimal de nombres qui rebouclent.

 #5 - 13-03-2018 08:27:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3546

syracyse élargi (1)

Salut Ebichu.

Tu donnes une solution particulière à ce à quoi je pensais. Ce n'est pas mal, mais du coup, pour chaque b, tu as comme solution une seule boucle avec 2 nombres impairs, pour répondre à ton interrogation sur la seconde question de l'énigme.

Il y a une réponse bien plus générale, et qui donne potentiellement bien plus de solutions pour chaque b trouvé.

Il est nécessaire de découvrir cette solution très générale avant de passer à la seconde énigme.

J'ai dit que l'ensemble des solutions était facile à découvrir, il s'agit simplement d'une réécriture arithmétique de l'égalité supposée.

 #6 - 13-03-2018 23:28:37

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

syracuse élzrgi (1)

Je ne vois pas à quoi tu fais allusion. Ce n'est peut être pas très compliqué, mais comme je ne vois pas le point de départ du raisonnement...

 #7 - 14-03-2018 08:30:21

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3546

Syarcuse élargi (1)

Disons que la série de solutions que tu donnes correspond à des boucles toutes de longueur 2. Mais si je te demandais une solution pour une boucle de longueur 10 par exemple, et sans avoir à se casser la tête ?

 #8 - 15-03-2018 09:11:15

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Syrcuse élargi (1)

Si on pose [latex]x=\displaystyle{\sum_{i=0}^{k}2^{i}3^{k-i}}[/latex], puis [latex]b=2^n-3^k[/latex], avec n assez grand pour que b soit positif, alors en commençant par x on obtient une boucle de longueur k+1.

Est-ce à cela que tu pensais ?

 #9 - 15-03-2018 16:09:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3546

SSyracuse élargi (1)

C'est bien cela oui Ebichu.

Si j'ai insisté à réclamer ce résultat, c'est pour mieux venir à bout de la seconde partie....

 #10 - 16-03-2018 07:49:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3546

syeacuse élargi (1)

Je conseille vivement aussi de chercher à dénombrer le nombre de solutions minimal pour un b donné. ça ne sert pas directement pour la seconde partie, certes, mais ça permet de mieux comprendre la mécanique du sujet.

 

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