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 #1 - 02-01-2011 00:09:53

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

une bariante de la conjecture de syracuse ?

Bonsoir à tous,

Voici une énigme un peu plus arithmétique :

"On considère la suite suivante :
[TeX]
u_0 = N \in \mathbb{N} \quad \mbox{ et }\quad u_n = \left\{
\begin{array}{ll}
n \times u_{n-1} & \mbox{ si } u_{n-1} \neq 1 \mbox{ et } n \not | u_{n-1} \\
\frac{u_{n-1}}{n} & \mbox{ si } u_{n-1} \neq 1 \mbox{ et } n | u_{n-1} \\
1 & \mbox{ si } u_{n-1} = 1
\end{array}
\right.
[/TeX]
Etudier la convergence de cette suite pour un germe initial quelconque. Par exemple, étudier les termes de la suite quand [latex]u_0 = 3[/latex]"



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 #2 - 02-01-2011 08:29:38

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

Une variante de la conjectur ede Syracuse ?

Que veut dire les symboles [latex]|[/latex] et [latex]\not |[/latex]?
edit: probablement congru et not congru

Pour être dans l'esprit de la suite de Syracuse, il faudrait que la suite tende vers 1 avec une altitude (Nmax) et un temps de vol (n in Un).

La suite proposée multiplie les n entre eux si ils ne peuvent être divisés.

Les germes U0=1, 2 et 6 donnent des suites triviales. Pour les autres germes, disons U0 = 3, le premier 5 est rencontré avant le 6, puis le premier suivant 7 est rencontré avant de trouver un diviseur potentiel (10), etc. En conséquence la suite est multipliée par de nouveaux nombres premiers avant même la possibilité d'avoir était divisés par les derniers rencontres. Elle diverge donc pour tout germe n’étant pas n!


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 02-01-2011 09:13:32

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Une varinate de la conjecture de Syracuse ?

[TeX]a | b[/latex] : a divise b (il existe un [latex]c \in \mathbb{Z}[/latex] tel que b = ac). (ou si tu veux [latex]b \equiv 0[a][/latex])
[latex]a \not | b [/latex] : a ne divise pas b (le contraire de la définition précédente).

Exemple :
[latex]3 | 9[/latex] car [latex]9 = 3 \times 3[/TeX]
[latex]5 \not| 12[/latex] car 12 n'est pas un multiple de 5.

 #4 - 02-01-2011 10:59:42

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Une variante de la conjecture de yracuse ?

Oui c'était facile ! smile

Pourquoi ce titre alors ? Parce que c'est le même genre de suite qu'on rencontre pour la conjecture de Syracuse...

 #5 - 03-01-2011 05:08:38

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Un variante de la conjecture de Syracuse ?

Bonjour,

J'ai envie de conjecturer :
- la suite converge (vers 1 évidemment) pour u0=p!, p entier
- la suite diverge vers +infini pour les autres valeurs de u0

 #6 - 22-05-2011 03:05:46

Tompouceuh
Amateur de Prise2Tete
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une variante dr la conjecture de syracuse ?

Je suis désolé mais j'ai un contre-exemple à la conjecture.
u0 = 560 ; u1 = 560 ; u2 = 280 ; u3 = 840 ; u4 = 210 ; u5 = 42 ; u6 = 7 ; u7 = 1 ; ...
Pourtant, il n'existe pas d'entier p tel que p! = 560.

PS : pour u0 = 0 la suite converge vers 0, mais ce cas n'est pas très intéressant.

 #7 - 22-05-2011 03:39:22

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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une variante de la conjecture de syrzcuse ?

Tout à fait exact !
Et même :
[TeX]u_0=80
u_1=40
u_2=120
u_3=30
u_4=6
u_5=1[/TeX]
La suite converge en fait à partir du moment où à un certain rang n, on a
[TeX]u_n=(n+1)(n+2)...(n+m+1)[/TeX]
On aura alors [latex]u_m=1[/latex]

Pas facile de caractériser cette suite, finalement !

 #8 - 22-05-2011 16:42:26

Tompouceuh
Amateur de Prise2Tete
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une variante de la conjecture se syracuse ?

Je suis d'accord avec la seconde remarque, en fait c'est comme cela que j'ai trouvé le contre-exemple.
En revanche tu t'es trompé dans ton contre-exemple. Pour calculer u1 il faut multiplier ou diviser par 1, et non par 2, il y a un décalage d'un étage. Mais cela revient au même on aura u6 = 1.
Je chipote un peu, mais je sais qu'une erreur est vite arrivée pour si peu.

 #9 - 22-05-2011 16:54:23

L00ping007
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Une variante de la conjecture de Syracuse

Ah oui, j'ai décalé mes termes big_smile
Je corrige donc :

La suite converge en fait à partir du moment où à un certain rang n, on a
[TeX]u_n=(n+1)(n+2)...(n+m)[/TeX]
On aura alors [latex]u_m=1[/latex]

 #10 - 22-05-2011 17:11:07

Yanyan
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Une variante de la cnojecture de Syracuse ?

Tu pourrais démontré ce que tu dis parce que moi je coince... Merci


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #11 - 22-05-2011 21:51:29

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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une variante de la conjecture dz syracuse ?

Question intermédiaire : Montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de conditions
[latex]n[/latex] divise [latex]U_{n-1}[/latex] .
Cette suite est redoutable!


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #12 - 22-05-2011 21:54:44

L00ping007
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Une variante de la conjectre de Syracuse ?

Je ne dis rien d'extraordinaire, juste que si à un moment, la suite est égale à une factorielle amputée de ses premiers termes, alors aux rangs suivants on pourra diviser à chaque fois par le n suivant.
C'est évidemment le cas quand on part de [latex]u_0[/latex] qui est une factorielle.

Mais je ne montre pas que c'est une condition nécessaire, je dis juste que c'est suffisant.
Montrer que c'est nécessaire peut sans doute se faire, mais cela ne donnera toujours pas une forme générale de la suite, il reste les n premiers termes à déterminer !

Cette suite s'avère effectivement beaucoup plus redoutable qu'elle n'y paraissait smile

 #13 - 22-05-2011 21:59:24

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

une vzriante de la conjecture de syracuse ?

Je vais y travailler mais essayes aussi de répondre à la question que j'ai posé.
Merci.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #14 - 23-05-2011 01:22:55

Tompouceuh
Amateur de Prise2Tete
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Une variante de lla conjecture de Syracuse ?

En fait LOOping007 il s'agit bien d'une condition nécessaire est suffisante qu'à partir d'un certain rang on ait Un = (n+m)!/n!, sauf si u0 = 0.

En effet si l'on écarte le cas où u0 = 0, tous les termes sont supérieurs ou égaux à 1. Cela se montre rapidement par récurrence.

On suppose alors que la suite converge.  Si elle converge c'est forcément vers 1 car d'une part toute suite convergente à valeur dans N est périodique à partir d'un certain rang. Or, si Un différent de 1 ou 0 alors U(n+1) est différent de Un pour tout n>0, donc la suite ne peut rester constante.

Tant que l'on a pas atteint 1 la suite doit être décroissante pendant un instant juste avant d'atteindre 1. Pour cela à chaque rang k on divise nécessairement par k au lieu de multiplier par k.

Soit n le rang à partir duquel la suite est décroissante et n+m le premier rang pour lequel u(n+m) = 1. Pour tout k tel que n<k<=n+m u(k)=u(k-1)/k donc u(n+m)=u(n)/((n+1)...(n+m) = 1 et donc il existe n et m tels que u(n)=(n+1)...(n+m).

J'ai donc montré la réciproque la condition est donc bien nécessaire et suffisante.

 #15 - 23-05-2011 01:25:49

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Une variane de la conjecture de Syracuse ?

D'ac !
Après on peut mettre pas mal de choses (ou pas ...) aux rangs avant n

 #16 - 23-05-2011 02:35:02

Tompouceuh
Amateur de Prise2Tete
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une variante de la conjecture se syracuse ?

Une conditions nécessaire est que u0 s'écrive sous la forme (a1*...*ap)/(b1*...*bk) avec les ai et bj l'ensemble des nombres de 1 à p+k.
Est-ce une condition suffisante?
Quels sont les entiers naturels sous cette forme?

Nous allons bien finir par le résoudre ce problème !

 #17 - 23-05-2011 07:03:49

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Une variante de la ocnjecture de Syracuse ?

Il y a une condition nécessaire intéressante, l'existence d'un[latex] K>1[/latex] tel que [latex]K!/N[/latex] 

soit un carré.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #18 - 07-06-2011 16:54:19

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

une variante de la conkecture de syracuse ?

Un peu de nouveau!
La suite diverge pour tout p premier impair.

Lemme que j'aurai pu proposer en énigme (si vous avez une preuve plus simple je suis preneur) :
Une factorielle est un carré seulement pour n=1.

Preuve : n!=r² et soit p le plus grand nombre premier inférieur ou égal à n. p|r²  donc p|r d'où p²|n!, on a donc 2p inférieur ou égal à n.
Or le postulat de Bertrand affirme qu'il existe q premier strictement entre p et 2p, absurde car p était maximal.

Soit N le germe initial alors il est facile de voir qu'avant que la suite ne soit égale à 1,

[latex]U_n=\frac{Nn!}{[2^{a_2}3^{a_3}4^{a_4}...n^{a_n}]^2}[/latex] où les [latex]a_i[/latex] valent 0 ou 1.

Donc si on veut que la suite soit égale à 1 on a :

1) [latex]Nn!=[2^{a_2}3^{a_3}4^{a_4}...n^{a_n}]^2[/latex] et

2) [latex][2^{a_2}3^{a_3}4^{a_4}...r^{a_r}]^2|Nr![/latex] pour tout [latex]r\leq n[/latex].

Cas N=p :

Par la première condition on voit par les facteur carré que [latex]n\geq p[/latex].
Par la condition 2) appliquée à r=p on a [latex]a_p=1[/latex].

Donc finalement n! devrait être un carré.

J'espère qu'il n'y a pas d'erreurs.
smile


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 #19 - 13-06-2011 20:48:30

nodgim
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Une variante de la conjecture de Syracuse

Autre chose:
Aucun nombre qui finit à 1 n'est dépourvu d'une puissance de 2. Et seul u0=2 est uniquement composé que du seul nombre premier 2, tous les autres sont des composés.
Pour un nombre n qui finit à 1, tous les nombres premiers compris entre n et n/2 sont dans la décomposition de ce nombre.

 #20 - 14-06-2011 10:35:47

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Une avriante de la conjecture de Syracuse ?

Nodgim tu peux mettre tes preuves.
Merci. smile


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 #21 - 14-06-2011 18:10:00

nodgim
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une variante de la cpnjecture de syracuse ?

Oui je vais rédiger dès que j'aurai un peu plus de temps.

 #22 - 17-06-2011 22:09:26

nodgim
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une variante de lz conjecture de syracuse ?

Comme promis la suite de ce que j'avais annoncé:

1) Tout d'abord, pour infirmer la thèse (que j'avais émise un peu trop rapidement) selon laquelle aucun nombre qui finit à 1 n'est impair, voici un nombre impair qui finit à 1, et ce n'est pas le seul:

N=3^12*5^7*7^4*17*19*23*29.
Ce nombre aboutit à 1 pour u30.

2) Sinon, pour aller un peu plus loin, j'avance que tout nombre N qui finit à 1 est composé au moins des nombres premiers dont la puissance dans la décomposition de n! est impaire. Ce qui exclut bien entendu tout nombre premier à l'exception de 2.
Je laisse méditer sur cette nouvelle assertion.

 #23 - 17-06-2011 23:06:26

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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une variante de la conjecture dz syracuse ?

Oui je suis d'accord et cela simplifie ma preuve plus besoin de la factorielle carrée.

Je rappelle les conditions que j'avais trouvé, si la suite s'arrête au rang n alors :


1) [latex]Nn!=[2^{a_2}3^{a_3}4^{a_4}...n^{a_n}]^2[/latex] et

2) [latex][2^{a_2}3^{a_3}4^{a_4}...r^{a_r}]^2|Nr![/latex] pour tout [latex]r\leq n[/latex].

où les [latex]a_i[/latex] valent 0 ou 1.


De plus les [latex]a_i[/latex] sont maximaux pour la propriété 2).

J'ai aussi trouvé une majoration : [latex]v_p(N)\geq E(\frac{ln(n)}{ln(p)})^2[/latex] où p est un premier divisant N, [latex]v_p(N)[/latex] est la valuation p-adique de N et E la partie entière.
Ce qui montre des comportements très intéressants. smile
[TeX]\fbox{n\leq E(ep^{\sqrt{v_p(N)}})}[/TeX]
Je vérifie la preuve avant de la poster.
smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #24 - 19-06-2011 10:38:08

Yanyan
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nUe variante de la conjecture de Syracuse ?

Mes inégalités sont ridicules (mais utiles) comparées à celle-ci :

Si P et le plus grand diviseur premier de N et Q le premier suivant on a si n existe :
[TeX]\fbox{P^{v_P(N)}\leq n\leq Q-1}[/TeX]
Ce qui donne pour l'exemple N=80 , n compris entre 5 et 6,et n vaut 6.
Et pour l'exemple de Nodgim n compris entre 29 et 30, et n vaut 30.

Ce qui montre en utilisant P²>=2P et le postulat de Bertrand que la puissance du plus grand nombre premier divisant N doit être 1.


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 #25 - 19-06-2011 11:51:44

nodgim
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une variante de la conjecturr de syracuse ?

C'est déja pas mal qu'un mec ait réussi à prouver qu'il y a un premier entre un nombre et son double, mais la réalité est complètement différente, car le nombre de premiers augmente régulièrement avec le nombre testé.
Mais bon, l'arithmétique c'est pas des stats.

 

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