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 #1 - 16-11-2012 19:11:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 566

Tout le monde connait mon pâtissier smile

Voilà son dernier problème .

Il veut réaliser un gâteau convexe ( on ne sort pas du gâteau en reliant en ligne droite deux de ses points ) tel que le périmètre du gâteau soit supérieur à celui de la boîte .

http://img203.imageshack.us/img203/7185/primtredugteau.jpg

Il n'y arrive pas et je n'ai pas envie de l'aider mais je peux lui transmettre toutes vos idées smile

Bon courage !

Vasimolo



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 #2 - 16-11-2012 19:31:37

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

gâteay 56

Moi non plus, je n'y arrive pas. J'attends la réponse avec impatience (si c'est autre chose que "on ne peut pas" smile )

 #3 - 16-11-2012 19:35:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Gâetau 56

Le gâteau doit-il être polygonal ou peut-il être quelconque ?

 #4 - 16-11-2012 19:48:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gââteau 56

Le gâteau est polygonal comme le suggère le dessin smile

Vasimolo

 #5 - 16-11-2012 20:00:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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gâreau 56

Aux 2 sommets de chaque coté du gâteau, on trace une perpendiculaire à ce coté qui rejoint le carré. L'intervalle sur le carré entre ces 2 perpendiculaires est au minimum aussi long que le coté. Et comme le gâteau est convexe, il y a des zones du carré non comprises dans ces intervalles, ce qui prouve la plus grande longueur du carré.

 #6 - 16-11-2012 20:09:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

GGâteau 56

Oui Nodgim , c'est une façon de voir les choses , je passe le message au pâtissier smile

Vasimolo

 #7 - 16-11-2012 20:15:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâtau 56

Ce n'est pas ta solution ?

 #8 - 16-11-2012 20:31:14

Franky1103
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Gâteau 6

On ne peut pas y arriver et c'est la contrainte de convexité qui pose un problème. En le considèrant comme un polygone avec une infinité de côtés de longueur nulle, un cercle sera la figure la plus convexe possible. Puisque pi < 4, le périmètre du meilleur gâteau candidat sera toujours inférieur à celui de la boite.

 #9 - 16-11-2012 23:04:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâtteau 56

@Nodgim : ce n'est pas ma solution mais je prends smile
@Francky : ce n'est pas si simple , rien ne dit que le gâteau tient dans un disque qui tient dans la boîte .

Vasimolo

 #10 - 17-11-2012 00:11:36

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Gtâeau 56

On ne peut pas réaliser un tel gâteau.

Voici les idées de la démonstration, que je ne formalise pas volontairement :

On considère 4 sommets extrémaux du gâteau H, B, G, D (haut, bas, gauche, droite).

En partant de G pour joindre D, il y a alors deux chemins de sommets possibles, où l'on se déplace toujours de la gauche vers la droite. En effet s'il y avait un retour vers la gauche cela contredirait la convexité.

Idem avec haut/bas.

On peut alors (éventuellement) insérer des nouveaux sommets entre chaque paire de sommets consécutifs, de façon à ce que les bords deviennent tous horizontaux ou verticaux. Entre [latex](x;y)[/latex] et [latex](x';y')[/latex], on insère éventuellement [latex](x;y')[/latex].

http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-primtredugteau2.jpg

On obtient un nouveau gâteau/polygone dont le périmètre est supérieur ou égal au gâteau/polygone original car le plus court chemin entre 2 points est la ligne droite.

Le périmètre du nouveau gâteau peut alors se calculer facilement :
La somme des côtés horizontaux vaut [latex]2(x_D-x_G)[/latex] 
(En partant de G pour joindre D, l'on se déplace toujours de la gauche vers la droite de sommet en sommet.)
De même, la somme des côtés verticaux vaut [latex]2(y_H-y_B)[/latex] 

On en conclut que le périmètre du nouveau gâteau et a fortiori du gâteau original est inférieur ou égal au périmètre de la boite.

 #11 - 17-11-2012 09:08:35

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtteau 56

Oui Titoufred , voilà donc une 3ème façon de faire smile

Vasimolo

 #12 - 17-11-2012 09:14:17

halloduda
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

Gâteu 56

Ce n'est pas possible.
C'est intuitif, mais on peut le démontrer ainsi :

Les bissectrices des angles aux sommets coupent le carré en des points qui délimitent des entités (segments ou paires de segments).
Chacune de ces entités a une longueur supérieure au côté correspondant du polygone.
D'où par addition le résultat :
Le polygone a un périmètre supérieur à celui de la boîte carrée.

 #13 - 17-11-2012 09:22:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâyeau 56

Oui Halloduda ! Encore une nouvelle façon de procéder .

Vasimolo

 #14 - 17-11-2012 09:33:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Gâteua 56

Le gâteau étant convexe, si on si on prend un triangle formé par 3 sommets consécutifs, en augmentant sa hauteur, on augmente son périmètre. On le prolonge donc jusqu'au bord de le boîte obtenant ainsi un gâteau de périmètre plus grand que le gâteau initial.  (Cela marche même sans avoir un gâteau octogonal au départ, certains sommets consécutifs seront juste projetés sur le même côté de la boîte)
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau56.jpg
De fil en aiguille, on obtient un octogone inscrit dans la boîte, dont le périmètre, plus grand que celui du gâteau est clairement plus petit que celui de la boîte.


Il est donc impossible d'y arriver.

 #15 - 17-11-2012 12:22:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteua 56

Et un de plus , bravo Gwen !!!

Vasimolo

 #16 - 17-11-2012 13:13:25

Promath-
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Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Gâtau 56

Peut-on "plier" le gâteau?


Un promath- actif dans un forum actif

 #17 - 17-11-2012 14:55:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Gâteau 6

Juste un essai mais je ne suis pas sûr de moi.

(On n'agrandit plus la forme, on réduit le carré...) pour la même conclusion :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau56bis.jpg

 #18 - 17-11-2012 15:50:41

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Gââteau 56

Je commence par supposer que la boîte est rectangulaire (peut-être faudrait-il le présiser au départ ? wink ).
La boîte de périmètre le plus petit vient toucher le polygone sur un segment ou un point sur chacun des ses cotés.
Considérons un angle A de ce rectangle et la portion de polygone P1-Pn qui vient toucher les cotés adjacents à A en P1 et Pn.

        http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Patissier.png

On trace de chaque point Pi les segments parallèles à A-P1 et A-Pn, segments dont les intersections sont les point A1, ... Ai, ... An-1.
On détermine ainsi une ligne polygonale en escalier "P1, A1, ... Pi, Ai, Pi+1, ... An-1, Pn" dont la longueur est égale à P1-A + A-Pn.

Dans chaque triangle rectangle Pi, Ai, Pi+1 l’hypoténuse est inférieure à la somme des cotés de l'angle droit.
La longueur de la suite de segments "P1, ... Pi, ... Pn" est donc inférieure à celle de la suite "P1, A1 ... Pi, Ai, Pi+1, ... An-1, Pn", donc de la somme P1-A + A-Pn.
On peut recommencer ce processus pour chaque sommet du rectangle.
Est-il besoin de rentrer plus dans le détail ?

Remarque 1 : La démonstration reste valable pour une boîte non rectangulaire, que ce soit un quadrilatère ou un polygone à n cotés (n <= nb de cotés du polygone) dont chaque coté vient touché le polygone initial en un point ou un segment.
Il suffit de remplacer alors "triangle rectangle" par "triangle quelconque", et hypoténuse par un coté dont la longueur reste inférieure à la somme des 2 autres smile .



Remarque 2 : En multipliant le nombre de coté de ton polygone, on arrive à une courbe convexe, et on démontre ainsi que la longueur de cette courbe est comprise entre la longueur de tout polygone inscrit dans cette courbe et celle de tout polygone circonscrit à cette courbe big_smile .

 #19 - 17-11-2012 17:27:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 6

Une nouvelle démonstration de Gwen et une de Jack qui fait remarquer que le résultat reste valable quelle que soit la forme polygonale de la boîte .

En fait le résultat est valable pour toute boîte avec un gâteau convexe .

Vasimolo

PS : @Promath : on ne "plie" pas le gâteau smile

 #20 - 17-11-2012 18:30:03

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

gâreau 56

Pour une boite rectangulaire (définissant des notions de gauche/droite et haut/bas),
le résultat reste valable pour des gâteaux non convexes du moment que pour aller de G à D (resp. de B à H), on se déplace toujours vers la droite (resp. le haut).

Par exemple, pour une étoile à 4 branches (placée dans la boite comme ci-dessous) :

http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-etoile-4-branches.png

 #21 - 17-11-2012 19:50:16

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

GGâteau 56

Le gateau convexe que l'on peut faire est celui du contour de la boîte carré car s'il on prend deux points sur le bord de deux cotés consécutifs l'inégalité triangulaire dans un triangle nous prouve que c < a+b  danc le périmètre du polygone sera inférieur a celui de la boîte qui est carré

 #22 - 18-11-2012 12:12:53

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâteu 56

Je dirais simplement qu'on peut obtenir la forme du gâteau en partant de la forme de la boîte et en appliquant des découpes successives, chaque coupe consistant à tracer une ligne droite dans un polygone.

Ce polygone est convexe à n'importe quel moment par construction, et chaque découpe va raccourcir le périmètre du polygone, puisque la zone supprimée sera également un polygone convexe dont on gardera un seul côté en supprimant tous les autres.

Donc notre pâtissier semble mal barré ^^


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #23 - 18-11-2012 12:19:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 556

Bien vu Mathias smile

C'est assez impressionnant de voir le nombre de façons d'aborder le problème selon ses goûts ou ses habitudes .

Bon courage à ceux qui cherchent encore .

Vasimolo

 #24 - 18-11-2012 20:23:27

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

gâtrau 56

Je trouve que c'est impossible, en gros sur le principe que le plus court chemin d'un point à un autre est la ligne droite...

Mais je ne parviens pas à faire une démo rigoureuse. sad

 #25 - 18-11-2012 23:15:56

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

GGâteau 56

Réponse un peu facile, mais si on peut choisir la hauteur de la boîte et celle du gâteau (ce que l'énoncé n'interdit pas), il suffit d'un truc dans ce genre :

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau56.png

On disait que le gâteau était bien rigide ;-)

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