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 #1 - 18-05-2019 18:33:48

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 49

collisions éyonnantes

Hello,

ci-dessous un problème que j’ai récemment découvert (donc ‘not invented here’), mais dont le résultat est bluffant, tant en termes de valeur que de compréhension du phénomène qui y conduit. Et accessoirement la résolution pas si triviale...


Le problème est le suivant :
2 solides sont situés sur un plan, sur lequel ils peuvent glisser sans frottement.
Le premier (a) a une masse unitaire (prenons 1kg) et une vitesse initiale nulle.
Le second (b) a une masse m kg, m>1, et une vitesse initiale non nulle, en direction du premier. Qui va conduire à une première collision, il va sans dire.
Les chocs sont parfaitement élastiques, parfaitement ‘frontaux’ (mouvements unidimensionnels).
De l’autre coté de (a) par rapport à (b) se trouve un mur, à une distance quelconque, sur lequel (a)  rebondi de façon parfaitement élastique là aussi. Seconde collision. Ce qui va le ramener vers (b) aussi vite qu’il est arrivé. Et déclencher une troisième collision. Etc. Jusqu’à une dernière collision entre les deux solides qui conduira finalement le solide (b) à « s’échapper ».

Trois questions :
- Combien y a-t-il de collisions au total (collisions b|a + a|mur)?
- Vers combien tend ce nombre quand m=100^p et que p devient grand ?
- Pourquoi....?

Un indice qui n’aide pas ?
Spoiler : [Afficher le message] Pi a, une fois de plus, pris la fâcheuse habitude de se glisser partout. Mais là c’est exagéré, quand même.



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 #2 - 18-05-2019 23:44:23

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 845

Collisions tonnantes

Salut,

quand tu dis "Vers combien tend ce nombre quand m=100^p et que p devient grand", je suppose que la réponse attendue n'est pas "+ infini" ?

Car j'observe pour l'instant avec un tableur que le nombre de collisions vaut approximativement pi*racine(m).

 #3 - 19-05-2019 00:45:07

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 49

CCollisions étonnantes

Salut Ebichu.

Ce que tu observes avec ton tableur me semble à priori parfaitement juste. Donc ça tend vers l'infini (ce qui a peu d'intérêt). Mais si tu as raison, ça tend vers pi*racine(m). Du coup, que vient foutre Pi là dedans? On a une expérience de chocs, un phénomène plutôt discontinu, et pi ramène ça fraise?

Reste donc à démontré que ton résultat empirique est juste, et expliquer pourquoi Pi s'en mêle...

PS: Quels paramètres (ou équations) as-tu rentrés dans ton tableur pour trouver si vite, et déduire cette valeur empirique? Chapeau en tout cas...

 #4 - 19-05-2019 10:23:36

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 845

Collision étonnantes

En fait, j'appelle vn et Vn les vitesses des deux solides après la n-ième collision b|a, et j'utilise les lois des chocs élastiques trouvées sur wikipedia pour trouver une relation de récurrence : https://fr.wikipedia.org/wiki/Choc_%C3% … _dimension

Je suis allé plus loin hier soir (je me suis couché tard) : j'ai fini par repérer les coefficients binomiaux dans ces deux suites, et l'utilisation des nombres complexes me permet alors d'expliquer l'apparition de Pi. C'est assez miraculeux comme problème, ça se résout avec des considérations élémentaires.

Je développe tout ça plus tard dans la journée, là je n'ai pas mes notes à côté et je n'ai pas le temps smile

 #5 - 19-05-2019 11:10:16

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Colliions étonnantes

Bonne direction! Les complexes aident bien effectivement. Et quand i est là, Pi n'est jamais très loin :-)

 #6 - 19-05-2019 18:06:49

Vasimolo
Le pâtissier
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Collisions éétonnantes

 #7 - 19-05-2019 18:58:03

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Collisions éttonnantes

On oriente le repère en direction du mur. Soient [latex]v_n[/latex] et [latex]V_n[/latex] les vitesses des solides (a) et (b) respectivement après la n-ième collision b|a. À partir des lois des chocs élastiques, on obtient les relations :

* [latex] v_0 = 0 [/latex] et [latex] V_0 = 1 [/latex] (on choisit 1 pour la vitesse initiale, de toute façon avec une autre vitesse les résultats seraient proportionnels).
* [latex]v_{n+1}=\frac{m-1}{m+1}v_n+\frac{2m}{m+1}V_n[/latex]
* [latex]V_{n+1}=\frac{-2}{m+1}v_n+\frac{m-1}{m+1}V_n[/latex]

Relations que l'on peut placer dans un tableur pour calculer les termes de ces deux suites. Faisons un peu de physique : qu'observe-t-on ? Dans une première phase, le solide le plus massif perd progressivement de la vitesse tandis que la vitesse du petit solide augmente. Puis le solide le plus massif est renvoyé dans l'autre direction ; le petit continue de rebondir en perdant progressivement de la vitesse qu'il transfère à l'autre, jusqu'à ce que sa vitesse devienne trop faible pour qu'il le rattrape.

Retour aux maths. Après avoir calculé les premiers termes de ces deux suites et constaté l'apparition de coefficients binomiaux aux numérateurs, on démontre par récurrence que :
* [latex]v_n = \frac{\sqrt{m}.Im((\sqrt{m}+i)^{2n})}{(m+1)^n}[/latex]
* [latex]V_n = \frac{Re((\sqrt{m}+i)^{2n})}{(m+1)^n}[/latex]

Dans le plan complexe, le vecteur de coordonnées [latex]V_n + i\frac{v_n}{\sqrt{m}}[/latex] vaut donc [latex]\left(\frac{(\sqrt{m}+i)^2}{m+1}\right)^n[/latex]. Ce vecteur unitaire est initialement dirigé vers la droite. Au fur et à mesure des collisions, il va tourner vers le haut, puis vers la gauche ; quand le vecteur est dirigé vers le haut, le gros solide change de sens, puis quand le vecteur est dirigé vers la gauche, le gros solide s'échappe.

Si on appelle N le nombre de collisions nécessaires pour que le solide (b) s'échappe, en n'oubliant pas qu'il y a deux collisions à chaque fois que l'indice des suites s'incrémente (entre les solides, et avec le mur), on obtient la relation :

[latex]\frac{N}{2}.2\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right)\simeq\pi[/latex] soit [latex]N\simeq\pi\sqrt{m}[/latex].

 #8 - 19-05-2019 20:50:12

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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Collision sétonnantes

Parfait Ebichu. Méthode très proche de celle que j'ai utilisée.

Une autre existe, qui m'a amené à soumettre ce pb. Très visuelle et assez sympa, que je ne diffuse pas immédiatement si d'autres veulent chercher.

C'est ce que pousse Vasimolo (qui a fait dans le light en termes de réflexion sur ce coup là :-))

 #9 - 22-05-2019 19:03:54

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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Collisions étoonnantes

Ebichu,

En synthèse, j’ai appliqué quasi la même approche que toi.

Juste posé Wn = vn + a.Vn, en cherchant une Wn géométrique.
On trouve vite que a = i√m convient.
La raison est (m-1)/(m+1)-2√m/(m+1).i
soit exp(-iϴ) avec ϴ=Arctan(2√m/(m-1))

Du coup Wn = i√m.exp(-inϴ) = √m.Sin(nϴ) + i√m.Cos(nϴ)
D’où (si V0=1)
vn = √m.Sin(nϴ)
Vn = Cos(nϴ)


On voit bien le phénomène que tu décris parfaitement dans ton post. Ce côté ‘circulaire’ de la progression des vitesses. Lié à la conservation de l’Ec (vn²+mVn²=1).

Et la condition de fin - |vn/Vn|<1 – conduit à √m.Tan(nϴ) > -1, puis à N ~ Pi. √m.
Ou N ~ Pi*10^p quand m = 100^p.

Ce qui donne à minima les (p-1) premières décimales de Pi si on tient compte des taux d’approximation, et qui reste super étonnant je trouve.

La vidéo très bien faite, très visuelle et qui explique bien le phénomène, est ici :
https://www.youtube.com/watch?v=jsYwFizhncE

 #10 - 22-05-2019 19:27:34

Vasimolo
Le pâtissier
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collisions éronnantes

J'avais déjà cherché le problème sur un autre site qui renvoyait au lien que tu donnes ( c'est aussi le mien ) , je n'avais pas trop envie de ressortir la même tambouille smile

On remarque que la méthode exposée permet aussi de résoudre le problème du nombre de rebonds d'une bille ( supposée ponctuelle ) propulsée dans un angle . C'est moins sexy car on ne fait pas apparaître un nombre magique , mais j'aime beaucoup .

Vasimolo

 #11 - 23-05-2019 07:26:26

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2983
Lieu: Luxembourg

xollisions étonnantes

Je suis vraiment impressionné, mais tout n'est-il pas dans pi ?
Voir: https://sciencetonnante.wordpress.com/2 … t-dans-pi/
J'avais bien compris le problème, mais je me suis emmêlé les
crayons rapidement dans les calculs: j'étais loin de pi.

 #12 - 23-05-2019 20:51:57

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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colmisions étonnantes

Ha oui, je n'avais pas vu le rapport avec la conservation de l'énergie cinétique. J'aime ces problèmes que l'on peut exprimer uniquement en termes de maths, mais que la physique aide à résoudre.

 #13 - 25-05-2019 19:06:19

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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collisions éronnantes

@Vasimolo : tu es trop multi-site omni-canal… du coup plus de surprise 😉
@Franky103 : Bah oui tout est dans Pi. Et réciproquement. Je m’en suis rendu compte juste après mon 3,14ième mariage.

 

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