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 #1 - 14-03-2022 14:25:52

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1755

Vous montez ? Non je descends ! [+ Inidce]

Un petit problème à deux niveaux (je sais qu'un problème fortement similaire est déjà présent sur P2T depuis fort fort longtemps, mais bon... et puis le second niveau non big_smile)

Donc, voilà, je suis dans un immeuble qui comporte n étages (plus le rez-de-chaussée). Cet immeuble dispose aussi de a ascenseurs.

Il y a un bouton unique pour appeler l'ascenseur. La règle qui s'applique à ce moment-là est :
1. L’ascenseur le plus près vient
2. En cas d'égalité, c'est un de ces ascenseurs les plus près, tous étant équiprobables

Je suis actuellement à l'étage e (avec 0≤en).
Il n'y a pas d'ascenseur à mon étage : je l'appelle.

Première étape : Quelle est la probabilité (en fonction de n, e, a) que l'ascenseur arrive par en bas ?

Deuxième étape : Si vous avez répondu à la première étape de manière calculatoire, vous devriez arriver (après beaucoup de sueur) à un résultat étonnamment simple ! Et en général, quand un calcul de probabilité débouche sur un résultat aussi élégant, c'est qu'il y a une manière plus logique / moins calculatoire d'aborder le problème : laquelle ?

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#0 Pub

 #2 - 15-03-2022 10:52:02

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1755

Vous montez ? Non je descends ! [+ Indic]e

Alors, bonne réponse  pour 1 ascenseur smile
Sans trop spoiler, on peut effectivement dire e/n big_smile

A la question "avec un nombre d'ascenseur supérieur, cela changerait il quelque chose ?", prenons un exemple concret.
Je suis dans un immeuble de 10 étages, au 3ème
* Avec un seul ascenseur, s'il est au 0, 1 ou 2 c'est bon, de 4 à 10 non --> la probabilité qu'il arrive par en bas est de 30%
* Avec deux ascenseurs
   * Arrivée par en bas 0-0, 0-1, 0-2, 0-7 à 0-10; 1-0, 1-1, 1-2, 1-6 à 1-10, 2-0, 2-1, 2-2, 2-5 à 2-10; 5-2; 6-1, 6-2; 7/8/9/10-0/1/2
   * Arrivée par en bas avec un chance sur deux : 0-6, 1-5, 2-4, 6-0, 5-1, 4-2
Total : 42 possibilités sur les 100 possibles --> 42%

On voit donc bien que la probabilité est différente. Avec 3 ascenseurs, tu auras 46,8% etc...
en fait tu vas tendre vers 50% si le nombre d'ascenseur augmente (pour 10 ascenseurs, tu es à 49,99% environ)

 #3 - 16-03-2022 09:31:59

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1755

vous montez ? non je descends ! [+ indive]

Un indice pour démarrer : il faut calculer le nombre de combinaisons valides parmi les n^a combinaisons possibles.

La formule est la suivante :

Spoiler : [Afficher le message] Astuce : on se focalise sur les cas où e est dans la moitié basse. Pour la moitié haute, on peut tout à fait faire un système symétrique avec les ascenseurs qui arrivent par le haut big_smile

Pour une distance D>0 la plus proche, on considère K>0 ascenseurs à cette distance, dont U≥0 par en bas, et on regarde combien ça fait de combinaisons. On somme tout ça pour tout 0≤U≤K, pour tout 1≤K≤a et pour tout 1≤D≤e

Somme(Nombre de combinaisons valides pour K ascenseurs à une distance de D, dont U ascenseurs à l’étage e-D, K-U à l’étage e+D, et a-K ascenseurs en dessous de e-D ou au dessus de e+D * U/K, pour D = 1..e, K = 1..a, U = 0..K)

Le U/K est pour l'équiprobabilité des ascenseurs ex-aequo en distance.


Après... y'a plus qu'à dérouler les calculs wink

 #4 - 21-03-2022 11:31:39

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1755

Vous montez ?Non je descends ! [+ Indice]

Allez, la solution "calculatoire" : comme indiqué plus haut, on se place pour e dans la première moitié de l'immeuble (et on fait le problème symétrique pour la partie haute); pour une distance D>0 la plus proche, on considère K>0 ascenseurs à cette distance, dont U≥0 par en bas, et on regarde combien ça fait de combinaisons. On somme tout ça pour tout 0≤U≤K, pour tout 1≤K≤a et pour tout 1≤D≤e

Somme(Nombre de combinaisons valides pour K ascenseurs à une distance de D, dont U ascenseurs à l’étage e-D, K-U à l’étage e+D, et a-K ascenseurs en dessous de e-D ou au dessus de e+D * U/K, pour D = 1..e, K = 1..a, U = 0..K)


Nombre de combinaisons valides =
[TeX]\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a\sum_{U=0}^K{\frac{U}{K} * C_K^a * C_U^K * (n-2D)^{a-K}} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*\sum_{U=0}^K{\frac{U}{K} *  C_U^K }\right)} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*\sum_{U=0}^K{\frac{U}{K} *  \frac{K!}{U!(K-U)!}}\right)} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*\sum_{U=0}^K{\frac{(K-1)!}{(U-1)!((K-1)-(U-1))!}}\right)} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*\sum_{U=0}^K{C_{U-1}^{K-1}}\right)} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*\sum_{U=-1}^{K-1}{C_U^{K-1}}\right)} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*2^{K-1}\right)} = \\
\frac{1}{2}\sum_{D=1}^e\left(\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*2^K\right)}\right) = \\
\frac{1}{2}\sum_{D=1}^e\left(\sum_{K=0}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*2^K\right)}-(n-2D)^a\right) = \\
\frac{1}{2}\sum_{D=1}^e\left((n-2D+2)^a-(n-2D)^a\right) = \\
\frac{1}{2}\left(\sum_{D=1}^e(n-2D+2)^a-\sum_{D=1}^e(n-2D)^a\right) = \\
\frac{1}{2}\left(\sum_{D=0}^{e-1}(n-2D)^a-\sum_{D=1}^e(n-2D)^a\right) = \\
\frac{1}{2}\left(n^a-(n-2e)^a\right)
[/TeX]
Et donc, on arrive à la formule, à la fois simple et élégante :
[TeX]\frac{n^a-(n-2e)^a}{2n^a}[/TeX]
Et comme je l'indiquais au tout début, quand c'est aussi élégant, il y a surement une autre manière d'arriver au résultat big_smile
Maintenant à vous de jouer

 

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