Alors, bonne réponse  pour 1 ascenseur
Sans trop spoiler, on peut effectivement dire e/n

A la question "avec un nombre d'ascenseur supérieur, cela changerait il quelque chose ?", prenons un exemple concret.
Je suis dans un immeuble de 10 étages, au 3ème
* Avec un seul ascenseur, s'il est au 0, 1 ou 2 c'est bon, de 4 à 10 non --> la probabilité qu'il arrive par en bas est de 30%
* Avec deux ascenseurs
   * Arrivée par en bas 0-0, 0-1, 0-2, 0-7 à 0-10; 1-0, 1-1, 1-2, 1-6 à 1-10, 2-0, 2-1, 2-2, 2-5 à 2-10; 5-2; 6-1, 6-2; 7/8/9/10-0/1/2
   * Arrivée par en bas avec un chance sur deux : 0-6, 1-5, 2-4, 6-0, 5-1, 4-2
Total : 42 possibilités sur les 100 possibles --> 42%

On voit donc bien que la probabilité est différente. Avec 3 ascenseurs, tu auras 46,8% etc...
en fait tu vas tendre vers 50% si le nombre d'ascenseur augmente (pour 10 ascenseurs, tu es à 49,99% environ)

Allez, la solution "calculatoire" : comme indiqué plus haut, on se place pour e dans la première moitié de l'immeuble (et on fait le problème symétrique pour la partie haute); pour une distance D>0 la plus proche, on considère K>0 ascenseurs à cette distance, dont U≥0 par en bas, et on regarde combien ça fait de combinaisons. On somme tout ça pour tout 0≤U≤K, pour tout 1≤K≤a et pour tout 1≤D≤e

Somme(Nombre de combinaisons valides pour K ascenseurs à une distance de D, dont U ascenseurs à l’étage e-D, K-U à l’étage e+D, et a-K ascenseurs en dessous de e-D ou au dessus de e+D * U/K, pour D = 1..e, K = 1..a, U = 0..K)


Nombre de combinaisons valides =
[TeX]\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a\sum_{U=0}^K{\frac{U}{K} * C_K^a * C_U^K * (n-2D)^{a-K}} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*\sum_{U=0}^K{\frac{U}{K} *  C_U^K }\right)} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*\sum_{U=0}^K{\frac{U}{K} *  \frac{K!}{U!(K-U)!}}\right)} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*\sum_{U=0}^K{\frac{(K-1)!}{(U-1)!((K-1)-(U-1))!}}\right)} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*\sum_{U=0}^K{C_{U-1}^{K-1}}\right)} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*\sum_{U=-1}^{K-1}{C_U^{K-1}}\right)} = \\
\sum_{D=1}^e\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*2^{K-1}\right)} = \\
\frac{1}{2}\sum_{D=1}^e\left(\sum_{K=1}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*2^K\right)}\right) = \\
\frac{1}{2}\sum_{D=1}^e\left(\sum_{K=0}^a{\left(C_K^a *(n-2D)^{a-K}*2^K\right)}-(n-2D)^a\right) = \\
\frac{1}{2}\sum_{D=1}^e\left((n-2D+2)^a-(n-2D)^a\right) = \\
\frac{1}{2}\left(\sum_{D=1}^e(n-2D+2)^a-\sum_{D=1}^e(n-2D)^a\right) = \\
\frac{1}{2}\left(\sum_{D=0}^{e-1}(n-2D)^a-\sum_{D=1}^e(n-2D)^a\right) = \\
\frac{1}{2}\left(n^a-(n-2e)^a\right)
[/TeX]
Et donc, on arrive à la formule, à la fois simple et élégante :
[TeX]\frac{n^a-(n-2e)^a}{2n^a}[/TeX]
Et comme je l'indiquais au tout début, quand c'est aussi élégant, il y a surement une autre manière d'arriver au résultat
Maintenant à vous de jouer

Oula... même moi je me rappelle plus ce qu'il fallait dire

De mémoire : ça correspond tout simplement à la probabilité de
1. ne pas avoir tous les ascenseurs a-delà de 2e de distance (sinon ils viennent tous par en haut !)
2. et pour les autres cas : c'est tout simplement une chance sur deux EN MOYENNE. Chaque cas est compensé par un cas symétrique.

Par exemple je suis au 3ème, il y a un ascenseur au 2nd, un au 1er et un au 5ème, la probabilité sera la symétrique du cas ou j'ai un ascenseur au 4ème, un au 5ème et un au 1er (symétrique par rapport à moi). Dans le premier cas la probabilité d'arriver par en bas est de 1, dans l'autre cas elle est de 0 --> moyenne de 1/2

Autre exemple : je suis au 5ème, il y a deux ascenseurs au 4ème, un au 6ème et un au 7ème --> symétrique de "deux au 6ème, un au 4ème et un au 3ème".
Premier cas : probabilité de 2/3, second cas : probabilité de 1/3 --> moyenne de 1/2

Si on exclu tous les cas où les ascenseurs sont tous au delà de 2e de distance, c'est parce qu'ils n'ont pas de symétriques !
(et pour les cas où quelques ascenseurs mais pas tous seraient au delà de 2e... on ne regarde pas ces ascenseurs tout simplement - ils ne change pas le calcul)

D'où la formule : "un demi" x "nombre de combinaisons avec au moins un ascenseur à une distance de 2e max" / "nombre total de combinaisons"

Et comme "nombre de combinaisons avec au moins un ascenseur à une distance de 2e max" vaut "nombre total" - "nombre de combinaisons avec tous les ascenseurs à sur les (n-2e) autres étages"

... on obtient :
[TeX]\frac{1}{2}\frac{n^a - (n-2e)^a}{n^a}=\frac{n^a - (n-2e)^a}{2n^a}[/TeX]