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 #1 - 14-06-2011 14:22:19

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

La multiplication des divisers...

Le produit de tous les diviseurs du nombre 10 est égal à : 1 x 2 x 5 x 10 = 100.

Quel est le nombre entier dont le produit des diviseurs est égal à :
15 407 021 574 586 368 ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 14-06-2011 15:58:19

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

LLa multiplication des diviseurs...

144


Ton nombre au carré donne [latex]12^{30}[/latex].
Or cela vaut aussi [latex]n^r[/latex] où n est le nombre cherché et r son nombre de diviseur.
on charche a,b,c tel que [latex](2^a3^b)^c=(2^{2}3)^{30}[/latex] et [latex](a+1)(b+1)=c[/latex] on trouve a=4,b=2,c=15.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #3 - 14-06-2011 16:24:19

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

La multiplication dees diviseurs...

[TeX]15 \hspace*{1mm} 407 \hspace*{1mm} 021 \hspace*{1mm} 574 \hspace*{1mm} 586 \hspace*{1mm} 368 = 2^{30} \times 3^{15}[/latex] (merci Dcode).

J'utilise ensuite avec cette propriété : "Le carré du produit des diviseurs d'un nombre est égal au nombre lui-même élevé à la puissance de la quantité de ses diviseurs." (merci Gérard Villemin).

Le nombre que l'on cherche est de la forme [latex]2^a \times 3^b[/latex] et, donc, il admet [latex](a+1)(b+1)[/latex] diviseurs. On aura donc :

[latex](2^a \times 3^b)^{(a+1)(b+1)} = 2^{60} \times 3^{30}[/TeX]
Donc [latex]a (a+1)(b+1) = 60[/latex] et [latex](a+1)b(b+1) = 30[/latex].

Résultat direct : [latex]a = 2b[/latex].

Dans la deuxième équation : [latex]b(b+1)(2b+1)=30[/latex] qui admet 2 comme solution "instinctive" ([latex]2 \times 3 \times 5 = 30[/latex]) et on peut montrer, mais c'est un peu chiant, j'ai la flemme, que c'est la seule racine réelle (et a plus forte raison entière).

Le nombre cherché est donc [latex]2^4 \times 3^2[/latex] soit 144.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 14-06-2011 16:39:09

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

La multiplicatioon des diviseurs...

15 407 021 574 586 368 = 2^30 * 3^15 (Merci Dcode !)
Ce doit donc être une puissance de 12.
144 ! smile

 #5 - 14-06-2011 17:18:57

Milou_le_viking
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La multiplciation des diviseurs...

15 407 021 574 586 368 = 2^30 x 3^15

Le nombre recherché N est de la forme 2^n . 2^m.

On peut établir une matrice X (n+1)*(m+1) de tout les nombres diviseurs de 2^n.3^m.
Pour cela je prend l'élément Xij = 2^(i).3^(j)

Le produit de tout les Xij = 2^30.3^15

Le nombre de facteur 2 vaut n(n+1).(m+1)/2 = 30
Le nombre de facteur 3 vaut m(m+1).(n+1)/2 = 15

En particulier, il vient n/m = 2.

Finalement, on trouve n=4 et m=2 et N=144.

 #6 - 14-06-2011 17:28:47

scarta
Elite de Prise2Tete
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La mlutiplication des diviseurs...

Bon, ce gros nombre vaut 2^30 * 3^15; ça va nous simplifier la tâche.
On cherche donc X de la forme 2^a * 3^b. Ecrit sous cette forme, X possède (a+1)(b+1) diviseurs.

De plus, le carré de notre gros nombre vaut 2^60 * 3^30. Chaque diviseur est donc ajouté 2 fois au produit. Cependant, à chaque diviseur d de X, on peut associer un diviseur d'=X/d, et donc tel que d*d' = X

Du coup, 2^60 * 3^30 est une puissance de X, plus précisément c'est X^((a+1)(b+1)) car (a+1)(b+1) est le nombre de diviseurs de X

Il ne reste plus qu'à dérouler:
X^((a+1)(b+1)) = 2^60 * 3^30
(2^a * 3^b)^((a+1)(b+1)) = 2^60 * 3^30
2^(a(a+1)(b+1)) * 3^(b(a+1)(b+1)) = 2^60 * 3^30
a(a+1)(b+1) = 60
b(a+1)(b+1) = 30
=>  a = 2b
b(b+1)(2b+1) = 30
=>   b=2 et a=4

Conclusion: X = 144

 #7 - 14-06-2011 17:49:17

franck9525
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Lieu: UK

La multiplciation des diviseurs...

144 un nombre abondant big_smile

On note que le nombre donné est le produit de trente 2 et quinze 3
on construit un tableau des puissances qui utilisent ces premiers et voila smile

Code:

2^i*3^j 
i\j 0  1   2 
0   1  3   9
1   2  6  18
2   4 12  36
3   8 24  72
4  16 48 144

The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 14-06-2011 18:11:04

gwen27
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la multiplication des diviseues...

La décomposition étant 2^30  x 3^15 ce nombre est la combinaison de puissances de 2 et de 3

2^4 * 3^2 convient bien je trouve... cela donne 1+2+3+4= 10 facteurs 2 pour chaque puissance de 3 et 1+2 = 3 facteurs 3 pour chaque puissance de 2

Donc : 16*9 = 144

 #9 - 14-06-2011 20:26:54

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 166

la mulyiplication des diviseurs...

La décomposition primale de [latex]15 407 021 574 586 368 [/latex] est [latex]2^{30}^\times3^{15}[/latex].
Le nombre recherché est donc de la forme [latex]N=2^\alpha\times3^\beta[/latex].

On montre que le produits des diviseurs de [latex]N[/latex] est  :
[TeX]2^{\frac{\alpha(\alpha+1)(\beta+1)}{2}}\times3^{\frac{\beta(\beta+1)(\alpha+1)}{2}}.[/TeX]
Par unicité de la décomposition primale, on obtient :
[TeX]\left\{\begin{array}{l} \alpha(\alpha+1)(\beta+1)=60
\beta(\beta+1)(\alpha+1)=30
\end{array}\right.[/TeX]
Ce système n'admet pour solution entière que le couple [latex](\alpha,\beta)=(4,2)[/latex].
Le nombre cherché est : [latex]2^4^\times3^2=144[/latex].lol

 #10 - 14-06-2011 23:48:27

jobing
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 3

La multiplicatio des diviseurs...

144 trouvé à l'aide de mathématica.

 #11 - 15-06-2011 00:02:06

rivas
Elite de Prise2Tete
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La multiplicatio des diviseurs...

J'ai vraiment aimé cette énigme. Je suis par contre un peu contrarié de devoir retaper presque toute ma rédaction parce que le site a planté quand j'ai prévisualisé sad
La réponse est 144.
Voici comment j'y suis parvenu:

Tout d'abord quelques notations:
N est un nombre entier dont les facteurs premiers sont les [latex]p_i[/latex], chacun avec une puissance [latex]\alpha_i[/latex].

On a: [latex]N=\prod{p_i^\alpha_i}[/latex]
Il a [latex]d_N[/latex] diviseurs, [latex]d_N=\prod{(\alpha_i+1)}[/latex].
Le produit de ces diviseurs est [latex]P_N[/latex]. Dans notre cas, [latex]P_N=2^{30}3^{15}[/latex].

On peut regrouper les diviseurs 2 par 2: (1 et N), ([latex]p_0[/latex] et [latex]\dfrac{N}{p_0}[/latex]), ... Le produit de chaque groupe fait N.
Si [latex]d_N[/latex] est impair il reste un [latex]\sqrt{N}[/latex] seul et [latex]\dfrac{d_N-1}2[/latex] facteurs N. Si [latex]d_N[/latex] est pair il y a [latex]\dfrac{d_N}2 facteurs N[/latex].
Dans les 2 cas: [latex]P_N=N^{\dfrac{d_N}2}[/latex].

Le point important est que [latex]P_N[/latex] est une puissance de N et s'écrit donc exactement avec les mêmes facteurs premiers et des puissances proportionnelles.

On peut donc poser: [latex]N=2^{2\alpha}3^\alpha[/latex].
[TeX]d_N=(\alpha+1)(2\alpha+1)[/latex].

Et [latex]P_N={(2^{2\alpha}3^\alpha)}^{\dfrac{(\alpha+1)(2\alpha+1)}2}=2^{\alpha(\alpha+1)(2\alpha+1)}.3^\dfrac{\alpha(\alpha+1)(2\alpha+1)}2[/TeX]
Il reste donc à écrire: [latex]\alpha(\alpha+1)(2\alpha+1)=30[/latex] avec [latex]\alpha[/latex] entier. On trouve [latex]\alpha=2[/latex] et donc [latex]N=12^\2=144[/latex]

J'ai essayé de faire le plus simple et le plus clair possible (pour faire plaisir à YanYan smile).

 #12 - 15-06-2011 04:21:30

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
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La multiplication des divviseurs...

Les diviseurs de 144 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72 et 144.
Leur produit donne 15407021574586368.

La réponse est donc 144.

 #13 - 15-06-2011 07:44:22

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

La multipliccation des diviseurs...

Je suis ravi que FRiZ se mette aux maths ! Et bien en plus ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #14 - 15-06-2011 11:05:31

papiauche
Sa Sainteté
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Messages : 2130

la multipmication des diviseurs...

C'est vrai que ça "cube" vite!

Ton nombre vaut [latex]2^{30}*3^{15}[/latex]

n est de la forme [latex]2^a*3^b[/latex]

Une recherche sur Interné nous donne
[TeX]P= (2^a*3^b)^{((a+1)*(b+1)/2)}[/TeX]
a = 4 et b= 2  et le tour est joué

La réponse est 144

Et hop!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #15 - 15-06-2011 14:00:56

Franky1103
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la muktiplication des diviseurs...

Bonjour,
L'écriture primaire de ce méga-nombre est: 2^30 x 3^15
Le nombre cherché s'écrit donc forcément: 2^a x 3^b
Le chiffre 2 apparaitra dans le produit final:
(1+2+...+a) x (1+2+...+b) fois soit a(a+1) b(b+1) /4 fois
On a donc: a(a+1) b(b+1) /4 = 30 soit a(a+1) b(b+1) = 120
En tatonnant un peu, je trouve a=4 et b=2
Et donc le nombre cherché est: 2^4 x 3^2 = 144
Bonne journée.
Frank

 #16 - 15-06-2011 14:07:40

SaintPierre
Banni
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La muultiplication des diviseurs...

Ok pour Papiauche et Franky! Bravo !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 15-06-2011 15:23:19

rivas
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la multipkication des diviseurs...

Les réponses des autres sentent le gaz (de schiste) ? smile

Sérieusement, juste un commentaire: en n'en citant que certaines, on a du mal à savoir lorsqu'on n'est pas cité si c'est parce qu'il y a une erreur (qu'on aimerait alors bien corriger) ou si c'est simplement un oubli.

 #18 - 15-06-2011 15:25:53

SaintPierre
Banni
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la multiplication des divideurs...

Désolé rivas. Non, aucune erreur te concernant, le résultat est bon, l'explication excellente ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #19 - 15-06-2011 15:35:53

rivas
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la multiplication fes diviseurs...

Merci de ta réponse. Et pour les autres au-dessus? (Ils sont peut-être dans le même cas d'incertitude).

 #20 - 15-06-2011 15:41:53

SaintPierre
Banni
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la multiplixation des diviseurs...

Que des bonnes réponses jusqu'à maintenant ! wink

(nb: on fera sans la Loire-Atlantique, hein...) tongue


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