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 #1 - 14-06-2011 14:22:19

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

La multiplication des divviseurs...

Le produit de tous les diviseurs du nombre 10 est égal à : 1 x 2 x 5 x 10 = 100.

Quel est le nombre entier dont le produit des diviseurs est égal à :
15 407 021 574 586 368 ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 14-06-2011 15:58:19

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

La multiplicatin des diviseurs...

144


Ton nombre au carré donne [latex]12^{30}[/latex].
Or cela vaut aussi [latex]n^r[/latex] où n est le nombre cherché et r son nombre de diviseur.
on charche a,b,c tel que [latex](2^a3^b)^c=(2^{2}3)^{30}[/latex] et [latex](a+1)(b+1)=c[/latex] on trouve a=4,b=2,c=15.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #3 - 14-06-2011 16:24:19

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

La multiplication des divisurs...

[TeX]15 \hspace*{1mm} 407 \hspace*{1mm} 021 \hspace*{1mm} 574 \hspace*{1mm} 586 \hspace*{1mm} 368 = 2^{30} \times 3^{15}[/latex] (merci Dcode).

J'utilise ensuite avec cette propriété : "Le carré du produit des diviseurs d'un nombre est égal au nombre lui-même élevé à la puissance de la quantité de ses diviseurs." (merci Gérard Villemin).

Le nombre que l'on cherche est de la forme [latex]2^a \times 3^b[/latex] et, donc, il admet [latex](a+1)(b+1)[/latex] diviseurs. On aura donc :

[latex](2^a \times 3^b)^{(a+1)(b+1)} = 2^{60} \times 3^{30}[/TeX]
Donc [latex]a (a+1)(b+1) = 60[/latex] et [latex](a+1)b(b+1) = 30[/latex].

Résultat direct : [latex]a = 2b[/latex].

Dans la deuxième équation : [latex]b(b+1)(2b+1)=30[/latex] qui admet 2 comme solution "instinctive" ([latex]2 \times 3 \times 5 = 30[/latex]) et on peut montrer, mais c'est un peu chiant, j'ai la flemme, que c'est la seule racine réelle (et a plus forte raison entière).

Le nombre cherché est donc [latex]2^4 \times 3^2[/latex] soit 144.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 14-06-2011 16:39:09

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

La multiplictaion des diviseurs...

15 407 021 574 586 368 = 2^30 * 3^15 (Merci Dcode !)
Ce doit donc être une puissance de 12.
144 ! smile

 #5 - 14-06-2011 17:18:57

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 434

La multiplication des divisers...

15 407 021 574 586 368 = 2^30 x 3^15

Le nombre recherché N est de la forme 2^n . 2^m.

On peut établir une matrice X (n+1)*(m+1) de tout les nombres diviseurs de 2^n.3^m.
Pour cela je prend l'élément Xij = 2^(i).3^(j)

Le produit de tout les Xij = 2^30.3^15

Le nombre de facteur 2 vaut n(n+1).(m+1)/2 = 30
Le nombre de facteur 3 vaut m(m+1).(n+1)/2 = 15

En particulier, il vient n/m = 2.

Finalement, on trouve n=4 et m=2 et N=144.

 #6 - 14-06-2011 17:28:47

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

la multiolication des diviseurs...

Bon, ce gros nombre vaut 2^30 * 3^15; ça va nous simplifier la tâche.
On cherche donc X de la forme 2^a * 3^b. Ecrit sous cette forme, X possède (a+1)(b+1) diviseurs.

De plus, le carré de notre gros nombre vaut 2^60 * 3^30. Chaque diviseur est donc ajouté 2 fois au produit. Cependant, à chaque diviseur d de X, on peut associer un diviseur d'=X/d, et donc tel que d*d' = X

Du coup, 2^60 * 3^30 est une puissance de X, plus précisément c'est X^((a+1)(b+1)) car (a+1)(b+1) est le nombre de diviseurs de X

Il ne reste plus qu'à dérouler:
X^((a+1)(b+1)) = 2^60 * 3^30
(2^a * 3^b)^((a+1)(b+1)) = 2^60 * 3^30
2^(a(a+1)(b+1)) * 3^(b(a+1)(b+1)) = 2^60 * 3^30
a(a+1)(b+1) = 60
b(a+1)(b+1) = 30
=>  a = 2b
b(b+1)(2b+1) = 30
=>   b=2 et a=4

Conclusion: X = 144

 #7 - 14-06-2011 17:49:17

franck9525
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Messages : 1922
Lieu: UK

La multiplicatioon des diviseurs...

144 un nombre abondant big_smile

On note que le nombre donné est le produit de trente 2 et quinze 3
on construit un tableau des puissances qui utilisent ces premiers et voila smile

Code:

2^i*3^j 
i\j 0  1   2 
0   1  3   9
1   2  6  18
2   4 12  36
3   8 24  72
4  16 48 144

The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 14-06-2011 18:11:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,466E+3

La multipplication des diviseurs...

La décomposition étant 2^30  x 3^15 ce nombre est la combinaison de puissances de 2 et de 3

2^4 * 3^2 convient bien je trouve... cela donne 1+2+3+4= 10 facteurs 2 pour chaque puissance de 3 et 1+2 = 3 facteurs 3 pour chaque puissance de 2

Donc : 16*9 = 144

 #9 - 14-06-2011 20:26:54

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

La multilication des diviseurs...

La décomposition primale de [latex]15 407 021 574 586 368 [/latex] est [latex]2^{30}^\times3^{15}[/latex].
Le nombre recherché est donc de la forme [latex]N=2^\alpha\times3^\beta[/latex].

On montre que le produits des diviseurs de [latex]N[/latex] est  :
[TeX]2^{\frac{\alpha(\alpha+1)(\beta+1)}{2}}\times3^{\frac{\beta(\beta+1)(\alpha+1)}{2}}.[/TeX]
Par unicité de la décomposition primale, on obtient :
[TeX]\left\{\begin{array}{l} \alpha(\alpha+1)(\beta+1)=60
\beta(\beta+1)(\alpha+1)=30
\end{array}\right.[/TeX]
Ce système n'admet pour solution entière que le couple [latex](\alpha,\beta)=(4,2)[/latex].
Le nombre cherché est : [latex]2^4^\times3^2=144[/latex].lol

 #10 - 14-06-2011 23:48:27

jobing
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 3

la multiplication fes diviseurs...

144 trouvé à l'aide de mathématica.

 #11 - 15-06-2011 00:02:06

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

la multiolication des diviseurs...

J'ai vraiment aimé cette énigme. Je suis par contre un peu contrarié de devoir retaper presque toute ma rédaction parce que le site a planté quand j'ai prévisualisé sad
La réponse est 144.
Voici comment j'y suis parvenu:

Tout d'abord quelques notations:
N est un nombre entier dont les facteurs premiers sont les [latex]p_i[/latex], chacun avec une puissance [latex]\alpha_i[/latex].

On a: [latex]N=\prod{p_i^\alpha_i}[/latex]
Il a [latex]d_N[/latex] diviseurs, [latex]d_N=\prod{(\alpha_i+1)}[/latex].
Le produit de ces diviseurs est [latex]P_N[/latex]. Dans notre cas, [latex]P_N=2^{30}3^{15}[/latex].

On peut regrouper les diviseurs 2 par 2: (1 et N), ([latex]p_0[/latex] et [latex]\dfrac{N}{p_0}[/latex]), ... Le produit de chaque groupe fait N.
Si [latex]d_N[/latex] est impair il reste un [latex]\sqrt{N}[/latex] seul et [latex]\dfrac{d_N-1}2[/latex] facteurs N. Si [latex]d_N[/latex] est pair il y a [latex]\dfrac{d_N}2 facteurs N[/latex].
Dans les 2 cas: [latex]P_N=N^{\dfrac{d_N}2}[/latex].

Le point important est que [latex]P_N[/latex] est une puissance de N et s'écrit donc exactement avec les mêmes facteurs premiers et des puissances proportionnelles.

On peut donc poser: [latex]N=2^{2\alpha}3^\alpha[/latex].
[TeX]d_N=(\alpha+1)(2\alpha+1)[/latex].

Et [latex]P_N={(2^{2\alpha}3^\alpha)}^{\dfrac{(\alpha+1)(2\alpha+1)}2}=2^{\alpha(\alpha+1)(2\alpha+1)}.3^\dfrac{\alpha(\alpha+1)(2\alpha+1)}2[/TeX]
Il reste donc à écrire: [latex]\alpha(\alpha+1)(2\alpha+1)=30[/latex] avec [latex]\alpha[/latex] entier. On trouve [latex]\alpha=2[/latex] et donc [latex]N=12^\2=144[/latex]

J'ai essayé de faire le plus simple et le plus clair possible (pour faire plaisir à YanYan smile).

 #12 - 15-06-2011 04:21:30

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
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Messages : 2209

La multiplication des diviiseurs...

Les diviseurs de 144 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72 et 144.
Leur produit donne 15407021574586368.

La réponse est donc 144.

 #13 - 15-06-2011 07:44:22

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

La multiplcation des diviseurs...

Je suis ravi que FRiZ se mette aux maths ! Et bien en plus ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #14 - 15-06-2011 11:05:31

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

La muliplication des diviseurs...

C'est vrai que ça "cube" vite!

Ton nombre vaut [latex]2^{30}*3^{15}[/latex]

n est de la forme [latex]2^a*3^b[/latex]

Une recherche sur Interné nous donne
[TeX]P= (2^a*3^b)^{((a+1)*(b+1)/2)}[/TeX]
a = 4 et b= 2  et le tour est joué

La réponse est 144

Et hop!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #15 - 15-06-2011 14:00:56

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

La multiplicatio ndes diviseurs...

Bonjour,
L'écriture primaire de ce méga-nombre est: 2^30 x 3^15
Le nombre cherché s'écrit donc forcément: 2^a x 3^b
Le chiffre 2 apparaitra dans le produit final:
(1+2+...+a) x (1+2+...+b) fois soit a(a+1) b(b+1) /4 fois
On a donc: a(a+1) b(b+1) /4 = 30 soit a(a+1) b(b+1) = 120
En tatonnant un peu, je trouve a=4 et b=2
Et donc le nombre cherché est: 2^4 x 3^2 = 144
Bonne journée.
Frank

 #16 - 15-06-2011 14:07:40

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

lz multiplication des diviseurs...

Ok pour Papiauche et Franky! Bravo !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 15-06-2011 15:23:19

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

L multiplication des diviseurs...

Les réponses des autres sentent le gaz (de schiste) ? smile

Sérieusement, juste un commentaire: en n'en citant que certaines, on a du mal à savoir lorsqu'on n'est pas cité si c'est parce qu'il y a une erreur (qu'on aimerait alors bien corriger) ou si c'est simplement un oubli.

 #18 - 15-06-2011 15:25:53

SaintPierre
Banni
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la myltiplication des diviseurs...

Désolé rivas. Non, aucune erreur te concernant, le résultat est bon, l'explication excellente ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #19 - 15-06-2011 15:35:53

rivas
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Lieu: Jacou

La multiplication des diviesurs...

Merci de ta réponse. Et pour les autres au-dessus? (Ils sont peut-être dans le même cas d'incertitude).

 #20 - 15-06-2011 15:41:53

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

La multiplicaiton des diviseurs...

Que des bonnes réponses jusqu'à maintenant ! wink

(nb: on fera sans la Loire-Atlantique, hein...) tongue


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
 

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