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 #1 - 05-09-2010 19:43:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4791

Gâetau 32

Encore un partage smile

On dispose au hasard sur un gâteau cylindrique , un nombre pair de perles rouges et un nombre pair de perles bleues . Aucune coupe rectiligne ne peut traverser trois perles .

Dans ces conditions peut-on toujours trouver une coupe rectiligne séparant le gâteau en deux parts contenant le même nombre de perles de chaque sorte ?

http://img844.imageshack.us/img844/613/gteaun.jpg

On n'impose pas aux parts d'avoir la même taille big_smile

Bon courage smile

Vasimolo



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 #2 - 05-09-2010 23:49:44

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3330

Gâtteau 32

si on dispose les perles de cette manière:

o o  (perle rouge et bleue)
o o o o (perles bleues)
o o o o (perles bleues)
o o o o  (perles rouges)
o o o o (perles rouges)

8 perles bleues en haut, plus 1 rouge et une bleue tout en haut, et 8 perles rouges en bas alors il n'existe aucune manière d'avoir le gâteau couper en deux sans passer par trois perles alignées. smile
Alors ajoute coupe rectiligne horizontale. sur mon dessin à l'horizontale, à la verticale ou en diagonale je ne voix pas de tracé possible pour que ce que je viens de dire soit faux. neutral sad mais ce gateau je ne vais pas l'oublier!big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 06-09-2010 08:39:40

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Gâteauu 32

Oui.

On choisit un angle de coupe initiale "a0" tel que 2 perles ne soient pas alignées selon cette direction.

En faisant varier la hauteur de la coupe (de haut en bas) , on va progressivement passer de 0 perles bleues dans la part du haut et 2n dans la part du bas jusqu'à n perles bleues en haut et n perles bleues en bas.
Il y a une bande de coupe B(a0) dans la direction a0 qui sépare le gateau avec le même nombre de perles bleues de chaque coté.

De la même façon, il y a une bande de coupe R(a0) qui sépare le gateau avec le même nombre de perles rouges de chaque coté.

Si B(a0) et R(a0) ont une intersection non vide, cette intersection définie des coupes séparant le gateau comme recherché.

Sinon, B(a0) est "au dessus" de R(a0).

On fait alors varier a et on définit a chaque fois B(a) et R(a).

Lorsque a1 est la direction d'un alignement de 2 perles (bleues par exemple), la bande B(a1) est réduite à une ligne puis quand a augmente à nouveau la bande s'élargit.
Par continuité, on voit que B(a) reste "au dessus" de R(a) même au franchissement de a1.

rem : on ne peut pas avoir B(a1) et R(a1) confondues en une ligne car 3 perles ne peuvent être alignées.

Lorsqu'on arrive à a0 + 180°, soit on a trouvé une intersection non vide de B(a) et R(a) entre a0 et a0+180, soit on arrive à avoir B(a0+180) au dessus de R(a0+180) ce qui est impossible puisque B(a0) = B(a0+180) et que la définition "au dessus" est inversée à +180°.

rem : un petit dessin vaut mieux qu'un long discours, mais je n'ai pas retrouvé mon compas wink
rem : les myrtilles et les groseilles sont peut être plus digestes que des perles ?!

 #4 - 06-09-2010 17:32:46

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

gâyeau 32

ta decoupe n'est pas faite?


Un promath- actif dans un forum actif

 #5 - 07-09-2010 00:00:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4791

hâteau 32

Une petite aide et un peu de temps :

Même si dylasse n'en a pas eu besoin : Spoiler : [Afficher le message] le plus simple est de considérer dans un premier temps que les perles ( en sucre big_smile ) sont ponctuelles et imaginer une coupe en deux parts contenant le même nombre de perles ( sans se préoccuper des couleurs ) .

Bon courage smile

 #6 - 08-09-2010 15:36:06

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Gâteau 322

Spoiler : [Afficher le message] Ta découpe est déja faite!!!!


Un promath- actif dans un forum actif

 #7 - 10-09-2010 20:42:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4791

Gâteau 322

Je donne ma solution qui a des points communs et quelques différences avec celle de dylasse qui une fois de plus est arrivé à bout de cette ... énigme .

Je raisonnerais avec les valeurs de l'exemple huit bleues et quatre rouges , uniquement pour alléger le formalisme .

On suppose dans un premier temps que les perles sont réduites à un point ( sans épaisseur ) et on choisit une direction qui n'est pas donnée par deux perles . On part d'une droite extérieure au gâteau ayant cette direction et on se dirige vers le gâteau parallèlement à cette droite . On va traverser les perles une à une et on laissera donc à un moment donné six perles de chaque côté . Si le partage est équilibré on a fini sinon on fait tourner la coupe de façon à ce qu'elle atteigne un point de chaque part . On poursuit la rotation de façon à  dépasser légèrement les deux points de contact on obtient une nouvelle partition en 6 perles de chaque côtés . Et on continue ainsi jusq'au retour au point de départ .

Comme le retour à la position initiale se fait avec une inversion des parts , il y a eu nécessairement un passage par une position équilibrée en bleus et rouges .

Il reste à rendre aux perles leurs tailles initiales . Pour celà , on gonfle les perles en même temps en les laissant au besoin "pousser" la ligne de coupe ( celle-ci ne peut être tordue grâce aux condition initiales ) . On décolle encore la ligne de coupe des perles et on a fini .

Encore bravo à dylasse ( c'était vraiment pas de la tarte ) et bien sûr aussi à ceux qui ont essayé big_smile

Vasimolo

 #8 - 11-01-2011 10:12:04

rivas
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Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Gâeau 32

Je suis tombé par hasard (ou pas ?) sur cette page:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … orsuk-Ulam et plus particulièrement ce paragraphe.

Cela m'a rappelé ces fameux Gateaux dont on a fait indigestion à une époque. smile

Je me demande si ce théorème ne permet pas de résoudre ce problème...
J'ai donc décidé de partager cette page avec les amateurs.

 

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