Bonjour tout le monde

J’ai découvert récemment un résultat intéressant et, quoique la démonstration demande quelques astuces compliquées, il n’y a pas besoin d’outils particulièrement avancés.

Donc, on définit S(n) la somme 1/1-1/2+1/3-1/4...+1/n (ou -1/n, question de parité)
Plus formellement, [latex]S(n)=\sum_{i=1}^n{\frac{(-1)^{i+1}}{i}}[/latex]

Soit P un nombre premier supérieur à 3. Montrer qu’il existe un N tel que le numérateur de S(N), écrit sous sa forme irréductible, est divisible par P

Ex: P=5 => pour N=3 on a 1-1/2+1/3=5/6

Indice 1: Spoiler : [Afficher le message] Il peut être utile de distinguer les nombres premiers de la forme 3k+1 et ceux de la forme 3k+2

Indice 2: Spoiler : [Afficher le message] Cette distinction étant faite, il serait intéressant de trouver une valeur N fonction de k qui marche tout le temps

Indice 3 (attention énorme indice): Spoiler : [Afficher le message] Par exemple pour les nombres de la forme 3k+1, on prendra N = 2k. Par exemple pour 19, S(12)=19x953/27720. 

Indice 4 ( encore plus gros !) Spoiler : [Afficher le message]
8=2x4

1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8=
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8 -2/2 -2/4 -2/6 -2/8 =
1-1+1/2-1/2+1/3-1/3+1/4-1/4+1/5+1/6+1/7+1/8=
1/5+1/6+1/7+1/8

Et en prime 5+8=6+7=3x4+1

Bon courage