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 #1 - 07-10-2019 00:31:38

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1612

somme de fractipns et nombres premiers + quatrième indice

Bonjour tout le monde

J’ai découvert récemment un résultat intéressant et, quoique la démonstration demande quelques astuces compliquées, il n’y a pas besoin d’outils particulièrement avancés.

Donc, on définit S(n) la somme 1/1-1/2+1/3-1/4...+1/n (ou -1/n, question de parité)
Plus formellement, [latex]S(n)=\sum_{i=1}^n{\frac{(-1)^{i+1}}{i}}[/latex]

Soit P un nombre premier supérieur à 3. Montrer qu’il existe un N tel que le numérateur de S(N), écrit sous sa forme irréductible, est divisible par P

Ex: P=5 => pour N=3 on a 1-1/2+1/3=5/6

Indice 1: Spoiler : [Afficher le message] Il peut être utile de distinguer les nombres premiers de la forme 3k+1 et ceux de la forme 3k+2

Indice 2: Spoiler : [Afficher le message] Cette distinction étant faite, il serait intéressant de trouver une valeur N fonction de k qui marche tout le temps

Indice 3 (attention énorme indice): Spoiler : [Afficher le message] Par exemple pour les nombres de la forme 3k+1, on prendra N = 2k. Par exemple pour 19, S(12)=19x953/27720. 

Indice 4 ( encore plus gros !) Spoiler : [Afficher le message]
8=2x4

1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8=
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8 -2/2 -2/4 -2/6 -2/8 =
1-1+1/2-1/2+1/3-1/3+1/4-1/4+1/5+1/6+1/7+1/8=
1/5+1/6+1/7+1/8

Et en prime 5+8=6+7=3x4+1

Bon courage



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 #2 - 14-10-2019 11:28:45

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 845

Sommme de fractions et nombres premiers + Quatrième indice

Salut scarta,

en effet, 1/5+1/6+1/7+1/8 = (1/5+1/8) + (1/6+1/7) = 13/40 + 13/42. Quand on va ajouter ces deux fractions, au numérateur, on pourra factoriser par 13, mais 13 ne pourra se simplifier avec le dénominateur car au dénominateur, on aura des facteurs premiers inférieurs ou égaux à 8.

Avec un nombre premier du type 3k+2, on arrête la somme à 2k+1. Par exemple pour P=11, cela donne 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7=1/4+1/5+1/6+1/7=11/28+11/30.

C'est en effet bien simple, mais en avoir l'idée, c'est une autre paire de manches...

 #3 - 16-10-2019 02:03:10

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1612

somme de fractions et nombres premiers + suatrième indice

C’est bien ça, bravo. Il manque simplement le fait que le nombre de termes est toujours pair : k pour les nombres de la formes 3k+1 et si k était impair alors ça ferait un nombre premier pair; et k+1 pour les nombres de la forme 3k+2 et si k était pair alors ça ferait la même contradiction.

Je laisserai les formalistes formaliser à l’envi

 

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