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 #1 - 26-03-2011 13:09:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

eux parmi les premiers

Peut-on avoir exactement 222 nombres premiers parmi 2222 entiers naturels consécutifs ?

J'ai une solution très courte et très simple mais plutôt astucieuse smile

Bon courage !!!

Vasimolo

Bonus :

Existe-t-il une suite de 222 222 222 222 222 entiers naturels consécutifs contenant exactement 222 entiers premiers ?



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 #2 - 26-03-2011 23:30:32

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Deux parmi es premiers

Soit Qn la suite qui dénombre le nombre de nombres premiers entre n et n+2221.

Des listes sur internet nous indiquent que Q1=331 et Q9000001=122.

On s'aperçoit que Q(n+1)-Q(n)=-1, 0 ou 1 :
si n+1+2221 est premier et n n'est pas premier : Q(n+1)-Q(n)=1
si n+1+2221 et n sont tous les 2 premiers ou pas premiers : Q(n+1)-Q(n)=0
si n+1+2221 n'est pas premiers et n est premier : Q(n+1)-Q(n)=-1.

Donc, lorsque n varie de p à m, Qn prend toutes les valeurs entières entre Qp et Qm.
Donc il existe k entre 1 et 9000001 tel que Qk=222.

 #3 - 26-03-2011 23:45:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Deux parmi les premirs

Bonne réponse de Dylasse smile

Vasimolo

 #4 - 26-03-2011 23:57:28

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Deux parmi les premmiers

Oui, on peut.

Soit I(k) l'intervalle entier {k,...,k+222} et soit p(I(k)) le nombre de premiers dans I(k).
Soit k un entier, on note p(k) la fonction qui vaut 1 si k est premier et 0 sinon.

On sait que I(1)>222 (*), et puisque les premiers se raréfient (leur densité tend vers 0 (**)), il existe k tel que :

p(I(k))>222 et p(I(k+1))<=222.

[sinon il y en aurait toujours au moins 222 sur une fenêtre glissante de 2222 entiers, et leur densité ne décroîtrait pas en dessous de 222/2222]

Or p(I(k+1)) = p(I(k))-p(k)+p(k+2223), et comme p(I(k))>p(I(k+1)), on a nécessairement p(k)=1 et p(k+2223)=0.

Au final : 222>=p(I(k+1))=p(I(k))-1>221, d'où p(I(k+1))=222.

Les nombres 222 et 2222 peuvent être des nombres quelconques n et N, du moment que n<= pi(N) = nombres de premiers sur {1,...,N}

(*): I(1) = 331 (voir ici)

(**): voir  ici si besoin

 #5 - 27-03-2011 09:50:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

deux paemi les premiers

Bonne réponse de Gasole smile

Petite question : peut-on construire explicitement ( et simplement ) une suite de 2222 entiers naturels consécutifs ne comportant aucun entier premier ?

Vasimolo

 #6 - 27-03-2011 10:25:05

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

deux parmo les premiers

Qu'est ce que tu veux dire par "suite" ?

 #7 - 27-03-2011 11:04:06

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Deux parmi les premieers

Il manquait un mot : consécutifs .

Vasimolo

 #8 - 27-03-2011 11:41:06

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Deux parmi le spremiers

Les 2222 entiers consécutifs compris entre 2223!+2 et 2223!+2223 ne sont pas premiers. En effet, k divise 2223!+k quel que soit k entre 2 et 2223.

Pour les autres questions, à suivre hmm

 #9 - 27-03-2011 12:07:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Deux parmi les premierss

Bien vu 007 !!!

Le plus dur est fait smile

Vasimolo

 #10 - 27-03-2011 18:16:48

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Deu parmi les premiers

Je vais essayer une solution simple.
Je vais répondre d'abord à la 2eme question: trouver 2222 entiers consécutifs ne contenant aucun nombre premier: de 2223!+2 à 2223!+2223 par exemple. 2 divise 2223!+2, 3 divise 2223!+3, ... et il y a bien 2222 nombres.

Maintenant la première question: Je considère une "fenêtre" de 2222 de long positionnée sur la bande numérique des entiers. Lorsque je peux lire 2 à gauche et 2223 à droite, je peux lire 2222 nombres et parmi ceux-ci il y en a 331 premiers.

Je décale ensuite cette fenêtre nombre par nombre vers la droite.
Lorsque je décale la fenêtre d'un nombre vers la droite, il y a soit un nombre premier de plus dans la fenêtre soit un de moins suivant les circonstances.

Lorsque je peux lire 2223!+2 à gauche, je ne vois aucun nombre premier (voir ci-dessus). Il y a donc bien eu une position de la fenêtre pour laquelle je pouvais voir exactement 222 nombres premiers.

Pour la question bonus: exactement la même démonstration smile

Merci pour cette énigme.

 #11 - 27-03-2011 18:59:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Deux parmi les premeirs

Joli Rivas !!!

Vasimolo

 #12 - 27-03-2011 19:43:16

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Deux parmi les premies

Réponse à la petite question : Oui, on peut. Mais faudrait s'entendre sur ce que "simple" signifie : calculatoirement ou conceptuellement ?

x=0 modulo 2 est noté x=0 [2]
soit p(n) le n-ième nombre premier

On pose des contraintes de divisibilité sur les nombres  x,x+1,x+2,...,x+222 :
x pair, x+1 divisible par 3, x+3 par 5, x+7 par 7, x+(2n+1) par le (n+2)-ième nombre premier, etc jusqu'à x+221 divisible par le 112 ième nombre premier 
(certes il y a des contraintes inutiles, x+7 sera divisible par 3, mais tant pis)

Ou ce qui revient au même, x=0[2], x=2[3], x=2[5], x=4[7],...

Ça va nous donner un système d'équations modulo qui ont une solution en vertu du théorème des restes chinois et puisque les modulos sont premiers entre eux.

x=0 [2]     
x=2 [3]
x=2 [5]
x=4 [7]
...
x= p(n+2)-(2n+1) [p(n+2)]
...
x = p(112)-221 [p(112)]

Mais je ne compte pas le résoudre... savoir qu'on peut me suffira.

Il y a aussi plus "simple" mais moins efficace dans le cas général (avec N à la place de 222) : en partant de k=2 et en augmentant k de 1 après chaque échec, tester si {p(k)+1,..,p(k)+223} ne contient aucun nombre premier. C'est simple et effectif.

 #13 - 27-03-2011 20:05:22

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Deux parmi les premier

Le 222e nombre premier est 1399 qui est inférieur à 2222. Il existe donc une liste de 2222 entiers naturels consécutifs qui contient au moins 222 nombres premiers.

Lorsqu'on décale de 1 la fenêtre des des entiers naturels ont perd la borne inférieur et on ajoute la borne supérieur. La liste perd donc au plus 1 nombre premier.

le 444e nombre premier est 3119. Il y donc 222 premiers entre 1400 et 3119, soit une fenêtre de seulement 1719 nombres consécutifs.

Le 666e nombre premier est 4973, soit 1854 nombres consécutifs.
Le 888e nombre premier est 6907, soit 1934 nombres consécutifs.

Juste pour info Wolfram donne une réponse en quelques secondes à prime[rank]

Le 5000eme nombre premier est 48611
Le 5222eme nombre premier est 50993 soit 2382 nombres consécutifs.

Il existe donc bien une liste de 2222 nombres consécutifs contenant exactement 222 nombres premiers. cool

Je laisse la généralisation et ses bonus aux matheux pur jus smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 27-03-2011 20:16:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Deux parmi es premiers

Oui Franck et j'ai donné le bonus pour éviter ce type de résultats smile

La réponse n'est pas très difficile à comprendre mais il faut connaitre une vieille astuce ( comment démontre-t-on l'existence d'une infinité de nombres premiers ??? )

Vasimolo

 #15 - 01-04-2011 09:05:54

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Deux parmi lse premiers

Tiens une autre façon, plus simple et sans doute plus proche de ce que tu suggérais :

Les entiers [latex]2223!+i[/latex] pour [latex]i[/latex] entre 2 et 2223 (inclus) sont consécutifs et aucun n'est premier car [latex]2223![/latex] est divisible par chacun d'eux.

 #16 - 01-04-2011 17:43:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

deux parmi led premiers

C'est bien l'astuce que j'attendais , elle ne date pas d'hier lol

Vasimolo

 #17 - 03-04-2011 19:38:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Deux parmi les premirs

Vu le peu d'intérêt pour l'énigme je lève le voile ce soir si personne ne s'y oppose smile

Vasimolo

 #18 - 03-04-2011 19:50:25

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Dexu parmi les premiers

Tu sais bien que pour ce genre de problème, nous sommes nombreux à lire la question et à attendre la réponse avec curiosité, sans être capable de donner une réponse.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #19 - 03-04-2011 19:54:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

deux parmi les prrmiers

Il y a aussi ceux ( dont je fais partie ) qui aiment bien prendre un peu de temps pour réfléchir smile

Vasimolo

 #20 - 03-04-2011 19:55:50

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Deux parm les premiers

Tout à fait, nos différences font notre richesse cool


http://enigmusique.blogspot.com/

 #21 - 03-04-2011 22:58:38

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Deeux parmi les premiers

Elle m'a intéressé moi cette énigme...

 #22 - 04-04-2011 00:10:52

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Deux parmi les premies

Idem, mais je ne faisais pas aller ma fenêtre dans le bon sens, je la faisais croître dans les nombres au lieu de revenir aux 2222 premiers entiers big_smile
Jolie astuce en tout cas

 #23 - 04-04-2011 08:42:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

deyx parmi les premiers

Je vous laisse lire les solutions . Voir celles de Looping , Rivas ou Gasole qui ont eu la même idée que moi .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

 

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