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#1 - 29-09-2011 17:58:12
- nodgim
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Corute réflexion sur les fractions
Soit la suite définie par: u1=A nombre rationnel. un=u(n-1)*(4-2/n)
Cette suite peut elle donner des nombres entiers ? Si oui beaucoup ?
#2 - 29-09-2011 18:50:43
- L00ping007
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couete réflexion sur les fractions
En utilisant la relation de récurrence, je trouve : [TeX]u_n=\frac12C_{2n}^nu_1[/TeX] A partir de là, je pense qu'on peut trouver des diviseurs du dénominateur de [latex]u_1[/latex] dans [latex]C_{2n}^n[/latex], il suffit juste de retrouver les bonnes propriétés
Est-il vrai qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont entiers ?
#3 - 29-09-2011 18:56:13
- nodgim
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courte réflexion sur les gractions
Bien Looping. Sinon, j'ai la réponse pour le "beaucoup".
#4 - 29-09-2011 19:25:10
- gwen27
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xourte réflexion sur les fractions
Pour A= 1/2 , A part 1/2, ça fait beaucoup de 0.
#5 - 29-09-2011 19:26:42
- nodgim
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oCurte réflexion sur les fractions
Euh..pourquoi beaucoup de zéros, Gwen ?
#6 - 29-09-2011 19:45:12
- gwen27
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Courte réflexion sur les factions
Oups ! c'est parce que j'ai vérifié la réponse sur tableur en testant la partie décimale...
Ca fait un paquet d'entiers. (avec un '....,5' de temps en temps)
Par contre, si A=1 est considéré comme rationnel, on n'a que des entiers dans la suite.
#7 - 29-09-2011 19:51:18
- esereth
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courte réfmexion sur les fractions
C'est quoi beaucoup ? Une infinité ? Un nombre N fixé d'avance ? Dans le second cas il suffit de prendre A = N! pour que les N premiers nombres (au moins) soient entiers.
Plus sérieusement, j'ai l'impression validée par ma calculatrice, que quelque soit A entier, tous les u(n) sont entiers. En prenant A=1, u2=3, u3=10, u4=35, u5=126, u6=462 etc. Et ça croit vite u12 >1000000
u(n)=C(2n-1,n)*A
Et ça se démontre par récurrence
#8 - 29-09-2011 20:30:40
- nodgim
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Courte réflexioon sur les fractions
Oui Esereth, mais j'ai posé A rationnel. Gwen, il faut que tu affines. Prends ton temps, ce n'est pas une course. On est là pour s'amuser.
#9 - 29-09-2011 21:35:48
- esereth
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Courrte réflexion sur les fractions
Oui Esereth, mais j'ai posé A rationnel.
M'en fous !
Tout entier est rationnel. Et tu ne m'empêches pas de choisir un entier.
#10 - 30-09-2011 01:01:54
- TiLapiot
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ourte réflexion sur les fractions
pour u1=±1/2, la suite produit déjà quelques entiers.
idem pour u1=1/3, 2/7, 6/5, etc etc Au total, ça fait donc ""beaucoup"" d'entiers
#11 - 30-09-2011 17:13:58
- nodgim
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courte réflexion sue les fractions
Esereth, si je choisis un rationnel non entier ? C'est là l'intérêt du problème... Tilapiot: c'est vrai parfois ça fait beaucoup d'entiers. Et si A=1/97 par exemple ?
#12 - 30-09-2011 18:41:02
- esereth
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Courte réflexion sur less fractions
Bon j'arrête de faire la mauvaise tête et je réécris ton énoncé : u1=A rationnel fixé u(n)=u(n-1)*(4-2/n) Cette suite contient-elle des rationnels quelque soit le choix de A?
D'après la formule trouvée dans mon post précédent,il est clair que la décomposition en facteurs premiers du dénominateur de A va jouer un rôle Une analyse trop rapide m'a fait penser que pour 97 qui est premier, c'était entier à partir de u(49) car 2*49-1=97. Ça commence par être vrai mais comme je le craignais un peu u(97) n'est pas entier, ni les suivants jusqu'à ce que u(146) soit à nouveau entier car 2*146-1=291=3*97 Et ainsi de suite. Finalement on doit avoir une infinité de termes entiers par tranches Entre n=49 et n=96, entre n=146 et n=193, entre n=243 et n=290,... Il y a 480 entiers jusqu'à n=970, 7152 jusqu'à n=9700 et 71520 jusqu’à n=97000 Tranches régulières ou pas, je n'en sais rien.
Pour des dénominateurs composés c'est encore moins clair bien sûr.
Pour A=1/12, il y a 492 entiers jusqu'à n=600. n=7, 11, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 35, 38, 41...47,49...63,67, 69 etc. Ça n'a pas l'air régulier.
Je poursuis mes investigations mais je pense que je vais donner ma langue au chat
Je donne ma langue au chat. Vivement la réponse !
#13 - 01-10-2011 21:05:19
- nodgim
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Courte réflexion sur les fracitons
Cette suite peut se réécrire un=A*C(2n-1,n-1). ça se démontre facilement en faisant le rapport u(n+1)/un. De par ce fait, Si A entier, un ne contient que des entiers. Mais si A possède un dénominateur différent de 1 ? Si le dénominateur de A est une puissance de 2: Rappelons la suite telle qu'elle est présentée dans l'énoncé: A*(4-2/n) ou A*(2*(2n-1)/n) Chaque terme nouveau se déduit du précédent en le multipliant par 2 et l'impair suivant et en le divisant par l'entier suivant. Ecrivons les puissances successives de 2 au numérateur et au dénominateur N:0 1 1 1 1 1 1 1 .... D:0 1 0 2 0 1 0 3.... Le numérateur a un avantage sur le dénominateur jusqu'à ce qu'au dénominateur on tombe sur une puissance de 2 inédite. Preuve: Comptons les puissances de 2 au dénominateur quand n=2^k: Il suffit pour cela de diviser 2^k par 2 pour trouver les multiples de 2, de diviser ce reste par 2 pour trouver les multiples de 4, etc...au final, on va sommer: 2^(k-1)+2^(k-2)+...1 qui vaut exactement: (2^k-1) puissances de 2. Or au numérateur on a exactement le même cardinal. Donc quand n=2^k alors "un" n'est plus divisible par 2. Mais qaund n=2^k-1, alors "un" est divisible par 2^(k-1). La suite est donc divisible par n'importe quelle puissance de 2, mais jamais de manière ininterrompue.
Si A est un nombre premier autre que 2: Examinons à titre d'exemple les puissances de 3 dans la suite "un" comme pour les puissances de 2: D:001001002.001001002.001001003... On remarque que les 2 premières séquences sont identiques. Au numérateur, on prend un nb sur 2 de cette série, car rappelons qu'au numérateur, on a la suite des impairs. N:01002.0010 comme les 2 premiéres séquences de D sont identiques, on a pour N les 5 valeurs impaires de la 1ère séquence et pour les 4 valeurs suivantes de N les 4 valeurs paires de cette même séquence. Donc au final on a une égalité dans la sommation des puissances. Bien entendu, cette démo est valable pour n'importe quelle séquence: on retombe à un bilan nul à chaque n=2*3^k.
La même démo peut être faite pour n'importe quel autre nombre premier, car les séquences ont toutes un cardinal impair, et à chaque groupement de 2 séquences successives identiques, on retrouvera un bilan N/D nul.
Donc pour les nb premiers, on a le même scénario que pour le 2.
On peut chosir dans la suite C(2n-1;n-1) des termes qui sont facteurs de n'importe quelle puissance de n'importe quel nombre premier, ou bien d'autres termes premiers avec n'importe quel nombre premier.
Pour les produits de nb premiers: c'est la même chose, car on sait que n peut valoir ce produit de nombres premiers, c'est à partir de la longueur de cette séquence qu'on va trouver les entiers.
Quelle que soit la valeur du dénominateur choisi, on trouvera tjs une infinité d'entiers, mais jamais de façon ininterrompue. De plus, comme les puissances des nombres premiers augmentent dans la suite, la proportion de nombre d'entiers aura une tendance croissante d'une séquence à l'autre.
J'avance que cette proportion tend vers 1, mais ça reste à démontrer.
Comme l'a bien remarqué Esereth, les nombres entiers n'apparaissent pas de manière régulière. Je donne ici à titre indicatif les valeurs successives des puissances de 3 de cette suite: 0102120103231213230102120104342324341213231214342324340102120103231213230102120105453435452324342325453435451213231214342324341213231215453435452324342325453435450....
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