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 #1 - 29-09-2011 17:58:12

nodgim
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Courte rélfexion sur les fractions

Soit la suite définie par:
u1=A nombre rationnel.
un=u(n-1)*(4-2/n)

Cette suite peut elle donner des nombres entiers ? Si oui beaucoup ?



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 #2 - 29-09-2011 18:50:43

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

courte réflexion sur les fractuons

En utilisant la relation de récurrence, je trouve :
[TeX]u_n=\frac12C_{2n}^nu_1[/TeX]
A partir de là, je pense qu'on peut trouver des diviseurs du dénominateur de [latex]u_1[/latex] dans [latex]C_{2n}^n[/latex], il suffit juste de retrouver les bonnes propriétés big_smile

Est-il vrai qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont entiers ?

 #3 - 29-09-2011 18:56:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
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courte réflexion sur les fractiins

Bien Looping.
Sinon, j'ai la réponse pour le "beaucoup".

 #4 - 29-09-2011 19:25:10

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Courte réflexoin sur les fractions

Pour A= 1/2 , A part 1/2, ça fait beaucoup de 0.

 #5 - 29-09-2011 19:26:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Court réflexion sur les fractions

Euh..pourquoi beaucoup de zéros, Gwen ?

 #6 - 29-09-2011 19:45:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
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courte réflexipn sur les fractions

Oups ! c'est parce que j'ai vérifié la réponse sur tableur en testant la partie décimale...

Ca fait un paquet d'entiers. (avec un '....,5' de temps en temps)

Par contre, si A=1 est considéré comme rationnel, on n'a que des entiers dans la suite.

 #7 - 29-09-2011 19:51:18

esereth
Professionnel de Prise2Tete
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Court eréflexion sur les fractions

C'est quoi beaucoup ?
Une infinité ?
Un nombre N fixé d'avance ?
Dans le second cas il suffit de prendre A = N! pour que les N premiers nombres (au moins) soient entiers.

Plus sérieusement, j'ai l'impression validée par ma calculatrice,  que quelque soit A entier, tous les u(n) sont entiers. En prenant A=1,
u2=3, u3=10, u4=35, u5=126, u6=462 etc.
Et ça croit vite u12 >1000000

u(n)=C(2n-1,n)*A

Et ça se démontre par récurrence

 #8 - 29-09-2011 20:30:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Courte réflexion suur les fractions

Oui Esereth, mais j'ai posé A rationnel.
Gwen, il faut que tu affines. Prends ton temps, ce n'est pas une course. On est  là pour s'amuser.

 #9 - 29-09-2011 21:35:48

esereth
Professionnel de Prise2Tete
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Courte réflexion sur les fracttions

Oui Esereth, mais j'ai posé A rationnel.

M'en fous ! big_smile

Tout entier est rationnel.
Et tu ne m'empêches pas de choisir un entier.

 #10 - 30-09-2011 01:01:54

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
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Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

courte réflexion syr les fractions

pour u1=±1/2, la suite produit déjà quelques entiers.

idem pour u1=1/3, 2/7, 6/5, etc etc
Au total, ça fait donc ""beaucoup"" d'entiers smile

 #11 - 30-09-2011 17:13:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
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courte réfmexion sur les fractions

Esereth, si je choisis un rationnel non entier ? C'est là l'intérêt du problème...
Tilapiot: c'est vrai parfois ça fait beaucoup d'entiers. Et si A=1/97 par exemple ?

 #12 - 30-09-2011 18:41:02

esereth
Professionnel de Prise2Tete
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Courte réflexion sur les fracttions

Bon j'arrête de faire la mauvaise tête et je réécris ton énoncé :
u1=A rationnel fixé
u(n)=u(n-1)*(4-2/n)
Cette suite contient-elle des rationnels quelque soit le choix de A?

D'après la formule trouvée dans mon post précédent,il est clair que la décomposition en facteurs premiers du dénominateur de A va jouer un rôle
Une analyse trop rapide m'a fait penser que pour 97 qui est premier, c'était entier à partir de u(49) car 2*49-1=97.
Ça commence par être vrai mais comme je le craignais un peu u(97) n'est pas entier, ni les suivants jusqu'à ce que u(146) soit à nouveau entier car 2*146-1=291=3*97 
Et ainsi de suite.
Finalement on doit avoir une infinité de termes entiers par tranches
Entre n=49 et n=96, entre n=146 et n=193, entre n=243 et n=290,...
Il y a 480 entiers jusqu'à n=970, 7152 jusqu'à n=9700 et 71520 jusqu’à n=97000
Tranches régulières ou pas, je n'en sais rien.

Pour des dénominateurs composés c'est encore moins clair bien sûr.

Pour A=1/12, il y a 492 entiers jusqu'à n=600.
n=7, 11, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 35, 38, 41...47,49...63,67, 69 etc.
Ça n'a pas l'air régulier.

Je poursuis mes investigations mais je pense que je vais donner ma langue au chat big_smile

Je donne ma langue au chat. Vivement la réponse !

 #13 - 01-10-2011 21:05:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Courtte réflexion sur les fractions

Cette suite peut se réécrire
un=A*C(2n-1,n-1). ça se démontre facilement en faisant le rapport u(n+1)/un.
De par ce fait, Si A entier, un ne contient que des entiers.
Mais si A possède un dénominateur différent de 1 ?
Si le dénominateur de A est une puissance de 2:
Rappelons la suite telle qu'elle est présentée dans l'énoncé: A*(4-2/n)
ou A*(2*(2n-1)/n)
Chaque terme nouveau se déduit du précédent en le multipliant par 2 et l'impair suivant et en le divisant par l'entier suivant.
Ecrivons les puissances successives de 2 au numérateur et au dénominateur
N:0 1 1 1 1 1 1 1 ....
D:0 1 0 2 0 1 0 3....
Le numérateur a un avantage sur le dénominateur jusqu'à ce qu'au dénominateur on tombe sur une puissance de 2 inédite.
Preuve:
Comptons les puissances de 2 au dénominateur quand n=2^k:
Il suffit pour cela de diviser 2^k par 2 pour trouver les multiples de 2, de diviser ce reste par 2 pour trouver les multiples de 4, etc...au final, on va sommer:
2^(k-1)+2^(k-2)+...1 qui vaut exactement: (2^k-1) puissances de 2.
Or au numérateur on a exactement le même cardinal.
Donc quand n=2^k  alors "un" n'est plus divisible par 2.
Mais qaund n=2^k-1, alors "un" est divisible par 2^(k-1).
La suite est donc divisible par n'importe quelle puissance de 2, mais jamais de manière ininterrompue.

Si A est un nombre premier autre que 2:
Examinons à titre d'exemple les puissances de 3 dans la suite "un" comme pour les puissances de 2:
D:001001002.001001002.001001003... On remarque que les 2 premières séquences sont identiques.
Au numérateur, on prend un nb sur 2 de cette série, car rappelons qu'au numérateur, on a la suite des impairs.
N:01002.0010 comme les 2 premiéres séquences de D sont identiques, on a pour N les 5 valeurs impaires de la 1ère séquence et pour les 4 valeurs suivantes de N les 4 valeurs paires de cette même séquence. Donc au final on a une égalité dans la sommation des puissances.
Bien entendu, cette démo est valable pour n'importe quelle séquence: on retombe à un bilan nul à chaque n=2*3^k.

La même démo peut être faite pour n'importe quel autre nombre premier, car les séquences ont toutes un cardinal impair, et à chaque groupement de 2 séquences successives identiques, on retrouvera un bilan N/D nul.

Donc pour les nb premiers, on a le même scénario que pour le 2.

On peut chosir dans la suite C(2n-1;n-1) des termes qui sont facteurs de n'importe quelle puissance de n'importe quel nombre premier, ou bien d'autres termes premiers avec n'importe quel nombre premier.

Pour les produits de nb premiers: c'est la même chose, car on sait que n peut valoir ce produit de nombres premiers, c'est à partir de la longueur de cette séquence qu'on va trouver les entiers.


Quelle que soit la valeur du dénominateur choisi, on trouvera tjs une infinité d'entiers, mais jamais de façon ininterrompue. De plus, comme les puissances des nombres premiers augmentent dans la suite, la proportion de nombre d'entiers aura une tendance croissante d'une séquence à l'autre.

J'avance que cette proportion tend vers 1, mais ça reste à démontrer.

Comme l'a bien remarqué Esereth, les nombres entiers n'apparaissent pas de manière régulière. Je donne ici à titre indicatif les valeurs successives des puissances de 3 de cette suite:
0102120103231213230102120104342324341213231214342324340102120103231213230102120105453435452324342325453435451213231214342324341213231215453435452324342325453435450....

 

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