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 #1 - 30-11-2019 09:16:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3600

3 fracions égyptiennnes

Bonjour @ tous.

Pour tout p premier > 10 , de combien de façons différentes au minimum peut-on découper 1/p en une somme de 3 fractions égyptiennes ?

Rappel : Une fraction égyptienne est un nombre de la forme 1 / n ( n de N ).

Bonne recherche.

NB : une recherche systématique par informatique permettrait sans doute de donner une tendance ou un minimum probable. Ce n'est pas ce qui est demandé. Il faut donner un minimum prouvé.



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 #2 - 30-11-2019 10:45:32

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 236

3 dractions égyptiennnes

bonjour,

j'ai au moins 6 façons pour opérer même pour p<10  ; alors il doit en manquer
encore au moins une .

1)  [latex]\cfrac1p = \cfrac{1}{2p}+\cfrac{1}{3p}+\cfrac{1}{6p}[/latex]

2)  [latex] \cfrac1p = \cfrac{1}{p+1}+\cfrac{1}{2p.(p+1)}+\cfrac{1}{2p.(p+1)} [/latex]

3)  [latex]\cfrac1p = \cfrac{1}{2p}+\cfrac{1}{4p}+\cfrac{1}{4p}[/latex]

4)  [latex]\cfrac1p = \cfrac{1}{3p}+\cfrac{1}{3p}+\cfrac{1}{3p}[/latex]

5)  [latex] \cfrac1p = \cfrac{1}{2.(p+1)}+\cfrac{1}{2.(p+1)}+\cfrac{1}{p.(p+1)} [/latex]

N.B. 
j'en ajouterai une sixième :
[TeX]\cfrac1p = \cfrac{1}{p+3} + \cfrac{1}{\frac{p}{2}.(p+3)} + \cfrac{1}{p.(p+3)}[/TeX]

 #3 - 01-12-2019 11:54:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3600

3 fractuons égyptiennnes

@ Une Coudée: je valide les 6 cas présentés.

C'est une bonne entrée en matière, mais on peut faire mieux.

 #4 - 01-12-2019 16:21:59

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 236

3 frcations égyptiennnes

bonjour,

j'ai une septième décomposition avec la division .

je pars de [latex]\cfrac{p+3}{2p}[/latex]

par exemple 10/17  est supérieur à 1/2 
[TeX]\cfrac{10}{17} = \cfrac12  +  \cfrac{3}{34}[/TeX]
donc en règle générale :
[TeX]\cfrac{p+3}{2p} = \cfrac12  +  \cfrac{3}{2p}[/TeX]
On divise alors 3 / 2p  ;  dans ce cas 3/34
[TeX] 3 \times 12  =  34 + 2[/TeX]
ainsi : [latex]\cfrac{10}{17} = \cfrac12 + \cfrac{1}{12} + \cfrac{1}{204}[/latex]

On divise par 10  et :
[TeX]\cfrac{1}{17} = \cfrac{1}{20} + \cfrac{1}{120} + \cfrac{1}{2040}[/TeX]
de la même façon on obtient :
[TeX]\cfrac{1}{11} = \cfrac{1}{14} + \cfrac{1}{56} + \cfrac{1}{616}[/TeX][TeX]\cfrac{1}{13} = \cfrac{1}{16} + \cfrac{1}{72} + \cfrac{1}{1872}[/TeX][TeX]\cfrac{1}{7} = \cfrac{1}{10} + \cfrac{1}{25} + \cfrac{1}{350}[/TeX]

 #5 - 02-12-2019 17:46:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3600

3fractions égyptiennnes

Je valide également cette 7 ème solution, bravo @ toi !

Il en reste encore quelques unes à découvrir....

 #6 - 03-12-2019 00:21:44

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 843

3 fractions éygptiennnes

Salut nodgim,

je commence avec :
p+1 p²+p+1 p(p+1)(p²+p+1)
p+1 p²+p+2 p(p+1)(p²+p+2)/2
p+1 2p(p+1) 2p(p+1)
2p 2p+1 2p(2p+1)
2p 2p+2 p(2p+2)
2p 2p+4 p(p+2)
2p 3p 6p
2p 4p 4p
2p+1 2p+1 p(2p+1)
2p+2 2p+2 p(p+1)
3p 3p 3p

Il est tard, j'arrête, mais j'en vois d'autres...

 #7 - 04-12-2019 10:01:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3600

3 fractons égyptiennnes

@ Ebichu :
J'attends les autres que tu as vues, ce n'est pas mal pour l'instant.

 #8 - 04-12-2019 10:44:17

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1612

3 fractipns égyptiennnes

Je dirais déjà au moins 3, vu que
1=1/2+1/4+1/4=1/2+1/3+1/6=1/3+1/3+1/3

On peut multiplier tous les dénominateurs par q et on a 3 résultats, au minimum.

Dans le genre moins trivial
1/q = 1/(q+1) + 1/(q2+q+1) + 1/(q4+2q3+2q2+q)
1/q = 1/(q+1) + 1/(q2+q+2) + 2/(q4+2q3+3q2+2q)
1/q = 1/(q+1) + 1/(2q2+2q) + 1/(2q2+2q)
1/q = 1/(q+2) + 1/(q2+2q) + 1/(q2+2q)
1/q = 1/(q+2) + 2/(q2+2q+1) + 2/(q4+4q3+5q2+2q)
1/q=1/(q+3) + 2/(q2+3q) + 1/(q2+3q)
Note :2/  par souci d’écriture mais les dénominateurs sont pairs

Plus vicieux :
1/q = 1/(q+3) + 3/(q2+3q+2) + 6/(q4 + 6q3 + 5q2 + 6q)
q² = 1 mod 3 donc la fraction du milieu est bien en 1/
et pareil q4 = 1 mod 6, 5q2 = 5 mod 6 donc la dernière fraction est aussi correcte

Et encore plus vicieux l'un marche pour les nombres en 1 ou 9, l'autre pour les nombres en 3 ou 7 (donc 2 formules qui ne comptent que pour 1)
1/q = 1/(q+5) + 5/((q+5)*q+4) + 4/(q(q+5)((q+5)*q+4))
1/q = 1/(q+5) + 5/((q+5)*q+1) + 1/(q(q+5)((q+5)*q+1))


Soit 11 au total

 #9 - 04-12-2019 18:25:25

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 843

3 fractinos égyptiennnes

J'en suis là :

p+1 p²+p+1 p(p+1)(p²+p+1)
p+1 p²+p+2 p(p+1)(p²+p+2)/2
p+1 p²+2p+4 p(p+1)(p²+p+4)/4
p+1 (p+1)(2p+1)/2 p(p+1)(2p+1)
p+1 p²+2p p(p+1)(p+2)
p+1 p²+2p+1 p(p+1)²
p+1 p(p+3) p(p+1)(p+3)/2
p+1 (p+1)(p+2) p(p+1)(p+2)/2
p+1 p(p+5) p(p+1)(p+5)/4
p+1 3p(p+1)/2 3p(p+1)
p+1 (p+1)(3p+1)/2 p(3p+1)
p+1 p(2p+1) (p+1)(2p+1)
p+1 2p(p+1) 2p(p+1)
p+2 (p+1)²/2 p(p+1)²(p+2)/2
p+2 p(p+3)/2 p(p+2)(p+3)/2
p+2 (p+1)(p+2)/2 p(p+1)(p+2)/2
p+2 p(p+1) (p+1)(p+2)
p+2 p(p+2) p(p+2)
p+3 (p+1)(p+2)/3 p(p+1)(p+2)(p+3)/6
p+3 p(p+3)/2 p(p+3)
p+3 (p+1)(p+3)/2 p(p+1)
p+5 (p+1)(p+5)/4 p(p+1)
(3p+1)/2 3p 3p(3p+1)/2
(3p+1)/2 3p+1 p(3p+1)
3(p+1)/2 3p 3p(p+1)/2
3(p+1)/2 3(p+1) p(p+1)
3(p+3)/2 3p p(p+3)/2
2p 2p+1 2p(2p+1)
2p 2p+2 p(2p+2)
2p 2p+4 p(p+2)
2p 3p 6p
2p 4p 4p
2p+1 2p+1 p(2p+1)
2p+2 2p+2 p(p+1)
3p 3p 3p

ça fait 35, mais il doit encore m'en manquer quelques uns. Et il faut que je vérifie l'absence de collision, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de valeur de p pour laquelle deux triplets seraient égaux.

C'est ça, le jeu, il faut en trouver le plus possible ? Tu en as combien, toi ?

 #10 - 05-12-2019 07:58:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3600

3 fractions égyptiennnnes

J'en ai une cinquantaine. Il faut en effet regarder s'il n'y a pas de doublon, mais à contrario, il y a possibilité de déduire à partir de p premier que p+1 est pair ( cela a été vu ) et que p+1 ou p+2 est divisible par 3. Ce qui donne des possibilités supplémentaires.

Je n'ai vu que 13 " p + 1 " dans ta liste, alors qu'il devrait y en avoir 14. Idem pour p+2 : 14.

 #11 - 05-12-2019 17:36:17

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 843

3 fracions égyptiennnes

Tu es sûr ? En prenant p=11, je ne trouve que 5 découpages commençant par 1/13 (c'est-à-dire p+2). Je suis surpris que tu en trouves 14. Ou bien j'ai raté quelque chose, ou bien tu as oublié des doublons.

 #12 - 06-12-2019 08:49:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3600

3 rfactions égyptiennnes

Certes, je suis d'acord avec toi pour p = 11. Mais alors, combien de solutions, pour p = 11, avec 1 / p+1, c'est à dire 1/12 ?

 #13 - 06-12-2019 18:26:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3600

3 fractions égyptiznnnes

Ce que j'ai trouvé, et c'est loin d'être finalisé.....

=====================================


1 / p = somme de 3 fractions égyptiennes ( FE )  avec p > 10.

=====================================

Lemme

( 1 / n ) - ( 1 / (n+d) ) = d  / ( n ( n+d) ) est réductible en FE ssi d est un diviseur de n² ( on pose d <= n )

Le nombre de solutions pour 1 / n comme somme de 2 FE est donc la moitié + 1 du nombre de diviseurs de n².

=====================================

Si n = p, 2 solutions : 

1 / p = 1 / 2p + 1 / 2p

1 / p = 1 / (p+1) + 1 / ( p ( p + 1 ) )

Pour 1 / 2p ou 1 / (p+1)  comme somme de 2 FE : 5 solutions chacun (si, pas de chance, p+1 est le double d'un nombre premier).

Pour 1 / ( p ( p + 1) ) comme somme de 2 FE : 14 solutions  (si pas de chance,  p+1 est le double d'un nombre premier).

24 SOLUTIONS

=====================================


1 / p = 1 / ( p + 2 ) + 2 / ( p ( p + 2 ) )

2 / ( p ( p + 2) ) est somme de 2 FE ssi d impair divise le carré de p ( p + 2 ) dans la FE :  1 / ( p ( p + 2) + d ) / 2 .

Comme p et p+1 ont été considérés comme premiers avec 3, alors 3 I ( p + 2 ) .
( Remarque: si on considére 3 I ( p + 1 ) au lieu de ( p + 2) le nombre total est plus important ) .

Comme p ( p + 2 ) est impair, tous les diviseurs également. Donc p ( p + 2 ) + d est toujours pair. On applique alors directement le lemme.
 
14 SOLUTIONS


=====================================

1 / p = 1 / ( p + 3 ) + 3 / ( p ( p + 3 ) )

3 / ( p ( p + 3) ) est somme de 2 FE ssi d divise le carré de p ( p + 3 ) dans la FE :  1 / ( p ( p + 3) + d ) / 3  et si d = -p ( p + 3) modulo [3]

p et p + 3 = 1 [3] dans notre hypothèse, donc le produit également, donc il faut d = 2 [3]. Par ailleurs, p + 1 ayant été supposé divisible par 2 seulement, p + 3 est divisible par 4

p + 3 = 4 q avec q au pire premier. Les diviseurs de ( 4 p q ) ²  qui conviennent sont : { 2, 8, 2p, 8p, 2q, 8q, 2pq, 2q², 8q² }

Remarque : pour p = 13, on a q = 4, ce qui réduit à 6 solutions au lieu de 9, mais c'est une exception pour ce petit nombre et ça n'obère pas le cas général. Par ailleurs, on sait que 13 donne 59 solutions.   

9 SOLUTIONS

====================================

1 / p = 1 / ( 2p + 1) + ( p + 1 ) / ( p ( 2p + 1 ) )

( p + 1 ) / ( p ( 2p + 1 )  est somme de 2 FE ssi d divise le carré de p ( 2p + 1 ) dans la FE :  1 / ( p ( 2p + 1) + d ) / ( p + 1 )   et si d = -p ( 2p + 1) modulo [ p + 1]

2 SOLUTIONS : d = {  p , 2p+1 }

===================================

Etc......

On peut prolonger la liste : Elles entrent toutes dans la méthode proposée ci-dessus, à savoir trouver les diviseurs des carrés de p ( p + k ) qui sont en même temps l'opposé de  p  ( p + k ) modulo  k . Mais celles qui manquent sont plus difficiles à trouver sans connaissance particulière des divisibilités qui dépendent bien entendu de p.

On peut ajouter, pour faire un chiffre rond :

1 / p = 1 / 3p + 1/ 3p + 1/ 3p.

50 SOLUTIONS.

 #14 - 06-12-2019 20:15:44

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 843

3 fractions éygptiennnes

Pour p=11, je trouve :
5 solutions pour les décompositions commençant par 13 qui sont :
13 72 10296
13 77 1001
13 78 858
13 132 156
13 143 143
et 23 solutions pour les décompositions commençant par 12

J'ai l'impression que cela ne contredit pas ta solution, juste, tu es un poil trop ambitieux quand tu affiches 14 et 24 solutions.

En effet, pour les décompositions commençant par 12, ta méthode dit que d doit diviser 11^2.3^2.2^4, ce qui fait 3*3*5=45 décompositions ; mais comme ces décompositions sont groupées par deux, sauf 12;264;264, cela fait (45+1)/2=23 décompositions réelles.
Pour celles commençant par 13, ta méthode dit que d doit diviser 11^2.13^2 soit (3*3+1)/2 = 5 décompositions.

 #15 - 07-12-2019 08:26:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3600

3 ftactions égyptiennnes

Attention Ebichu, je suis d'accord avec toi mais il faut tout regarder.

Pour 11 :

1/11 - 1/12  = 1 /(11*12)
La décomposition de 11*12 en 2 FE donne bien 23 solutions.
Et la décomposition de 1/12 en 2 FE donne 8 solutions.
La décomposition de 1/22 en 2 FE donne 5 solutions.

Total : 36.

La décomposition de 1 / 11  - 1/13 = 2 / (11*13) donne 5 solutions

La décomposition de 1 / 11 - 1 /14 = 3 / (11*14) en 2 FE donne 6 solutions
avec d diviseur de (11² * 2² * 7²) et de valeur -1 [3] .
d = {2,11,14,77,44,98}

Sauf erreur, on en est à 47. Et on est loin d'avoir examiner tous les cas de figure pour 11. 

Bien entendu, le min sera d'autant plus grand qu'on ira plus loin dans les différents cas de figure, mais on devra à chaque avancée isoler des nombres particuliers.

 

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