Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 10-03-2020 19:17:50

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

La chasse des épervers .

Bonsoir ,

Encore un petit problème de géométrie que voici :

4 éperviers mulotent au dessus de la plaine ; mais ils opèrent à des altitudes différentes les uns des autres  .
Ils chassent en vol stationnaire , le premier à 30m au dessus de la plaine , le second à 51m , le suivant à 54m et le dernier qui possède la meilleure vue surveille la plaine à 60m d'altitude .
La question est la suivante :
En conservant leur altitude respective , en vol stationnaire , peuvent-ils se retrouver équidistants ?
Si la réponse est non , en donner la preuve .
Si oui , donner par le calcul cette distance .

                                                 bon courage .

n.b. j'ai fait une erreur en recopiant et j'ai corrigé au dessus .



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 12-03-2020 09:06:25

Bastidol
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 136

La chaasse des éperviers .

Bonjour smile

Je pose les équations suivantes :


D^2 =     441 + (X1-X2)^2+ (Y1-Y2)^2
D^2 =    729 + (X1-X3)^2+ (Y1-Y3)^2
D^2 =    900 + (X1-X4)^2+ (Y1-Y4)^2
D^2 =      36 + (X2-X3)^2+ (Y2-Y3)^2
D^2 =     81 + (X2-X4)^2+ (Y2-Y4)^2
D^2 =      36 +  (X3-X4)^2+ (Y3-Y4)^2

6 équations 5 Inconnues. roll

Résolution à venir.
@+

on peut supprimer une inconnue en prenant la position X1,Y1,Z1 comme origine du repère.

 #3 - 12-03-2020 09:10:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

LLa chasse des éperviers .

Salut UneCoudée,

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris, car la solution me semble évidente : les différences d'altitude sont respectivement 21, 8 et 3.  On trace 4 lignes parallèles avec ces écarts, et ensuite avec un compas, on reporte l'écart 21 sur les 2 autres lignes. On peut aussi reporter tout écart > 21.

 #4 - 12-03-2020 10:02:00

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

la chasse des épervierq .

bonjour

autant pour moi , les altitudes sont : 30 , 51 , 54 & 60  .
j'avais écrit 57 au lieu de 54 . excusez moi .

 #5 - 12-03-2020 11:13:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

aL chasse des éperviers .

ça ne change rien à ma réponse (géométrique).

 #6 - 12-03-2020 21:03:52

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

la chasse des épeeviers .

Arf : j'avais trouvé que c'était possible, par exemple en plaçant les éperviers en (0;0;60) (0;33;57) (39V61/11;174/11;51) (3V61/11;153/11;30), pour une distance de 3V122.

Bon ben je vais recommencer avec les nouvelles valeurs smile

 #7 - 13-03-2020 08:17:24

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

LLa chasse des éperviers .

Bonjour ;

@Ebichu : je n'ai pas vérifié avec 57 ; mais vu ton résultat , qui est légèrement supérieur au mien , tu dois être dans le vrai ; essaie avec 54 , je pense que ça devrait coller . Perso , je suis parti avec la descriptive + la trigo ;
Dès que j'ai un moment je calcule avec 57 .

 #8 - 13-03-2020 09:25:18

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

L chasse des éperviers .

re ,

@Ebichu : je viens de recalculer avec la valeur 57 ; et c'est parfait !  bravo !

 #9 - 13-03-2020 10:10:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

la chadse des éperviers .

Oh, je viens juste de comprendre ta question. Peut être aurait il fallu que tu précises " équidistances mutuelles " mais bon, d'autres ont compris....

Autrement dit, peut on obtenir qu'ils soient chacun au sommet d'un même tétraèdre régulier ?

 #10 - 13-03-2020 18:52:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

La chasse des éperviers

Sans calcul, on peut déjà avancer que ça marche quels que soient les écarts d'altitude.

Preuve : on place un tétraèdre régulier avec une arête verticale, et donc aussi une arête horizontale. L'altitude de l'arête horizontale est pile au milieu de l'arête verticale. En inclinant cette dernière selon le plan normal à l'arête horizontale, on peut placer l'altitude de cette dernière dans la proportion qu'on veut par rapport à la différence d'altitude entre les points extrêmes haut/bas du tétraèdre. Ensuite en faisant pivoter l'axe vertical incliné, on écarte l'altitude des 2 extrémités de l'axe horizontal, l'une vers le haut, l'autre vers le bas, de la même amplitude.

En application de ce qui vient d'être dit, on se rend compte que dans les données de l'énoncé, la moyenne des 2 altitudes intermédiaires est dans la proportion 1/4 - 3/4 de la différence des altitudes extrêmes. On en déduit après calcul l'inclinaison de l'axe vertical incliné, puis la distance entre sommets : 31,8198051533946
mètres.

 #11 - 13-03-2020 19:22:25

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

La chasse des péerviers .

Donc avec les nouvelles valeurs, je place les éperviers en :
(0 ; 0 ; 60)
(0 ; 3/2*V438 ; 54)
(25/292*V99426 ; 203/292*V438 ; 51)
(3/292*V99426 ; 147/292*V438 ; 30)
pour une distance de 3/2*V454 et ça marche.

 #12 - 13-03-2020 19:49:00

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

La chasse des éperviesr .

@Ebichu : c'est exact pour la longueur ; je ne vérifie pas les coordonnées , je procède autrement sans calculer les coordonnées

@Nodgim : tu me donnes 13 décimales mais la première n'est pas bonne .

 #13 - 13-03-2020 20:46:41

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

La chaasse des éperviers .

Oui, j'y suis allé sans trop de tendresse, avec la géométrie analytique. Je me doute qu'il doit y avoir plus subtil, mais bon, tant que ça marche big_smile

 #14 - 14-03-2020 05:39:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

la chasse des épervizrs .

Je sais, je me suis planté complètement dans mon raisonnement.....

 #15 - 14-03-2020 18:14:50

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2821
Lieu: 94110

la chasse fes éperviers .

... En conservant leur altitude respective , en vol stationnaire , peuvent-ils se retrouver équidistants ?

A mon humble avis (mais quelque chose a pu m'échapper), la réponse est OUI tongue !

Soient les points A, B, C et D les positions des éperviers en altitude croissante.
Ces points doivent former les sommets d'un tétraèdre régulier d’arête D.
Si on prend comme origine d'un repère orthonormé la position du point A, les coordonnées des trois autres éperviers sont :
XB, YB, ZB  /  XC, YC, ZC  /  XD, YD, ZD  (avec ZB = 21, ZC = 24, ZD = 30), et on dispose de 6 équations de la forme :
XB² +YB² + ZD² = D²
...
(XD - XC)² + (YD -YC)² + (ZD-ZC)² = D²
(ainsi que d'une inéquation sur la valeur minimale de D) pour déterminer 7 inconnues (XB, YB, XC, YC, XD, YD et D.

Il y a donc une petite infinité de solutions et on peut soit :
- choisir arbitrairement l'une des variables (par ex. D= 100),
- se donner une équation supplémentaire (par ex. XB = XA)
- ou une contrainte supplémentaire (par exemple valeur minimale de D).

La suite est une résolution numérique qui n'est pas demandée dans le sujet, et qui, de toute façon, sort de mes compétences mathématiques lol .

 #16 - 14-03-2020 19:51:20

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

La chasse des épervier .

@Jackv : si oui il est demandé une réponse par le calcul ; pour l'instant que nenni .
Il n'y a qu'une valeur possible .

 #17 - 15-03-2020 09:17:29

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2821
Lieu: 94110

la chasse fes éperviers .

Exact big_smile ! Quelque chose m'avait échappé... hmm
Mon repère peut pivoter autour d'un axe vertical. On doit donc ajouter une contrainte (par ex. YB = 0) pour le fixer.
On retrouve alors un système de 6 équations à 6 inconnues qui admet donc une solution unique.

Soit H le pied de la normale abaissé de D sur le plan ABC.
ZH = (ZB + ZC) / 3 = 15 dans mon repère (soit une altitude de 45 m au dessus de la plaine).
Si on se place dans le plan ADH, on doit pouvoir écrire des relations dont je verrai plus tard si la résolution sort de mes compétences mathématiques.

 #18 - 16-03-2020 15:18:31

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2821
Lieu: 94110

la chasse des épervoers .

Je comprend maintenant pourquoi tu as modifié ton altitude de 57 à 54m. C'était pour rendre la résolution numérique de ton problème accessible à mes (faibles) compétences mathématiques lol !
Effectivement, l'altitude de mon point H, à mi-hauteur du point D par rapport au point A, simplifie les relations cool .

Si j'appelle D' la projection du point D sur le plan Z = 0, il suffit d'exprimer la distance AD' de deux manières différentes pour obtenir une équation en a (= distance entre chaque épervier).

Sans certitude sur l'exactitude de mes calculs, je te propose la valeur
                                           a = 31,8198051.

EDIT : Je n'ai pas utilisé la trigo, uniquement Pythagore Spoiler : [Afficher le message] (et un tableur wink )

 #19 - 16-03-2020 16:36:21

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

la vhasse des éperviers .

salut,

@jackv , j'ai déjà obtenu ce résultat ; mais ce n'est pas ça .Il y a une erreur de raisonnement sans doute . Jusque là je n'ai eu qu'une bonne réponse avec ébichu : une avec 57m et une autre avec 54m .
Par contre , j'avais au départ écrit 57 . J'ai corrigé avec 54 parce que j'avais déjà rédigé ma résolution avec cette valeur ; c'est tout . Mais cela ne change rien à la méthode à employer .
On doit même trouver une valeur exacte du style [latex]a\sqrt{b}[/latex]  par exemple , où a & b sont des entiers .
Allez ! bon courage .

 #20 - 17-03-2020 13:08:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3063
Lieu: Luxembourg

La cahsse des éperviers .

Au départ, je suis parti d’un système d’équations sur les coordonnées des quatre points (en prenant x1 = y1 = 0):
D² = x2² + y2² + 441 = x3² + y3² + 576 = x4² + y4² + 900
et: D² = (x2-x3)² + (y2-y3)² + 9 = (x2-x4)² + (y2-y4)² + 81 = (x3-x4)² + (y3-y4)² + 36
En triturant les trois dernières équations, on arrive à:
½ D² = x2.x3 + y2.y3 + 504 = x2.x4 + y2.y4 + 630 = x3.x4 + y3.y4 + 720
A priori, avec six équations et six inconnues, c’est jouable, mais les calculs deviennent vite inextricables et j’abandonne donc cette piste.
http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Tetraedre.png
Puis je me suis aperçu que les quatre points définissent un tétraèdre régulier avec quatre faces en triangles équilatéraux. Ce tétraèdre est circonscrit dans un cube où les arêtes du tétraèdre (de longueur D) sont les diagonales du cube. Deux arêtes sans point commun sont ‘’perpendiculaires dans l’espace’’.
Pour les altitudes, je pars de: 0; 21; 24 et 30 (au lieu de: 30; 51; 54 et 60), ce qui ne change rien.
Je place le cube à plat et je l’incline d’un angle A suivant l’arête du tétraèdre au sol jusqu’à ce que le point opposé à celui d’altitude 0 ait une altitude de 21. L’altitude des deux autres points devient alors h0:
h0 = (D/2).[V(2/3).cosA + V(1/3).sinA]
J’incline maintenant ce cube (déjà incliné) d’un angle B perpendiculairement à l’arête 0-21 pour ramener les points supérieurs aux altitudes h1 = 60 et h2 = 24: on obtient (je ne détaille pas les calculs):
h1–h2 = 36 = D.sinB.cosA   /   h1+h2 = 84 = D.cosB.sinA + 21
d’où: D.cosA = (81/2).V2   avec: sinA = 21/D
et finalement: D = (3/2).V1654 = env. 61,004
Mais je ne suis pas vraiment sûr de ne pas m’être planté quelque part dans un calcul.

 #21 - 17-03-2020 17:20:25

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

la xhasse des éperviers .

@Franky : tu as presque doublé l'arête recherché .
Bon , au départ on s'aperçoit qu'on peut effectuer une transformation composée :

1) descendre tout ce petit monde de 30 m ( A est donc au sol )
2) une homothétie de centre A et de rapport 1/3
les 4 hauteurs sont donc : 0 , 7 , 8 , 10  .
Avec 2 angles  et un peu de géométrie descriptive ; mais dessin à la main , on parvient à trouver ces angles , et donc leurs lignes trigonométriques . Le reste
tombe comme un fruit mûr .

 #22 - 17-03-2020 17:35:30

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 90

La chase des éperviers .

Bonjour unecoudée,

Si la réponse est de type a√b avec a et b entiers, j’ai peut être une erreur de calcul.

Pour (30 ; 51 ; 54 ; 60), je trouve une équidistance entre nos 4 amis avec une distance respective de  3√(227/2) m…
Avec les positions (x/y/z) approximatives suivantes : (0 / 0 / 30) ; (-10,82 / 21,53 / 51) ; (-18,98 / -9,23 / 54) ; (11,02 / 0 / 60). Ça a l’air de marcher pourtant…

Pour (30 ; 51 ; 57 ; 60) je trouve 3√122 m, avec comme positions : (0 / 0 / 30) ; (-5,76 / 24,98 / 51) ; (-18,55 / -5 / 57) et (14,07 / 0 / 60)

Bonne journée confinée.

 #23 - 17-03-2020 17:55:49

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

La chasse des épervierrs .

@TOUFAU : encore toubon avec les 2 hauteurs 54 & 57 . Bravo !

 #24 - 19-03-2020 10:03:06

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

L achasse des éperviers .

bonjour à tous ,

Et merci de vous être intéressés à ce casse tête . Je vous donne ma façon de voir la chose en espérant être assez clair .

Résolution :

Déjà on peut changer l'échelle afin de simplifier les formules : 1/3  ; et on descend tout le monde de 10 m ; ainsi les distances entre les 4 niveaux sont :  0 , 7 , 8  & 10   . 
Les 4 objets forment donc un tétraèdre régulier . Maintenant on regarde le tétraèdre selon une direction parallèle aux 4 plans z=0 , z=7 .....
Un rappel : toute droite dans l'espace est contenue par un plan vertical .
On peut tourner autour du tétraèdre afin de voir chacune de ses arêtes à tour de rôle  en vraie grandeur . On regarde par exemple l'arête AD .
A est le point le plus bas et D est le plus haut . AD vu en vraie grandeur forme avec la verticale un angle t  . 
Et les deux points B & C  se trouvent alors sur la médiatrice du segment AD , sur les droites d'équation : z = 7 & z = 8 .
Le segment BC quant à lui , forme un angle t avec l'horizontale .
Mais les 5 autres arêtes ne sont pas vues en vraie grandeur .
soit M le milieu du segment BC .
On trace les trois droites parallèles à AD passant par B , M & C .   
On trace maintenant le tétraèdre  A'B'C'D'  vu suivant DA ; ainsi que le point M' milieu de B'C'  .
On ne connaît pas l'angle t  . On suppose alors que c'est angle est connu et donc qu'il soit tracé correctement .

  L'angle B'C'C sera appelé :  [latex]\beta[/latex] .

Nous devons maintenant calculer ces deux angles pour connaître l'arête du tétraèdre .
Si la figure est correcte , alors : A'M'  est la distance entre les 2 arêtes opposées : B'C' & A'D' qu'on appellera x ( notre inconnue ) .
On connaît la valeur de cette distance entre deux arêtes opposée  :
[TeX]A'M' = \cfrac{\sqrt2}{2}.x[/TeX]
A partir du dessin , on peut formuler :
[TeX]x = \cfrac{1}{\sin{t}.\sin{\beta}}[/TeX]
Comme la distance  OC = A'M'  , et comme la différentielle d'ordonnées de O & C  est de 3 , alors :
[TeX]\cfrac{x.\sqrt2}{2}.\cos{\beta} + \cfrac{1}{2.\sin{t}}  = \cfrac{3}{\sin{t}}[/TeX]
On reporte dans cette dernière formule la valeur de  x , et après simplification et la disparition du  sin t  on trouve cette ligne trigo :
[TeX]\tan{\beta} = \cfrac{\sqrt2}{5}[/TeX]
On en déduit son sinus :
[TeX]\sin\beta = \cfrac{\sqrt6}{9}[/TeX]
Comme on sait aussi que :
[TeX]AD  =  x  = \cfrac{10}{\cos{t}}[/TeX]
Alors :
[TeX]\cfrac{10}{\cos{t}} = \cfrac{9}{\sqrt6.\sin{t}}[/TeX][TeX]\tan{t} = \cfrac{3.\sqrt6}{20}[/TeX]
Il reste à calculer le sin t  en fonction de sa tangente : 
[TeX]\sin{t} = 3.\sqrt\frac{3}{227}[/TeX]
On obtient enfin x :
[TeX]x = \cfrac{1}{\sin{t}.\sin{\beta}}[/TeX][TeX]x = \sqrt{\frac{227}{2}} \approx 10.6536..m[/TeX]
Mais comme au départ on a réduit l'échelle de 1/3 , la distance d séparant chacun des rapaces vaut :d = 31.961 m  arrondi au mm .

N.B.  Avec l'altitude 57 m : même processus mais les équations changent légèrement avec :
[TeX]x = \cfrac{2}{\sin{t}.\sin\beta}[/TeX]
et
[TeX]\cfrac{x.\sqrt2}{2}.\cos{\beta} + \cfrac{1}{\sin{t}}  = \cfrac{4}{\sin{t}}[/TeX]
https://nsa40.casimages.com/img/2020/03/19/200319100940758301.png

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Dans une course, vous doublez le 42ème, en quelle position êtes-vous ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Carrelage par nodgim
24-07-2018 Enigmes Mathématiques
04-02-2012 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 59 par Vasimolo
05-05-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Le carré caché par unecoudée
16-12-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Une question bateau par euloge
02-07-2008 Enigmes Mathématiques
P2T
Neuf chiffres par Nicouj
05-05-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Rock and Rolle par Ebichu
25-07-2016 Enigmes Mathématiques
30-03-2010 Enigmes Mathématiques
03-05-2010 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete