en passant tout cela plusieurs fois au carré:  4+4-4+4-x = x puissance 16, d'où x puissance 15 = 8  et x= racine quinzième de 8

Tout ce que je peux dire, c'est que x est inférieur ou égal à 4

Voici donc la clôture de cette énigme.Je dis bravo! pour vous tous d'avoir tenté la résolution de ce problème que je vous assure moi aussi j'ai trouvé assez de difficulté pour la résoudre, et ce que je vais vous présenter ce n'est que ma méthode personnelle donc ça n'empêchera pas qu'il existe d'autres méthodes.
Alors,pour EfCeBa :merci pour l'effort et vraiment c'est la bonne réponse mais malheureusement j'ai demandé une méthode mathématique concrète.

pour HAMEL et MANCUNIEN2008 :c'est absurde! mais merci pour l'effort comme même.

pour LeSingeMalicieux : c'est correcte mais ce n'est pas suffisant. Merci!

pour MthS-MlndN : merci pour tes précieux efforts, juste que la solution x s'il existe doit etre comprise entre 2 et 4 car d'après l'équation $x \ge sqrt(4)=2$ donc la seule solution qu'on aura est x2.bravo pour ta méthode!!

Ma méthode:On pose $f(x)=\sqrt{4+\sqrt{4-x}}$
$$f[/latex] est définie sur [latex]\[2,4][/latex] et elle est continue et strictement décroissante donc c'est une bijection de [latex]\[2,4][/latex] dans f([latex]\[2,4][/latex]). et  donc [latex]f(x)=x \Longleftrightarrow f(f(x))=\sqrt{4+\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}}}=x , \forall x\in[2,4]$$
par suite $\forall n\in \mathbb{N} f^n(x)=x \Longleftrightarrow f(x)=x, \forall x\in[2,4]$
donc notre equation n'est qu'un cas particulier et ce cas s'obtient en prenant $n=2$.
d'ou $f(f(x))=x \Longleftrightarrow f(x)=x, \forall x\in[2,4].$
Résolvant maintenant sur $[2,4]: f(x)=\sqrt{4+\sqrt{4-x}}=x.$
on pose $y=\sqrt{4-x}$ donc $y^2=4-x$:$(1)$
et aussi $x=\sqrt{4+y}$ donc $x^2=4+y$:$(2)$
par suite $(2)-(1):x^2-y^2=x+y\Longleftrightarrow (x+y)(x-y-1)=0}$
$$\Longleftrightarrow (x+y=0) ou (x-y-1=0)$$
mais puisque $x\ge 0$ et $y\ge 0$ alors $x+y=0 \Longrightarrow x=0$ qui ne vérifie pas $f(x)=x$
donc reste$x-y-1=0\Longleftrightarrow y=x-1$
si on remplace $(2):y=x^2-4$ dans l'équation $x-y-1=0$
on arrive à la fin à l'équation $x^2-x-3=0$ cette équation admet deux solutions réelles une positive et l'autre négative.
on prend celle qui est positive est celle-ci n'est que $x= \frac{1+\sqrt{13}}{2}$
Merci

Félicitations pour cette énigme et cette démonstration, je me souvenais avoir démontré les racines imbriquées infinies et leur convergence ou divergences dans le passé avec une démonstration correcte, mais la j'ai été un peu court ^^ (pourtant j'avais la volonté, j'adore ce genre de maths, mais j'ai un peu oublié...)

J'avais essayé une autre méthode non décrite :
$u(n+1) = sqrt(4+(-1)^n u(n))$ mais comme pour l'autre suite, il me manque une étape.

EfCeBa a écrit:

J'avais essayé une autre méthode non décrite :
$u(n+1) = sqrt(4+(-1)^n u(n))$ mais comme pour l'autre suite, il me manque une étape.

.

MthS-MlndN  a écrit:

J'avais essayé celle-ci, et les (-1)^n m'emm***aient. Vu d'ici, ce genre de suites va être une fois croissante, une fois décroissante, ce qui fait que prendre tout de suite v(n)=u(2n) arrange les choses, je trouve !

.
Oui, bravo! tu viens de trouver une autre méthode juste une seule réctification c'est qu'on va prendre la suite $v$ telle que $\forall n\in \mathbb{N} v(n)=u(2n+1)$ et ceci pour avoir toujours $\sqrt{4+...}$ à gauche.
donc la solution $x$ de l'équation va vérifier $x=\lim_{n\to +\infty} v(n)$ or on a $v$ vérifie $v(n)=\sqrt{4+\sqrt{4-v(n-1)}}$ si on passe à la limite on aura donc $x=\sqrt{4+\sqrt{4-x}}$ avec la contraine $x\in [2;4]$ car $[2;4]$ est un compact ,on obtient donc la valeur $x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$. voila!

LeSingeMalicieux a écrit:

toddsalim a écrit:

juste que la solution x s'il existe doit etre comprise entre 2 et 4 car d'après l'équation $x \ge sqrt(4)=2$

Je vais faire mon boulet, mais je ne comprends pas d'où tu tires cette affirmation. Elle te semble triviale, pour moi elle ne l'est pas du tout
Je n'avais cherché que le domaine de définition de x, bien incapable ensuite de résoudre cette équation. Et même après vous avoir tous lu (bravo d'ailleurs), je ne comprends pas...

Si ton affirmation vient de ce que x = √(4 + a), je dirais pour ma part que √(4 + a) a deux solution : une positive et une négative. Ce qui n'oblige donc pas x a être au moins égal à √(4 + 0)...

Je ne doute surtout pas de vos dires
Bien au contraire je les admire
Mais si vous pouviez m'expliquer
Pour assouvir ma curiosité

Oui,avec plaisir mon ami.
S'il existe x sur $\mathbb{R}$ qui vérifie l'equation$x=\sqrt{4+\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}}}$,alors
$$(\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}} )\ge0 \Longleftrightarrow \sqrt{4+\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}}}\ge\sqrt{4+0} \Longleftrightarrow x\ge\sqrt{4}$$
$$\Longleftrightarrow x\ge2$$
donc la solution x s'il existe doit etre $\ge2$.cad dans l'intervale$[2;4]$
Bon courage!

LeSingeMalicieux a écrit:

toddsalim a écrit:

Oui,avec plaisir mon ami.

Merci à toi

toddsalim a écrit:

S'il existe x sur $\mathbb{R}$ qui vérifie l'equation$x=\sqrt{4+\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}}}$,alors
[TeX] (\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}} )\ge0 [/latex]

Selon moi, je déduirais plutôt que [latex] (\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}} )\ge-4 [/TeX]
Une racine (sauf celle de 0) a bien deux résultats : un positif et un négatif non ?

Bien sur que oui,et ce que tu as écris est totalement correct,si on continue ton raisonnement on aura par suite $x\ge0$,et cela donne seulement l'inclusion $D_f\subsete[0;4]$.
Réciproquement,si $x\in [0;2[$ alors $x=\sqrt{4+\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}}}<2 \Longleftrightarrow (4+\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}})<4$ $\Longleftrightarrow (\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}})<0$ absurde!!
l'equation donc n'aura pas de sens.
d'ou $D_f= [2;4]$.
L'idée donc que tu viens d'exprimer vient du fait que toute solution x de l'equation doit etre positive et ceci et deja vérifié en prenant $D_f= [2;4]$.
Merci ,et j'espere que j'ai bien expliqué mon idée.

kosmogol a écrit:

toddsalim a écrit:

LeSingeMalicieux a écrit:

Une racine (sauf celle de 0) a bien deux résultats : un positif et un négatif non ?

Bien sur que oui

Racine(x)= 2 à deux solutions ? une négative, une positive !
Je vais avoir besoin d'un recyclage en maths moi !

J'avoue que là je ne comprends plus, y a dû y avoir un cafouillage...

$sqrt{x} = 2 \rightarrow x = 4$ picétou...

C'est l'inverse qui donne deux racines : $x^2 = k > 0 \rightarrow x = sqrt{k}$ OU $x = -sqrt{k}$...

maintenant viens danser
euh viens dans C

c'etait juste pour le jeux de mots

ma réponse aurait pu aussi etre :
Spoiler : [Afficher le message] On est jamais assez fort pour ce calcul

PeteZah a écrit:

perceval a écrit:

c'etait juste pour le jeux de mots

ma réponse aurait pu aussi etre :
Spoiler : [Afficher le message] On est jamais assez fort pour ce calcul

Ou alors "Un dernier calcul et on s'en va..."

Amis du bon goût, bonsoir

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