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 #1 - 13-04-2020 11:25:04

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

alpiniqme

Bonjour à tous,

Je vous propose une nouvelle petite énigme, que j'ai déjà posée sur l'ile des mathématiques (donc n'allez pas là bas pour voir la solution)

Deux p2tiens un peu sportifs décident de se faire une petite ascension d'une montagne. Comme ce n'est pas très stimulant intellectuellement, ils se lancent un petit défi :  Ils doivent pendant l'ascension garder en permanence la même altitude. Cependant, ils ne marchent évidemment pas côte à côte mais attaquent chacun un versant de la montagne (qui est en 2d). Étant télépathes, la coordination ne leur pose pas problème...

Si la pente était monotone, le défi serait aisé. Cependant la montagne à gravir est un peu plus biscornue, en voici un relevé topographique (avec courbes de niveau) :
http://www.prise2tete.fr/upload/caduk-montagne.png

Comment peuvent-il planifier leur ascension ? L'un des deux (ou les deux) peut bien entendu choisir de rebrousser chemin pendant un moment pour pouvoir mener à bien cette mission.

Pourrons t-il toujours trouver un moyen d'arriver au sommet quel que soit le profil de la montagne ?



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 #2 - 13-04-2020 11:54:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,233E+3

Alpiniisme

Je connais un peu smile

Vasimolo

 #3 - 13-04-2020 13:32:36

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 722

Alinisme

Pour la deuxième question, si le point I est plus bas que A et O, c'est mort !
pour la première question, ça ressemble un peu à la tour de hanoï, c'est fastidieux mais ça semble simple.
G pour gauche, D pour droite.
Dn ,Dm ,Gb ,Dm , Dn, Gc, Dn, Dm, Gd, Dm, Dn, Ge, Dn, Dm, Dl, Dk, Dj, Ge, Dj, Dk,  Gd, Dk, Dj, Gc, Gb, Di, Gb, Gc, Gd, Ge, Dh, Ge, Gd, Dg, Gd, Ge, GDF !
Ils croisent en F et on reprend la séquence à l'envers !

 #4 - 13-04-2020 14:31:04

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Alpinime

Vasimolo
Oui, j'ai fait e rapprochement, je pense poster plus tard une énigme que je n'ai mis ni sur p2t, ni sur l'île.

godisdead
Parfait!
Et si le point I est au dessus AO, est ce toujours possible?

 #5 - 13-04-2020 15:11:27

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 722

alpinismr

Et si le point I est au dessus AO, est ce toujours possible?
Je ne trouve pas de contre exemple, je dirais bien que c'est toujours possible avec autant de certitude qu'une intime conviction (ce qui est donc assez proche de 0 crédibilité smile )

 #6 - 13-04-2020 16:18:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Alpinnisme

Le premier qui arrive à un max ou à un min continue, l'autre fait demi-tour.

La rencontre a nécessairement lieu au point le plus haut.

 #7 - 13-04-2020 17:40:34

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Alpinnisme

nodgim
C'est effectivement ce que l'on a envie de dire...
Est ce que ça marche tout le temps ?

 #8 - 14-04-2020 18:05:14

JP5970
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Alpinismme

Bonsoir Caduk,

La séquence de résolution doit être la suivante :

(O ou A) NMBMNCNMDMNENMLKJEJKDKJCBIBCDEHEDGDEF.

La résolution ne serait pas possible si I était en dessous de A et O.

Il ne doit exister sur le parcours qu’un seul point situé à un niveau qui ne puisse être atteint simultanément par les deux alpinistes.Il s’agira du point de contact.

Merci pour cette énigme qui nous a fait prendre l'air des hauteurs.

Cordialement.

 #9 - 14-04-2020 19:40:04

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 398

Alipnisme

JP5970
Très bien, et si le minimum est toujours au dessus des extrémités, est-ce toujours possible?

 #10 - 15-04-2020 09:12:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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alpinusme

Pour prouver que les 2 alpinistes peuvent se rejoindre au plus haut sommet en étant pendant tout le trajet toujours au même niveau, on peut partir de ce sommet et faire descendre les alpinistes chacun de son coté. On peut les faire descendre jusqu’au 1er creux, en identifiant ce bout de trajet possible en reliant par des traits de niveau réguliers de part et d’autre du flanc. Ou mieux en coloriant, gage de la continuité. La coloration signifie précisément : dans toute la partie coloriée, les 2 alpinistes partis du sommet peuvent se retrouver chacun, à tout niveau, à une extrémité extérieure de l’enveloppe coloriée, de part et d’autre de la verticale du sommet, quel que soit le cheminement pris pour y arriver, les rebroussements étant permis ( et évidemment nécessaires presque toujours). 

Toute partie non coloriée entre un flanc, dont une extrémité est jointe à l’enveloppe coloriée par un creux ou un pic, et l’enveloppe coloriée, située au même niveau que la partie coloriée, peut être elle-même coloriée . De proche en proche, on va colorier toute la montagne jusqu’en bas.

Si  le profil comporte 2 plus hauts sommets, ou plus, ça rentre dans le coloriage d'après la règle énoncée.

Si le profil comporte 1 unique point bas, plus bas que les 2 niveaux 0 de départ, alors cette  partie ne peut être coloriée : L’enveloppe inférieure de la partie coloriée étant toujours une horizontale, on ne peut pas colorier une partie en creux dont les 2 cotés sont extérieurs à la partie coloriée. En revanche, si de part et d’autre de la verticale du plus haut sommet, on a au moins un creux de même niveau, alors le coloriage intégral est possible.

 #11 - 15-04-2020 23:35:48

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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Alpiinsme

nodgim
Spoiler : [Afficher le message] Je ne suis pas sur de tout comprendre dans ton raisonnement. Peux tu détailler pourquoi ton coloriage est valide au paragraphe 2?
Tu ne donne que des coloriages sur le côté, il faudrait aussi donner le coloriage vers le bas (même si c'est plus simple). Ou alors je n'ai vraiment rien compris...
Pour ma part j'ai une démonstration par récurrence assez simple.

 #12 - 16-04-2020 08:38:29

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

alpinismz

Je me pose encore des questions sur ce que j'ai écrit, indépendamment de ta réponse.

Je corrigerai ou annulerai selon le cas.

 #13 - 16-04-2020 09:50:23

JP5970
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 20

Alpiniisme

Bonjour Caduk,

Même en imaginant des structures en pointes de flèche ou sapins de noël asymétriques ou des sommets biscornus passant l'un au-dessus de l'autre, voire se "spiralisant" l'un dans l'autre, ou passant par-dessus A ou O ou encore un plateau qui obligera un des deux alpinistes à s'arrêter un temps pour attendre l'autre, je ne vois pas de contre-exemple tant que les deux alpinistes peuvent toujours atteindre en même temps un point situé à un même niveau.

Il faudrait imaginer un cas où, bien que tous les points du parcours soient situés au-dessus du niveau de départ, il en existe au moins deux à des niveaux qui ne puissent être simultanément atteints par les deux alpinistes. Or il ne peut  évidemment exister qu'un seul point le plus haut au-dessus du niveau de départ.

Si on part d’une configuration à un seul sommet ABO qui fonctionne, que l’on choisisse n’importe quel point de ce parcours à partir duquel on le scinde en deux et qu’on rajoute un nouveau sommet ou un creux (supérieur au niveau AO) entre les deux parties obtenues, la nouvelle configuration fonctionne également et on peut répéter l’opération à l’infini.

Cordialement.

 #14 - 16-04-2020 11:10:54

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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Alpinime

JP5970
Spoiler : [Afficher le message] Je pense que tu n'es pas loin. Il faudrait justifier plus rigoureusement l'affirmation "la nouvelle configuration fonctionne également" au dernier paragraphe, parce qu'elle n'est pas si évidente (par exemple, si on ajoute le creux K...). Mais tu es sur une bonne piste, prend le problème à l'envers et choisis bien le creux.

 #15 - 16-04-2020 18:54:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

Alpinissme

Pour se retrouver correctement dans cette ascension, on numérote les pics et les creux de cette façon : Le n° 1 est le pic le plus bas, les n° suivants sont attribués aux pics et creux qui suivent le n° 1 tant qu’on n’atteint pas l’altitude du 1er pic de l’alpiniste en face : c’est alors celui-ci qui prend le n° suivant et tous les suivants qui n’atteignent l’altitude du 1er pic en face non numéroté. Et ainsi de suite jusqu’au pic ultime. Sur le parcours de chaque alpiniste, on repère maintenant la position des pics et creux de celui d’en face ( on peut repérer en plus s’il s’agit d’un pic ou d’un creux par un V ou un V renversé ).

Ainsi, le trajet de chaque alpiniste est déterminé par une numérotation ordonnée qu’il devra suivre à la lettre pour être sûr d’être à la même altitude que son vis à vis. Ce qui va les obliger à faire des reculs plus ou moins longs selon le profil. Il est à noter que les repères des pics et creux empruntés par l’alpiniste d’en face se trouve toujours sur la partie ascendante du propre parcours.

Il est assez évident que s’il y avait sur le parcours une altitude plus basse que l’origine, le repère sur le parcours de celui d’en face ne pourrait pas se faire, il y aurait impossibilité de poursuivre.

 #16 - 16-04-2020 23:34:00

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 398

Apinisme

nodgim
J'ai du mal à saisir ta numérotation, tu peux me donner un exemple?

 #17 - 18-04-2020 09:45:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

zlpinisme

Bon, ben une 3ème version alors. Celle-ci démontre d'ailleurs la fausseté de ma 1ère version, où je pensais à tort que, quel que soit le couple de points à même niveau de part et d'autre du sommet, on aboutissait forcément au sommet....


On numérote le parcours du 1er alpiniste par les branches successives : a1, a2, a3....jusqu'au point le plus haut du parcours, idem pour l'autre alpiniste: b1, b2, ....

Le parcours commun aux 2 est caractérisé par une succession de couples : (an-->a(n+1), bm) dont l'un des membres caractérise le passage orienté d'un pic ou d'un creux, l'autre une branche. A partir de l'origine, il n'y a aucun choix dans les couples successifs: c'est une chaîne qui se prolonge tant qu'il existe une branche en face d'un pic ou d'un creux. C'est aussi une chaîne réversible, si on décide d'orienter dans l'autre sens, on reviendra à l'origine ( les 2 alpinistes décident de faire demi-tour). La caractère réversible implique qu'il n'y a pas de boucle possible, et comme on ne peut pas boucler sur l'origine, la chaîne ne peut se terminer qu'au sommet le plus haut, la rencontre des 2 alpinistes.

Tous les couples (pic ou creux, branche) ne sont pas représentés dans cette chaîne.
En particulier, si on veut chaîner un pic d'une part avec un creux d'autre part, les 2 se chevauchant, on aboutira à une courte boucle de 4 couples. Ce qui est attendu, vu que le chaînage à partir d'un tel scénario ne peut aboutir sur la chaîne principale dont on a dit qu'elle était unique, qu'on ne pouvait pas y raccorder de chaîne extérieure.

On est parti du principe que tous les pics et creux sont à des altitudes distinctes. S'il y a des égalités, on peut toujours tricher et imposer des écarts, ce qui rejoint le réel dans le profil d'une montagne. Les égalités perturbent le chaînage parce qu'il y a un choix possible dans le cheminement. Autant lever cette incertitude et créant un écart.

Le chaînage ne peut accepter en même temps 1 pic ultime et un creux plus bas que l'origine, à un moment du chaînage on ne pourra plus faire correspondre une branche avec le creux. Toutefois, il y a au moins une exception qu'on peut noter, c'est lorsque le profil est symétrique par rapport à une verticale au centre du parcours.

 #18 - 18-04-2020 12:43:08

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

alpinusme

nodgim
Parfait, tu es sur la même idée de preuve que Imo... euh, Vasimolo.

 #19 - 18-04-2020 17:12:13

taudou
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 3

Alpinism

Bonjour,

l'énigme est-elle terminée ou bien peut-on encore proposer une réponse ?

Merci

 #20 - 18-04-2020 17:39:16

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Alpinimse

Bienvenue taudou
Ne t'inquiètes pas, il reste encore du temps, tu peux proposer ta réponse (et je peux même rajouter du temps si tu veux chercher plus longtemps). Même après la fin du temps imparti, tu peux toujours apporter ta solution si elle apporte quelque chose aux précédentes.

 #21 - 18-04-2020 22:41:41

taudou
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 3

Alpinism

Merci caduk,

j'ai choisi de nommer les deux alpinistes Guy et Yves (non par hasard mais par référence à Guy Marchand et Yves Montand ^^).

Ma proposition n'est peut-être pas la seule... et se révèle assez fastidieuse (à lire). Convention utilisée : (A-B) signifie que le point B est atteint / (A vers B) signifie que le randonneur se trouve sur la portion AB en direction du point B.

Voici les parcours conjugués des deux randonneurs qui aiment allier sport et réflexion :
   GUY    YVES
(A vers B)    (O-N)
(B vers A)    (N-M)
(A-B)    (M vers L)
(B vers C)    (L-M)
(C vers B)    (M-N)
(B-C)    (N vers O)
(C vers D)    (O-N)
(D vers C)    (N-M)
(C-D)    (M vers L)
(D vers E)    (L-M)
(E vers D)    (M-N)
(D-E)    (N vers O)
(E vers F)    (O-N)
(F vers E)    (N-M)
(E vers F)    (M-L)
(F vers E)    (L-K)
(E vers F)    (K-J)
(F-E)            (J vers I)
(E vers D)    (I vers J)
(D vers E)    (J-K)
(E-D)    (K vers L)
(D vers C)    (L-K)
(C vers D)    (K-J)
(D-C)    (J vers I)
(C-B)    (I vers J)
(B vers A)    (J-I)
(A-B)    (I vers H)
(B-C)    (H vers I)
(C-D)    (I vers H)
(D-E)    (H vers I)
(E vers F)    (I-H)
(F vers E)    (H vers G)
(E-D)    (G vers H)
(D vers C)    (H-G)
(C-D)    (G-F)
(D-E)    (F vers G)
(E-F)Salut !(G-F) Coucou !
(F vers G)    (F-E)
(G vers F)    (E-D)
(F-G)    (D vers C)
(G vers H)    (C-D)
(H vers G)    (D-E)
(G-H)    (E vers F)
(H vers I)    (F-E)
(I vers H)    (E-D)
(H vers I)    (D-C)
(I vers H)    (C-B)
(H-I)            (B vers A)
(I vers J)    (A-B)
(J vers I)    (B-C)
(I-J)            (C vers D)
(J-K)            (D vers C)
(K vers L)    (C-D)
(L-K)            (D vers E)
(K-J)            (E vers D)
(J vers I)    (D-E)
(I-J)            (E vers F)
(J-K)            (F vers E)
(K-L)            (E vers F)
(L-M)    (F vers E)
(M-N)    (E vers F)
(N vers O)    (F-E)
(O-N)    (E vers D)
(N-M)    (D vers E)
(M vers L)    (E-D)
(L-M)    (D vers C)
(M-N)    (C vers D)
(N vers O)    (D-C)
(O-N)    (C vers B)
(N-M)    (B vers C)
(M vers L)    (C-B)
(L-M)    (B vers A)
(M-N)    (A vers B)
(N-O)    (B-A)

C'était plus long à écrire qu'à imaginer... d'ailleurs j'ai hâte de voir comment de vrais "matheux" parviennent à transcrire ce même double parcours de façon plus ... lisible !

Merci pour cette énigme et bonne nuit !

 #22 - 18-04-2020 22:57:58

taudou
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 3

akpinisme

J'ai oublié de répondre à la question subsidiaire... scusate mi !

Il sera toujours possible pour les alpinistes de trouver un moyen d'arriver au sommet quel que soit le profil de la montagne sauf s'il se trouve un point pendant le parcours plus bas que l'altitude du point de départ.

... enfin c'est mon avis...

Merci et bonne nuit (bis)

 #23 - 18-04-2020 23:53:40

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Alpinime

taudou
Très bien pour le parcours, et si toute la montagne a une altitude supérieure au parcours, est ce toujours possible?

 #24 - 20-04-2020 23:40:07

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Alipnisme

Le temps est écoulé. Bravo à tous les participants, et à Nodgim pour sa solution dans le cas général. Voici la mienne, qui procède par récurrence :
On choisit le creux le plus bas (ici I). Dans les parties de part et d'autres de I, on trouve le sommet dans la moitié qui ne contient pas le sommet global (Ici, le sommet global est F, dans l'autre moitié, le sommet auxiliaire est L)
On enlève la partie sous cette altitude (on peut facilement y monter) et on renomme A' et O' les deux nouvelles extrémités.
On coupe la montagne en 2 en ce points et ont construit 3 autres montagnes (Dans ce cas, on construit trois montagnes. Une en collant A'-E' et O'-L (ou E' est à la même altitude que L sur EF)
Une en collant A'E' et IL
Une en collant AF et IF
Par hypothèse de récurrence, on peut monter ces 3 montagnes.
On peut donc aller en E'L, puis et AI (la redescente correspond aux mouvements de la montée mais inversés), puis en F.

Je met aussi la solution de Vasimolo (donnée sur l'île des mathématiques):
On construit toutes les paires possibles de points sur la montagne situés à une même altitude et tels que l'un des points au moins soit un sommet ou un creux.
On a un nombre fini de paires de points (en évacuant l'éventualité de plateau).
On construit le graphe ou les sommets sont les paires de points, et sont reliés s'ils peuvent être rejoints de manière monotone. Tout les degré de ce graphe sont pairs, exceptés les extrémités. Par le même principe que les cycles eulériens, les deux alpinistes finiront par échanger leur positions. Ils devront donc nécessairement s'être croisé au sommet.

A noter que si il n'existe jamais deux sommets ou creux à la même altitude, le graphe se résume à un simple chemin (comme dans la démonstration de nodgim). Il était de toute façon clair que le problème était le même en autorisant ou non deux sommets ou creux à la même altitude). On peut également évacuer le problème des sommets ou creux de même altitude en introduisant un ordre lexicographique sur les sommets et creux.

 #25 - 21-04-2020 09:29:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

Alpniisme

@ Caduk: j'ai un peu de mal à suivre ton découpage. Tu parles de E' ? et du collage  AF- IF, ou plutôt A'F-IF ?

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