Enigmes

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 #1 - 25-07-2016 23:49:17

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 390

Rock and Roolle

Bonjour à tous.

Vous connaissez sans doute Michel Rolle de par le théorème qui porte son nom ; il naquit en 1652, à Ambert. Monté à Paris, il se fit un nom à 30 ans en résolvant un problème qui avait été posé par Jacques Ozanam : il s'agissait de "trouver quatre nombres tels que la différence de deux quelconques soit un nombre quarré, et que la somme de deux quelconques des trois premiers (NB : c'est-à-dire les trois plus petits) soit encore un nombre quarré".

Ozanam avait imprudemment imaginé qu'une solution utiliserait des nombres ne comportant pas moins de 50 chiffres ; or, Rolle en trouva une composée de 4 nombres de 7 chiffres chacun, à savoir 1873432 ; 2288168 ; 2399057 ; 6560657. Plus généralement, il remarqua en fait que les 4 polynômes homogènes :

y^20 + 21.y^16.z^4 - 6.y^12.z^8 - 6.y^8.z^12 + 21.y^4.z^16 + z^20
10.y^2.z^18 - 24.y^6.z^14 + 60.y^10.z^10 - 24.y^14.z^6 + 10.y^18.z^2
6.y^2.z^18 + 24.y^6.z^14 - 92.y^10.z^10 + 24.y^14.z^6 + 6.y^18.z^2
y^20 + 16.y^2.z^18 + 21.y^16.z^4 - 6.y^12.z^8 - 32.y^10.z^10 - 6.y^8.z^12 + 21.y^4.z^16 + 16.y^18.z^2 + z^20

fournissent des solutions, la solution ci-dessus étant obtenue en prenant y=1 et z=2.

Rolle se permit même, dans l'article où il exposa sa solution, de se la péter sévère, clamant qu'il lui suffisait de multiplier sa solution par un carré pour en obtenir plus de 100000000000000000000 avec moins de 50 chiffres, très malin...

Votre mission, si vous l'acceptez, consiste à venger Ozanam en trouvant un quadruplet solution plus petit que celui de Rolle.

NB : je n'ai aucune idée d'où Rolle a sorti ses polynômes, si quelqu'un a un éclaircissement à proposer, je suis preneur.

Spoiler : [Afficher le message] Faute d'une idée arithmétique assez brillante pour résoudre ce problème, on peut avoir recours à un programme.



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 #2 - 26-07-2016 19:25:14

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Rock and RRolle

@shadock : je demandais ça comme ça, au cas où quelqu'un aurait une idée, ce n'est pas très important. Il n'y a pas besoin de comprendre la méthode de Rolle pour trouver une meilleure solution que lui.

 #3 - 27-07-2016 12:06:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Rock and Rlle

856350    949986    993250    2799586  smile

 #4 - 27-07-2016 14:17:03

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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tock and rolle

@gwen27 : félicitations ! Comment as-tu trouvé cette solution ?

 #5 - 27-07-2016 14:42:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Rcok and Rolle

Je suis tombé sur un livre qui répertoriait les 3 premiers triplets a b c dont les sommes et les différences était des carrés. J'ai cherché d.

150568 420968 et 434657 ne marchaient pas... avec les autres, il y avait une solution.

 #6 - 27-07-2016 15:31:56

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Rock and Roll

Bien joué. Les 3 nombres dont tu parles donnent aussi une solution, et c'est d'ailleurs la meilleure possible.

 #7 - 27-07-2016 15:52:15

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Rok and Rolle

Effectivement... avec 440012.

 #8 - 27-07-2016 16:21:26

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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rock and rille

non, pas lui, car sa différence avec le 3e nombre précédent n'est pas un carré parfait.

 #9 - 27-07-2016 16:59:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
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rock and rolme

150568 420968 et 434657 et 1006193 ?

 #10 - 27-07-2016 17:44:05

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Rock annd Rolle

Là c'est bon, bravo smile

 #11 - 27-07-2016 18:42:45

Smok2k
Habitué de Prise2Tete
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rpck and rolle

Bonsoir,

Sauf erreur, je trouve que le quadruplet (150568,420968,434657,1006193) satisfait les conditions du problème.

 #12 - 27-07-2016 18:55:26

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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rick and rolle

@Smok2k : oui, félicitations, c'est la meilleure solution possible. Comment l'as-tu trouvée ?

 #13 - 29-07-2016 00:41:23

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 390

Rock and Rolel

Ce problème est difficile. J'ai rajouté un indice, qui révèle la méthode que j'ai utilisée pour le résoudre (mais ce n'est pas la seule façon de procéder).

 #14 - 29-07-2016 15:44:46

Smok2k
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 11

rock and rolme

J'ai procédé en utilisant un petit code sur python.

J'ai d'abord considéré un problème à deux nombres dont la somme et la différence doit être un carré.
Puis à trois nombres.

J'ai pris le triplet solution le plus petit.
En considérant un quatrième nombre qui vérifie les conditions, mon programme trouve facilement ce dernier nombre.

 #15 - 01-08-2016 09:19:02

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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rock abd rolle

Merci à ceux qui ont cherché, et bravo à gwen27 et Smok2k pour avoir réussi. Comme Smok2k, j'ai eu recours à un programme pour trouver la solution ; il existe peut-être des considérations arithmétiques qui permettent de s'en sortir par une méthode plus manuelle, mais si tel est le cas, c'est probablement nettement plus difficile.

 #16 - 01-08-2016 09:33:39

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2798
Lieu: Luxembourg

rock and rolme

Curieusement, avec les trois quadruplets solutions, le plus grand nombre est toujours la somme des trois plus petits. Si ce n'est pas par hasard, je ne vois pas la logique qui y conduit.

 #17 - 01-08-2016 10:06:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Rock and Roolle

C'est somme toute assez logique puisque a+b+c moins un des termes est un carré par construction du premier triplet.

 #18 - 02-08-2016 09:32:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

rock and rolke

Vu la formule de Rolle citée dans l'énoncé, je ne me suis pas senti de taille à pouvoir seulement aborder ce problème....

 

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