Bonjour à tous.

Vous connaissez sans doute Michel Rolle de par le théorème qui porte son nom ; il naquit en 1652, à Ambert. Monté à Paris, il se fit un nom à 30 ans en résolvant un problème qui avait été posé par Jacques Ozanam : il s'agissait de "trouver quatre nombres tels que la différence de deux quelconques soit un nombre quarré, et que la somme de deux quelconques des trois premiers (NB : c'est-à-dire les trois plus petits) soit encore un nombre quarré".

Ozanam avait imprudemment imaginé qu'une solution utiliserait des nombres ne comportant pas moins de 50 chiffres ; or, Rolle en trouva une composée de 4 nombres de 7 chiffres chacun, à savoir 1873432 ; 2288168 ; 2399057 ; 6560657. Plus généralement, il remarqua en fait que les 4 polynômes homogènes :

y^20 + 21.y^16.z^4 - 6.y^12.z^8 - 6.y^8.z^12 + 21.y^4.z^16 + z^20
10.y^2.z^18 - 24.y^6.z^14 + 60.y^10.z^10 - 24.y^14.z^6 + 10.y^18.z^2
6.y^2.z^18 + 24.y^6.z^14 - 92.y^10.z^10 + 24.y^14.z^6 + 6.y^18.z^2
y^20 + 16.y^2.z^18 + 21.y^16.z^4 - 6.y^12.z^8 - 32.y^10.z^10 - 6.y^8.z^12 + 21.y^4.z^16 + 16.y^18.z^2 + z^20

fournissent des solutions, la solution ci-dessus étant obtenue en prenant y=1 et z=2.

Rolle se permit même, dans l'article où il exposa sa solution, de se la péter sévère, clamant qu'il lui suffisait de multiplier sa solution par un carré pour en obtenir plus de 100000000000000000000 avec moins de 50 chiffres, très malin...

Votre mission, si vous l'acceptez, consiste à venger Ozanam en trouvant un quadruplet solution plus petit que celui de Rolle.

NB : je n'ai aucune idée d'où Rolle a sorti ses polynômes, si quelqu'un a un éclaircissement à proposer, je suis preneur.

Spoiler : [Afficher le message] Faute d'une idée arithmétique assez brillante pour résoudre ce problème, on peut avoir recours à un programme.