 |
#1 - 18-02-2012 18:43:42
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Sracusienne fibonaccienne
Une enigme courte pour cette suite d'entiers impairs: Soient i1 et i2 premiers entre eux. pn= i(n-1)+i(n-2) pn=in*2^k avec in impair. Montrer que la suite finit toujours à 1.
Pour se consoler (un peu) de la frustation de l'irrésolue enigme de Syracuse.
Peut être trouverez vous des variantes plus pimentées ?
#2 - 18-02-2012 23:12:39
- karibou
- Habitué de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 26
syracusienne fibinaccienne
C'est quoi k ? Un entier fixé au départ? dépend t'il des premiers termes? Peut il être négatif?
En fait, on a un peu de mal à comprendre l'énoncé.
[url=http://www.deathnote-lejeu.com/?player=karibou] Death note-le jeu[/url]
#3 - 19-02-2012 09:41:44
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,361E+3
Syracusiene fibonaccienne
Il faut bien sûr que les deux entiers [latex]i_1[/latex] et [latex]i_2[/latex] soient distincts impairs et premiers entre eux . On remarque que [latex]i_{n+2}[/latex] est inférieur au [latex]Max\{i_n,i_{n+1}\}[/latex] avec égalité si et seulement si [latex]i_n=i_{n+1}[/latex] . Les valeurs vont donc décroître jusqu'à ce que [latex]i_n=i_{n+1}[/latex] . Or deux termes consécutifs de la suite sont premiers entre eux .
Vasimolo
#4 - 19-02-2012 15:05:18
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
syracusienne fivonaccienne
Je ne comprends même pas l'énoncé... Pour moi, il est impossible d'avoir deux définitions différentes du nombre [latex]p_n[/latex], du coup je rame un peu... Et j'aimerais savoir ce que vaut [latex]k[/latex]. Et, accessoirement, mets-toi au LaTeX, s'il te plait ^^ Pour ce genre de formules, c'est vraiment pas dur :
p_n = i_{n-1}+i_{n-2} --> [latex]p_n = i_{n-1}+i_{n-2}[/latex]
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#5 - 19-02-2012 19:58:17
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 20
- Messages : 1746
syracysienne fibonaccienne
J'ai rien compris à ton énoncé. C'est quoi i(n-1) et i(n-2) ? et k ? et que vient faire pn là-dedans ?
#6 - 20-02-2012 18:42:19
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
syracusiennr fibonaccienne
Quelques problèmes de lecture d'énoncé, mais je ne sais trop ce qui heurte. On a affaire à une suite, les n, n-1 et n-2 sont en indice et expriment le rang des termes de la suite.
#7 - 20-02-2012 19:43:16
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Syracusienne fibonacienne
Quelques réglages faits sur l'énoncé devraient maintenant le rendre moins abscon.
#8 - 21-02-2012 00:28:29
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,361E+3
syracusienne fibonacvienne
Il me semble que j'ai fourni une démonstration complète à la Nodgim ( un peu paresseuse ) . Je te laisse compléter les blancs ou poser les questions car pour moi c'est limpide 
Vasimolo
#9 - 21-02-2012 03:17:46
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 20
- Messages : 1746
Syracuseinne fibonaccienne
Ah, ok j'ai compris l'énoncé.
On définit la suite [latex](i_n)[/latex] par récurrence de la façon suivante :
On pose [latex]p_n = i_{n-1}+i_{n-2}[/latex]. Ce nombre s'écrit de manière unique [latex]p_n = i_n\times 2^k[/latex], avec [latex]k[/latex] un entier naturel. Ce qui définit le terme [latex]i_n[/latex]
Ca donne par exemple 5-13-9-11-5-1-3-1-1-1... Ou encore 9-13-11-3-7-5-3-1-1-1... ou encore 13-2-15-17-1-9-5-7-3-5-1-3-1-1-1...
#10 - 21-02-2012 03:21:55
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 20
- Messages : 1746
syracusienbe fibonaccienne
Notons [latex]m_n = max(i_n,i_{n-1})[/latex]
Alors déjà, par définition, remarquons que [latex]i_n[/latex] est impair pour n>2 et par conséquent :
(1) [latex]i_n \leq \frac {i_{n-1}+i_{n-2}} 2 [/latex] pour n>4.
Cela montre que [latex]i_n \leq m_{n-1}[/latex] et donc que [latex]m_n \leq m_{n-1}[/latex] pour n>4. La suite [latex](m_n)[/latex] est décroissante à partir d'un certain rang. Cette suite (à termes positifs) est donc stationnaire.
On montre par récurrence que :
(2) [latex]i_n[/latex] est premier avec [latex]i_{n-1}[/latex] pour tout n.
En effet, si [latex]i_{n-1}[/latex] est premier avec [latex]i_{n-2}[/latex], alors il existe deux entiers a et b tels que [latex]a.i_{n-1}+b.i_{n-2}=1[/latex] donc [latex](a-b).i_{n-1}+b.i_{n-1}+b.i_{n-2}=1[/latex] donc [latex](a-b)i_{n-1} + b.p_n = 1[/latex], ce qui prouve que [latex]p_n[/latex] est premier avec [latex]i_{n-1}[/latex] et a fortiori [latex]i_n[/latex] est premier avec [latex]i_{n-1}[/latex].
On déduit de (2) que :
(3) [latex]i_{n-1} \neq i_{n-2}[/latex] sauf si ces deux nombres valent 1.
De (1) et (3), on peut déduire que pour n>4 :
(4) [latex]m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow i_n < m_{n-1}[/latex].
De même, pour n>4 :
(5) [latex]m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow i_{n+1} < m_{n-1}[/latex].
En effet, soit [latex]m_n = 1[/latex] et alors [latex]i_{n+1}=1 < m_{n-1}[/latex] soit [latex]m_n \neq 1[/latex] et (4) donne [latex]i_{n+1} < m_n \leq m_{n-1}[/latex].
(4) et (5) donnent que pour n>4 :
[latex]m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow m_{n+1} < m_{n-1}[/latex].
La valeur en laquelle la suite [latex](m_n)[/latex] est stationnaire ne ne peut donc être autre que 1. Évidemment, cela prouve que la suite [latex](i_n)[/latex] est stationnaire en 1.
#11 - 21-02-2012 15:10:04
- halloduda
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 24
- Messages : 495
- Lieu: Ardèche
syracusienne fibonaccoenne
#12 - 21-02-2012 21:01:14
- mayalen
- Amateur de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 1
Syacusienne fibonaccienne
(in)=1 serie convergente selon les séries convergentes de cauchy
#13 - 22-02-2012 12:59:02
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
syracusienbe fibonaccienne
Est-ce que quelqu'un peut me dire quelles modifications ont été faites à l'énoncé pour le rendre plus clair ? Je n'y comprends toujours rien.
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#14 - 22-02-2012 13:14:33
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,361E+3
syracusienne fibonzccienne
C'est plus clair si on n'enlève le formalisme 
Pour calculer le terme suivant de la suite , on ajoute les deux précédents et on divise par 2 tant que c'est possible .
Vasimolo
#15 - 22-02-2012 18:41:03
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Syracusiennne fibonaccienne
On aurait pu écrire que pour 2 impairs consécutifs, la somme est divisible par 4. Et aussi que si les 2 nombres de départ ne sont pas premiers entre eux, le final sera le PGCD.
#16 - 22-02-2012 18:42:24
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
Syyracusienne fibonaccienne
MthS-MlndN a écrit:Est-ce que quelqu'un peut me dire quelles modifications ont été faites à l'énoncé pour le rendre plus clair ? Je n'y comprends toujours rien.
Au moins la précision "suite d'entiers impairs".
#17 - 22-02-2012 19:33:09
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,361E+3
syracusienne fibobaccienne
nodgim a écrit:On aurait pu écrire que pour 2 impairs consécutifs, la somme est divisible par 4.
C'est vrai mais inutile ici .
nodgim a écrit:Et aussi que si les 2 nombres de départ ne sont pas premiers entre eux, le final sera le PGCD.
Complètement évident en remarquant qu'à un facteur k près les suites de premiers termes [latex]k.i_1[/latex] et [latex]k.i_2[/latex] sont les mêmes que celles de premiers termes [latex]i_1[/latex] et [latex]i_2[/latex] 
Vasimolo
#18 - 22-02-2012 19:49:26
- L00ping007
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 2010
- Lieu: Paris
Syraucsienne fibonaccienne
J'avais commencé à réfléchir sur le premier énoncé, qui faisait partir d'un nombre [latex]i_1[/latex] impair, puis d'un nombre [latex]i_2[/latex] pair, les 2 étant premiers entre eux (je ne me souviens plus si cette condition était présente) [latex]i_3[/latex] et [latex]i_4[/latex] vérifient alors la propriété : être impairs et premiers entre eux. Donc à part gagner 2 termes, le problème n'a pas changé. Peut-être plus facile à appréhender (la mise en page mise à part ). Mais ça ne m'a pas empêché de ne pas parvenir à démontrer ce que j'avais reniflé intuitivement 
#19 - 22-02-2012 19:53:46
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,361E+3
Syracusienne ifbonaccienne
Sur le fil il y a quand même des démonstrations complètes du résultat , mais comme personne n'en parle ...
C'est en effet assez simple 
Vasimolo
#20 - 22-02-2012 19:56:53
- L00ping007
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 2010
- Lieu: Paris
syracusiznne fibonaccienne
Celle de titoufred notamment, la tienne en étant un parfait résumé clair et précis 
Mots clés des moteurs de recherche
|
 |
Prise2Tete
Forum
Statistiques
Liste des membres
Hall of Fame
Contact
|