Enigmes

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 #1 - 18-02-2012 18:43:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

syracuqienne fibonaccienne

Une enigme courte pour cette suite d'entiers impairs:
Soient i1 et i2 premiers entre eux.
pn= i(n-1)+i(n-2)
pn=in*2^k avec in impair.
Montrer que la suite finit toujours à 1.

Pour se consoler (un peu) de la frustation de l'irrésolue enigme de Syracuse.

Peut être trouverez vous des variantes plus pimentées ?



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 #2 - 18-02-2012 23:12:39

karibou
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 26

stracusienne fibonaccienne

C'est quoi k ?  Un entier fixé au départ? dépend t'il des premiers termes? Peut il être négatif?

En fait, on a un peu de mal à comprendre l'énoncé.


[url=http://www.deathnote-lejeu.com/?player=karibou] Death note-le jeu[/url]

 #3 - 19-02-2012 09:41:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

syracusiznne fibonaccienne

Il faut bien sûr que les deux entiers [latex]i_1[/latex] et [latex]i_2[/latex] soient distincts impairs et premiers entre eux . On remarque que [latex]i_{n+2}[/latex] est inférieur au [latex]Max\{i_n,i_{n+1}\}[/latex] avec égalité si et seulement si [latex]i_n=i_{n+1}[/latex] . Les valeurs vont donc décroître jusqu'à ce que [latex]i_n=i_{n+1}[/latex] . Or deux termes consécutifs de la suite sont premiers entre eux .

Vasimolo

 #4 - 19-02-2012 15:05:18

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

syracusoenne fibonaccienne

Je ne comprends même pas l'énoncé... Pour moi, il est impossible d'avoir deux définitions différentes du nombre [latex]p_n[/latex], du coup je rame un peu... Et j'aimerais savoir ce que vaut [latex]k[/latex]. Et, accessoirement, mets-toi au LaTeX, s'il te plait ^^ Pour ce genre de formules, c'est vraiment pas dur :

p_n = i_{n-1}+i_{n-2} --> [latex]p_n = i_{n-1}+i_{n-2}[/latex]


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 19-02-2012 19:58:17

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

syracusiennz fibonaccienne

J'ai rien compris à ton énoncé. C'est quoi i(n-1) et i(n-2) ? et k ? et que vient faire pn là-dedans ?

 #6 - 20-02-2012 18:42:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

syracusienne finonaccienne

Quelques problèmes de lecture d'énoncé, mais je ne sais trop ce qui heurte. On a affaire à une suite, les n, n-1 et n-2 sont en indice et expriment le rang des termes de la suite.

 #7 - 20-02-2012 19:43:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

syracusienne gibonaccienne

Quelques réglages faits sur l'énoncé devraient maintenant le rendre moins abscon.

 #8 - 21-02-2012 00:28:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Syracusienne fibonaccieenne

Il me semble que j'ai fourni une démonstration complète à la Nodgim ( un peu paresseuse ) . Je te laisse compléter les blancs ou poser les questions car pour moi c'est limpide smile

Vasimolo

 #9 - 21-02-2012 03:17:46

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Syrausienne fibonaccienne

Ah, ok j'ai compris l'énoncé.

On définit la suite [latex](i_n)[/latex] par récurrence de la façon suivante :

On pose [latex]p_n = i_{n-1}+i_{n-2}[/latex]. Ce nombre s'écrit de manière unique [latex]p_n = i_n\times 2^k[/latex], avec [latex]k[/latex] un entier naturel. Ce qui définit le terme [latex]i_n[/latex]

Ca donne par exemple 5-13-9-11-5-1-3-1-1-1...
Ou encore 9-13-11-3-7-5-3-1-1-1...
ou encore 13-2-15-17-1-9-5-7-3-5-1-3-1-1-1...

 #10 - 21-02-2012 03:21:55

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

syracusienne fibonaxcienne

Notons [latex]m_n = max(i_n,i_{n-1})[/latex]

Alors déjà, par définition, remarquons que [latex]i_n[/latex] est impair pour n>2 et par conséquent :

(1) [latex]i_n \leq \frac {i_{n-1}+i_{n-2}} 2 [/latex] pour n>4.

Cela montre que [latex]i_n \leq m_{n-1}[/latex] et donc que [latex]m_n \leq m_{n-1}[/latex] pour n>4. La suite [latex](m_n)[/latex] est décroissante à partir d'un certain rang. Cette suite (à termes positifs) est donc stationnaire.

On montre par récurrence que :

(2) [latex]i_n[/latex] est premier avec [latex]i_{n-1}[/latex] pour tout n.

En effet, si [latex]i_{n-1}[/latex] est premier avec [latex]i_{n-2}[/latex], alors il existe deux entiers a et b tels que [latex]a.i_{n-1}+b.i_{n-2}=1[/latex] donc [latex](a-b).i_{n-1}+b.i_{n-1}+b.i_{n-2}=1[/latex] donc [latex](a-b)i_{n-1} + b.p_n = 1[/latex], ce qui prouve que [latex]p_n[/latex] est premier avec [latex]i_{n-1}[/latex] et a fortiori [latex]i_n[/latex] est premier avec [latex]i_{n-1}[/latex].

On déduit de (2) que :

(3) [latex]i_{n-1} \neq i_{n-2}[/latex] sauf si ces deux nombres valent 1.

De (1) et (3), on peut déduire que pour n>4 :

(4) [latex]m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow i_n < m_{n-1}[/latex].

De même, pour n>4 :

(5) [latex]m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow i_{n+1} < m_{n-1}[/latex].

En effet, soit [latex]m_n = 1[/latex] et alors [latex]i_{n+1}=1 < m_{n-1}[/latex]
soit [latex]m_n \neq 1[/latex] et (4) donne [latex]i_{n+1} < m_n \leq m_{n-1}[/latex].

(4) et (5) donnent que  pour n>4 :

[latex]m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow m_{n+1} < m_{n-1}[/latex].

La valeur en laquelle la suite [latex](m_n)[/latex] est stationnaire ne ne peut donc être autre que 1.

Évidemment, cela prouve que la suite [latex](i_n)[/latex] est stationnaire en 1.

 #11 - 21-02-2012 15:10:04

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Ardèche

Syracusiennne fibonaccienne

rien compris à l'énoncé

 #12 - 21-02-2012 21:01:14

mayalen
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 1

syracusienne fibonacciebne

(in)=1 serie convergente selon les séries convergentes de cauchy

 #13 - 22-02-2012 12:59:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Syracusienne ffibonaccienne

Est-ce que quelqu'un peut me dire quelles modifications ont été faites à l'énoncé pour le rendre plus clair ? Je n'y comprends toujours rien.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 22-02-2012 13:14:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Syracusenne fibonaccienne

C'est plus clair si on n'enlève le formalisme smile

Pour calculer le terme suivant de la suite , on ajoute les deux précédents et on divise par 2 tant que c'est possible .

Vasimolo

 #15 - 22-02-2012 18:41:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

syracusienne fibonacciennz

On aurait pu écrire que pour 2 impairs consécutifs, la somme est divisible par 4.
Et aussi que si les 2 nombres de départ ne sont pas premiers entre eux, le final sera le PGCD.

 #16 - 22-02-2012 18:42:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Syracusienne fibonacicenne

MthS-MlndN a écrit:

Est-ce que quelqu'un peut me dire quelles modifications ont été faites à l'énoncé pour le rendre plus clair ? Je n'y comprends toujours rien.

Au moins la précision "suite d'entiers impairs".

 #17 - 22-02-2012 19:33:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Syracusienne fibnoaccienne

nodgim a écrit:

On aurait pu écrire que pour 2 impairs consécutifs, la somme est divisible par 4.

C'est vrai mais inutile ici .

nodgim a écrit:

Et aussi que si les 2 nombres de départ ne sont pas premiers entre eux, le final sera le PGCD.

Complètement évident en remarquant qu'à un facteur k près les suites de premiers termes [latex]k.i_1[/latex] et [latex]k.i_2[/latex] sont les mêmes que celles de premiers termes [latex]i_1[/latex] et [latex]i_2[/latex] smile

Vasimolo

 #18 - 22-02-2012 19:49:26

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Syracusenne fibonaccienne

J'avais commencé à réfléchir sur le premier énoncé, qui faisait partir d'un nombre [latex]i_1[/latex] impair, puis d'un nombre [latex]i_2[/latex] pair, les 2 étant premiers entre eux (je ne me souviens plus si cette condition était présente)
[latex]i_3[/latex] et [latex]i_4[/latex] vérifient alors la propriété : être impairs et premiers entre eux.
Donc à part gagner 2 termes, le problème n'a pas changé. Peut-être plus facile à appréhender (la mise en page mise à part lol). Mais ça ne m'a pas empêché de ne pas parvenir à démontrer ce que j'avais reniflé intuitivement big_smile

 #19 - 22-02-2012 19:53:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

syracusoenne fibonaccienne

Sur le fil il y a quand même des démonstrations complètes du résultat , mais comme personne n'en parle ...

C'est en effet assez simple smile

Vasimolo

 #20 - 22-02-2012 19:56:53

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

syeacusienne fibonaccienne

Celle de titoufred notamment, la tienne en étant un parfait résumé clair et précis big_smile

 

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