C'est quoi k ?  Un entier fixé au départ? dépend t'il des premiers termes? Peut il être négatif?

En fait, on a un peu de mal à comprendre l'énoncé.

Je ne comprends même pas l'énoncé... Pour moi, il est impossible d'avoir deux définitions différentes du nombre [latex]p_n[/latex], du coup je rame un peu... Et j'aimerais savoir ce que vaut [latex]k[/latex]. Et, accessoirement, mets-toi au LaTeX, s'il te plait ^^ Pour ce genre de formules, c'est vraiment pas dur :

p_n = i_{n-1}+i_{n-2} --> [latex]p_n = i_{n-1}+i_{n-2}[/latex]

Quelques problèmes de lecture d'énoncé, mais je ne sais trop ce qui heurte. On a affaire à une suite, les n, n-1 et n-2 sont en indice et expriment le rang des termes de la suite.

Il me semble que j'ai fourni une démonstration complète à la Nodgim ( un peu paresseuse ) . Je te laisse compléter les blancs ou poser les questions car pour moi c'est limpide

Vasimolo

Notons [latex]m_n = max(i_n,i_{n-1})[/latex]

Alors déjà, par définition, remarquons que [latex]i_n[/latex] est impair pour n>2 et par conséquent :

(1) [latex]i_n \leq \frac {i_{n-1}+i_{n-2}} 2 [/latex] pour n>4.

Cela montre que [latex]i_n \leq m_{n-1}[/latex] et donc que [latex]m_n \leq m_{n-1}[/latex] pour n>4. La suite [latex](m_n)[/latex] est décroissante à partir d'un certain rang. Cette suite (à termes positifs) est donc stationnaire.

On montre par récurrence que :

(2) [latex]i_n[/latex] est premier avec [latex]i_{n-1}[/latex] pour tout n.

En effet, si [latex]i_{n-1}[/latex] est premier avec [latex]i_{n-2}[/latex], alors il existe deux entiers a et b tels que [latex]a.i_{n-1}+b.i_{n-2}=1[/latex] donc [latex](a-b).i_{n-1}+b.i_{n-1}+b.i_{n-2}=1[/latex] donc [latex](a-b)i_{n-1} + b.p_n = 1[/latex], ce qui prouve que [latex]p_n[/latex] est premier avec [latex]i_{n-1}[/latex] et a fortiori [latex]i_n[/latex] est premier avec [latex]i_{n-1}[/latex].

On déduit de (2) que :

(3) [latex]i_{n-1} \neq i_{n-2}[/latex] sauf si ces deux nombres valent 1.

De (1) et (3), on peut déduire que pour n>4 :

(4) [latex]m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow i_n < m_{n-1}[/latex].

De même, pour n>4 :

(5) [latex]m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow i_{n+1} < m_{n-1}[/latex].

En effet, soit [latex]m_n = 1[/latex] et alors [latex]i_{n+1}=1 < m_{n-1}[/latex]
soit [latex]m_n \neq 1[/latex] et (4) donne [latex]i_{n+1} < m_n \leq m_{n-1}[/latex].

(4) et (5) donnent que  pour n>4 :

[latex]m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow m_{n+1} < m_{n-1}[/latex].

La valeur en laquelle la suite [latex](m_n)[/latex] est stationnaire ne ne peut donc être autre que 1.

Évidemment, cela prouve que la suite [latex](i_n)[/latex] est stationnaire en 1.

(in)=1 serie convergente selon les séries convergentes de cauchy

C'est plus clair si on n'enlève le formalisme

Pour calculer le terme suivant de la suite , on ajoute les deux précédents et on divise par 2 tant que c'est possible .

Vasimolo

MthS-MlndN a écrit:

Est-ce que quelqu'un peut me dire quelles modifications ont été faites à l'énoncé pour le rendre plus clair ? Je n'y comprends toujours rien.

Au moins la précision "suite d'entiers impairs".

J'avais commencé à réfléchir sur le premier énoncé, qui faisait partir d'un nombre [latex]i_1[/latex] impair, puis d'un nombre [latex]i_2[/latex] pair, les 2 étant premiers entre eux (je ne me souviens plus si cette condition était présente)
[latex]i_3[/latex] et [latex]i_4[/latex] vérifient alors la propriété : être impairs et premiers entre eux.
Donc à part gagner 2 termes, le problème n'a pas changé. Peut-être plus facile à appréhender (la mise en page mise à part ). Mais ça ne m'a pas empêché de ne pas parvenir à démontrer ce que j'avais reniflé intuitivement

Celle de titoufred notamment, la tienne en étant un parfait résumé clair et précis