C'est quoi k ?  Un entier fixé au départ? dépend t'il des premiers termes? Peut il être négatif?

En fait, on a un peu de mal à comprendre l'énoncé.

Je ne comprends même pas l'énoncé... Pour moi, il est impossible d'avoir deux définitions différentes du nombre $p_n$, du coup je rame un peu... Et j'aimerais savoir ce que vaut $k$. Et, accessoirement, mets-toi au LaTeX, s'il te plait ^^ Pour ce genre de formules, c'est vraiment pas dur :

p_n = i_{n-1}+i_{n-2} --> $p_n = i_{n-1}+i_{n-2}$

Quelques problèmes de lecture d'énoncé, mais je ne sais trop ce qui heurte. On a affaire à une suite, les n, n-1 et n-2 sont en indice et expriment le rang des termes de la suite.

Il me semble que j'ai fourni une démonstration complète à la Nodgim ( un peu paresseuse ) . Je te laisse compléter les blancs ou poser les questions car pour moi c'est limpide

Vasimolo

Notons $m_n = max(i_n,i_{n-1})$

Alors déjà, par définition, remarquons que $i_n$ est impair pour n>2 et par conséquent :

(1) $i_n \leq \frac {i_{n-1}+i_{n-2}} 2$ pour n>4.

Cela montre que $i_n \leq m_{n-1}$ et donc que $m_n \leq m_{n-1}$ pour n>4. La suite $(m_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang. Cette suite (à termes positifs) est donc stationnaire.

On montre par récurrence que :

(2) $i_n$ est premier avec $i_{n-1}$ pour tout n.

En effet, si $i_{n-1}$ est premier avec $i_{n-2}$, alors il existe deux entiers a et b tels que $a.i_{n-1}+b.i_{n-2}=1$ donc $(a-b).i_{n-1}+b.i_{n-1}+b.i_{n-2}=1$ donc $(a-b)i_{n-1} + b.p_n = 1$, ce qui prouve que $p_n$ est premier avec $i_{n-1}$ et a fortiori $i_n$ est premier avec $i_{n-1}$.

On déduit de (2) que :

(3) $i_{n-1} \neq i_{n-2}$ sauf si ces deux nombres valent 1.

De (1) et (3), on peut déduire que pour n>4 :

(4) $m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow i_n < m_{n-1}$.

De même, pour n>4 :

(5) $m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow i_{n+1} < m_{n-1}$.

En effet, soit $m_n = 1$ et alors $i_{n+1}=1 < m_{n-1}$
soit $m_n \neq 1$ et (4) donne $i_{n+1} < m_n \leq m_{n-1}$.

(4) et (5) donnent que  pour n>4 :

$m_{n-1} \neq 1 \Rightarrow m_{n+1} < m_{n-1}$.

La valeur en laquelle la suite $(m_n)$ est stationnaire ne ne peut donc être autre que 1.

Évidemment, cela prouve que la suite $(i_n)$ est stationnaire en 1.

(in)=1 serie convergente selon les séries convergentes de cauchy

C'est plus clair si on n'enlève le formalisme

Pour calculer le terme suivant de la suite , on ajoute les deux précédents et on divise par 2 tant que c'est possible .

Vasimolo

MthS-MlndN a écrit:

Est-ce que quelqu'un peut me dire quelles modifications ont été faites à l'énoncé pour le rendre plus clair ? Je n'y comprends toujours rien.

Au moins la précision "suite d'entiers impairs".

J'avais commencé à réfléchir sur le premier énoncé, qui faisait partir d'un nombre $i_1$ impair, puis d'un nombre $i_2$ pair, les 2 étant premiers entre eux (je ne me souviens plus si cette condition était présente)
$i_3$ et $i_4$ vérifient alors la propriété : être impairs et premiers entre eux.
Donc à part gagner 2 termes, le problème n'a pas changé. Peut-être plus facile à appréhender (la mise en page mise à part ). Mais ça ne m'a pas empêché de ne pas parvenir à démontrer ce que j'avais reniflé intuitivement

Celle de titoufred notamment, la tienne en étant un parfait résumé clair et précis