Est-ce vraiment volontaire de parler dans le titre de "Surface de contact", alors que la question qui suit parle de "longueur" ???

Tu ne précises pas non plus dans quel espace se situent tes polygones... Serait-ce dans un espace galiléen à deux dimensions ?

Spoiler : ? Si ce n'est pas le cas, je pense qu'il est facile de trouver un exemple pour lequel la longueur d'un coté commun peut tendre vers le périmètre. Je ne crois pas qu'il soit nécessaire de faire un dessin .

Salut Caduk,
Désolé, je n'ai pas compris " Coller l'un contre l'autre.." et " superposable par translation".

Bonjour Caduk,

On pourrait tendre vers 100% dans le cas d’une rotation (peigne avec rotation de 180°) ou d’un ‘polygone’ non connexe (juste les dents du peigne).

Mais je pense que la longueur de contact ne peut excéder 50% du périmètre dans le cas d’une translation de polygones connexes.


P est le polygone, L(P) la longueur de son périmètre, A et B ses deux instances dans le plan. A subit une translation par rapport à B. Ils ont une partie de leur périmètre en contact commun : cA et cB. L(cA))=L(cB). Ils ont aussi une partie de périmètre qui n’est pas en contact : nA et nB. L(nA) = L(nB) et L(cA)+L(nA)=L(P)
Remarque : le c de A et le c de B désigne les zones de contact respectives. Ça ne veut pas dire évidement qu’il s’agit de la même partie du périmètre de P instanciée sur A et B…

Tant que L(cA)<0,5L(P), la partie c de A peut correspondre à la partie n de B. Facile.
Dès que L(cA)>0,5L(P), L(cA)>L(nA) donc L(cA)>L(nB). Une partie de c sur A est aussi une partie de c sur B.
On peut donc trouver un ‘morceau de surface’ m de P, dont une partie du périmètre soit sur le périmètre de P, et dont l’instanciation sur A appartienne à cA ET l’instanciation sur B appartienne à cB. Et dans ce cas, on peut montrer que P ne peut être connexe.
Plutôt que de faire un long discours incompréhensible (sujet à nombreuses questions, cf précédent pb 😊), je tente un schéma.

En fait pas tellement de variantes. Tout chemin restant dans un demi-plan par rapport à l'axe m1-B -> m1-A et plus long que le vecteur de translation A->B est interdit, sinon croisement (théorème des valeurs intermédiaires).

Pour le chemin (m1-m2)B, on croise nécessairement entre m1-B et m2-B pour éviter ça. Les deux parties de chemin situées chacune dans un des demi-plans sont alors plus courtes que le vecteur de translation. Mais on interdit de fait tout chemin qui croise entre les pièces entre m3-A et m2-A : il croiserait (m1-m2)B ou (m1-m2)A.

Le chemin (m3-m2)A doit donc être soit direct, soit passer par l'extérieur d'une des deux pièces m3-A ou m2-A. Dans les deux cas,une partie de ce chemin dans un des demi-plans sera plus long que le vecteur A->B. Il se croisera donc obligatoirement avec (m3-m2)B.

Toufau
Spoiler : [Afficher le message] J'ai un peu de mal à suivre le raisonnement, je ne dit pas que c'est faux mais il faut que je regarde à tête reposée. Ton premier argument, même s'il me parait juste, me parait étrangement présenté. On peut très bien avoir le trait plus long que le vecteur A->B, sans que ça ne pose de problème pour le chemin (m1-m2)B (il faut tout de même passer entre les deux, ce qui me dit que ton argument est pas loin d'être juste. J'essaye de revenir plus tard pour comprendre mieux. 

Vasimolo
Spoiler : [Afficher le message] Désolé, je ne comprend vraiment pas ce que tu entends par étirer à périmètre constant, et je ne vois pas comment en étirant ta figure, tu obtiens un rectangle u un triangle. Où se situe l'utilisation de la connexité dans ton raisonnement?

Non en fait mon idée ne marche pas à cause des rigidités aux points de contacts des deux polygones . Mais je me suis compliqué la vie pour rien

Dans le polygone initial on retrouve deux fois la partie commune . En effet si on translate la partie commute par le vecteur opposé on reste dans la frontière du polygone et il n'y a pas d'intersection entre les deux parties .

Vasimolo

nodgim
Spoiler : [Afficher le message] Si par colimacon, tu entends une spirale, et que tu en imbrique deux l'une dans l'autre, alors oui, elle sont superposables, mais pas par translation (on est obligé de tourner la copie pour l'imbriquer dans l'autre, et on ne veut pas de rotation
Vasimolo
Spoiler : [Afficher le message] Je ne suis pas tout à fait sûr de comprendre ta nouvelle démo, mais si c'est bien ce que je comprend, ça ne marche pas. Demande toi si tu as utilisé la connexité, je ne  la vois pas dans ta démo (Ou alors j'ai vraiment rien compris...
Megatest
Spoiler : [Afficher le message] C'est la bonne idée de démonstration, mais il faudrait justifier pourquoi elles ne se croisent pas. Ce n'est pas si évident (en tout cas pas pour moi)

nodgim
Spoiler : [Afficher le message]
Ok, tu as enfin compris l'énoncé
Pourquoi les longueurs communes 1-2 et 2-3 sont indépendantes, ce n'est pas évident. Par exemple, c'est faux si on n'impose pas la connexité (je te laisse trouver un contre-exemple)


Je rajoute du temps

Vasimolo
J'ai rajouté du temps

Voilà une autre illustration peut-être un peu plus parlante :



Le code couleur est le suivant :

Bleu = Gauche
Vert = Droite
Rouge = Commun
Noir = Rien du tout

La ligne G2 reste clairement à droite de la ligne D1 et on retrouve les segments rouges à la fois dans G1 et D1 .

Vasimolo

J'avais fait un peu différemment: j'avais dessiné la ligne de contact ( continue ou pas, pas forcément polygonale, mais courbe libre) et reproduit cette ligne sur un calque. Par translation, j'avais déduit que les 2 lignes ne pouvaient pas se croiser sans couper en 2 la pièce.