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 #1 - 17-12-2017 19:25:29

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 675

un jeu avrc un dé

Bonjour à tous,

voici un petit problème de probabilités sur lequel je suis tombé. Il peut se résoudre rapidement si on a la bonne approche.

On joue au jeu suivant : on commence avec 0 point. À chaque tour, on lance un dé, et on ajoute à notre total de points le carré du nombre obtenu avec le dé. Le jeu s'arrête dès lors qu'on atteint ou dépasse 100 points.

Exemple de partie :
Dé = 5 --- 25 points
Dé = 3 --- 34 points
Dé = 1 --- 35 points
Dé = 3 --- 44 points
Dé = 6 --- 80 points
Dé = 4 --- 96 points
Dé = 4 --- 112 points
Et la partie est terminée en 7 tours.

Déterminer l'espérance du nombre de tours dans une partie.

La case réponse valide un nombre du type a,bcdef arrondi au plus proche à 5 chiffres après la virgule.



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 #2 - 18-12-2017 13:18:41

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1558

Un jeu avec u dé

La réponse est 7,38786, trouvée en remontant depuis un résultat attendu de 1 jusqu'à 100.
On a [latex]E_N = 1 + \sum_{i=1}^6{\frac{E_{N-i^2}}{6}}[/latex] ,avec [latex]E_N=0[/latex] pour tout [latex]N<=0[/latex]

 #3 - 18-12-2017 15:38:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3419

un jeu acec un dé

J'ai la bonne réponse à 7,38786, mais avec usage d'un tableur avec 1 colonne et 100 lignes.

 #4 - 18-12-2017 16:52:20

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 675

Un jeu avec un d

@scarta : tout à fait smile

@nodgim #4 : c'est selon ce principe que scarta et moi-même avons procédé, tu n'as pas de scrupule à avoir cool

 #5 - 18-12-2017 17:12:46

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2862
Lieu: Luxembourg

Un jeu aavec un dé

C'est surement un nombre compris entre 3 (avec que des 6) et 100 (avec que des 1) qu'il faut affiner à coups de probas. sad

 #6 - 18-12-2017 17:29:00

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 675

un jey avec un dé

@Franky1103 : pour l'instant c'est correct smile

 #7 - 18-12-2017 18:41:59

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 480

Un jeu aavec un dé

Bonjour,
Voici un script en python3 qui calcule cette espérance (résultat en moins d'une seconde).
On part d'une somme nulle, obtenue en 0 coup avec une probabilité de 1.
On calcule de proche en proche, pour des sommes croissantes :
1) On part d'une somme, dont on connaît les différents nombres de coups nécessaires pour l'atteindre, avec leurs probabilités respectives.
2) On met à jour les sommes pouvant être atteintes au coup suivant (nombre de coups et probabilités).

Code:

#!/usr/bin/env python3
from fractions import Fraction as F
from sys import argv

k=0
k+=1;N=int(argv[k])  # Nombre de faces du dé
k+=1;S=int(argv[k])  # Somme à atteindre

tab={0:{0:1}}
delta=[]
for d in range(1,N+1): delta.append((d*d,F(1,N)))
for s0 in range(S):
   if s0>=S: break
   for nc0 in tab[s0]:
      p0=tab[s0][nc0]
      nc=nc0+1;
      for d in range(N):
         ds,mp=delta[d]
         s=s0+ds; p=p0*mp
         s=min(s,S)
         if s not in tab: tab[s]={}
         if nc not in tab[s]: tab[s][nc]=0
         tab[s][nc]+=p

nt=0
for nc in tab[S]: nt+=nc*tab[S][nc]
#print(tab[S])
print("Espérance du nombre de coups pour atteindre %d avec un dé à %d faces\n%s\n= %.21f"%(S,N,nt,nt))

Donner en paramètres le nombre de faces du dé et la somme à atteindre :

Code:

./calcul.py 6 100

Résultat :

Code:

Espérance du nombre de coups pour atteindre 100 avec un dé à 6 faces
804438178239841280091992776871368647186937921257913759274023361938581699268387/108886437250011817682781711193009636756190618412159145257178661061582856912896
= 7.387863893395538283926

 #8 - 18-12-2017 19:11:46

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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U jeu avec un dé

@enigmatus : très joli programme ! Mais c'est prendre un marteau pour écraser une mouche, il y avait moyen de s'en tirer à moindre frais. Au début je raisonnais comme toi, et comme j'ai eu la flemme de programmer ça, j'ai trouvé une autre méthode wink

 #9 - 19-12-2017 08:01:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Un jeu ave un dé

Une observation curieuse, en rapport avec un 1er message que j'avais effacé :

Le nombre de points moyen pour 1 lancé est m= 91/6.

Pour atteindre n points, il faut environ (n+12)/m lancés.
(n+12)/m converge vers le vrai résultat quand n grandit.

Etonnant, non ?

 #10 - 19-12-2017 08:19:34

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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un jeu zvec un dé

@nodgim : oui, j'avais vu ton message effacé, et il m'avait conduit à la même observation ! J'arrive à le démontrer avec des suites récurrentes linéaires, mais c'est un peu casse-pieds à écrire ; je peux le faire si ça t'intéresse. La partie en n/m est logique, elle se comprend bien intuitivement en terme de "coût d'un point supplémentaire".

 #11 - 19-12-2017 11:09:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un jzu avec un dé

Bon, si c'est un peu compliqué, je risque de ne pas tout suivre. Mais tu arrives vraiment à justifer le 12 ?

 #12 - 19-12-2017 14:03:20

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Messages : 675

Un jjeu avec un dé

@nodgim : je te réponds en privé pour ne pas spoiler.

 #13 - 20-12-2017 17:02:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,769E+3

U njeu avec un dé

On calcule rapidement avec un tableur le nombre de solutions à chaque tour, comme une simple suite avec :

S(n) au tour k = S(n-1) +  S(n-4) +  S(n-9) +  S(n-16) +  S(n-25) +  S(n-36) au tour k-1,
pour n allant de 1 à 135. ( On omet les second termes pour n>99.)

On compte les parties gagnantes à chaque tour, on les multiplie par 6^(100-k) ce qui permet de comptabiliser toutes les parties possibles. (6^100) en 100 coups même si on arrête le compte avant en pratique.

La moyenne obtenue en quelques instants avec un tableur est de 7,3878638934.... peu sûre avec 15 chiffres vu les limites d'excell mais fiable à 5 chiffres après la virgule.

 #14 - 20-12-2017 18:37:58

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Messages : 675

un jeu abec un dé

@gwen27 : TB smile

 #15 - 20-12-2017 21:52:03

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Messages : 675

un jeu avrc un dé

Merci et félicitations aux participants qui ont tous trouvé la solution.

nodgim s'est intéressé à l'évolution de ce nombre lorsqu'on remplace 100 par un nombre de points de plus en plus grand. On peut alors observer le résultat suivant avec un tableur :

Le nombre de points moyen pour 1 lancé est m= 91/6.

Pour atteindre n points, il faut environ (n+12)/m lancés.

Je vous livre ci-dessous une explication du phénomène.

Initialement, on étudie une suite U(n) telle que U(n)=1+(U(n-1)+U(n-4)+U(n-9)+U(n-16)+U(n-25)+U(n-36))/6, avec U(n)=0 si n<=0.

Par translation, en posant V(n)=U(n)-(6/91)n pour tout n, on se débarrasse du 1 : V(n)=(V(n-1)+V(n-4)+V(n-9)+V(n-16)+V(n-25)+V(n-36))/6. Ceci nécessite tout de même de mettre les termes d'indice négatif à jour : on a alors V(n)=-(6/91)n si n<=0. Remarquons que la suite V(n) a la particularité que chaque nouveau terme est obtenu en faisant une moyenne de 6 termes antérieurs.

Ensuite on remarque que la quantité Q(n)=6*V(n-1)+5*[V(n-2)+V(n-3)+V(n-4)]+4*[V(n-5)+...+V(n-9)]+3*[V(n-10)+...+V(n-16)]+2*[V(n-17)+...+V(n-25)]+1*[V(n-26)+...+V(n-36)] est constante quand n varie (il suffit de calculer Q(n+1)-Q(n)).

On en déduit, par passage à la limite, que la limite L de V(n) doit vérifier que 6L+5[L+L+L]+... soit 91L (ce qui permet d'observer l'égalité 1²+2²+3²+4²+5²+6² = 6*1 + 5*3 + 4*5 + 3*7 + 2*9 + 1*11 qui se généralise pour tout n, mais je digresse), bref que 91L = 6*V(0)+5*[V(-1)+V(-2)+V(-3)]+... = 6*0 + 5*[6/91+12/91+18/91] + 4*[24/91+...] + ... = 72 d'où L = 72/91 = 12/(91/6).

 #16 - 21-12-2017 11:00:55

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Un jeu ave un dé

Q(n) est constant mais aucun des V(n).

C'est bien ça. Je précise un peu le propos.

On cherche à démontrer que U(n)=6n/91+72/91+o(1), ce qui équivaut à démontrer que la limite de V(n) est 72/91. On pose donc L=lim V(n), et on cherche à démontrer que L=72/91.

Q(n) est constante, donc lim Q(n) = Q(0).

Or lim Q(n) = lim 6*V(n-1)+5*[V(n-2)+V(n-3)+V(n-4)]+... = 6L+5[L+L+L]+... = 91 L

et Q(0) = 6*V(0)+5*[V(-1)+V(-2)+V(-3)]+... = 6*0 + 5*[6/91+12/91+18/91] + 4*[24/91+...] + ... = 72

D'où 91 L = 72 et L = 72/91, cqfd. Est-ce plus clair ?

 #17 - 21-12-2017 11:32:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un jeu avec un fé

Euh oui, j'ai refait les calculs pour bien comprendre, indépendamment de la réponse que tu viens de faire, je confondais en fait vn et un, avec bien sûr "un" croissant, ça ne marchait pas...

C'est très clair maintenant dans ma tête.

Je n'ai pas encore compris comment tu as pû extirper cette démo, avec le peu d'éléments en main. Heureusement que tu disais que tu ne connaissais pas bien les suites linéaires, avec cette démo, on aurait pu croire le contraire.... Il y a quand même un minimum de culture math sup.sous-jacent à la clé. Tu as quel niveau d'étude ?

En tout cas bravo pour la brillante démo ! Qu'on peut généraliser sans mal avec un dé à n faces.

 #18 - 21-12-2017 13:15:32

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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in jeu avec un dé

Je ne connaissais guère plus que le nom "suites récurrentes linéaires". Alors je suis allé voir la page de wikipedia sur le sujet, puis le wikipedia anglais. Comme ça ne suffisait pas, j'ai fait une recherche google qui m'a orienté vers ce document où j'ai pioché l'idée (voir "deuxième méthode" (1)) :

www.ai.univ-paris8.fr/~audibert/ens/12b-annexeSUITEMOY

Après, il est vrai que j'ai une solide formation mathématique, disons que je n'ai pas de HDR...

 #19 - 21-12-2017 15:50:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un jeu acec un dé

pfff....

Ta remarque laisse penser que tu es un pro en Math, dans la catégorie  recherche ?  Du genre Post doc ?

 #20 - 21-12-2017 18:54:04

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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nU jeu avec un dé

J'ai un doctorat (en même temps, les frères Bogdanoff aussi...) mais je n'ai pas continué dans la recherche. Je suis prof en lycée. Et toi ? Je sais au moins que tu as ton bac smile

 #21 - 22-12-2017 08:04:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Un jeu aveec un dé

Un bac C, guère davantage. Pour les classes prépa, je m'estimais trop juste, et l'université, même pas question. Le hasard a fait que j'ai débuté dans la vie active assez vite après, suite à un succés à un concours ouvert aux bacheliers.

Je conserve un excellent souvenir des 2 années, 1ere et Terminale, de Lycée, où on nous choyait. Bons profs, bonne ambiance, même si c'était avant tout l'objectif Bac qui était tout le temps là en filigrame.
En comparaison avec les cours qu'on avait en maths à l'époque, je trouve que le programme actuel me semble plus diversifié. A l'époque, on s'est mangé des espaces vectoriels pendant au moins un trimestre, dont je n'ai à peu près rien conservé en souvenir. En revanche, l'analyse est bien restée, mais peut être parce qu'on s'en sert directement dans l'univers technologique.

Les frangins Bogdanof ne représentent ni les physiciens, ni même la vulgarisation scientifique. Quoique tous les 2 hautement diplômés (Grichka est effectivement Dr en Math et diplômé d'études politiques, Igor est Dr en physique et diplômé en sciences sociales, et détiennent tous les deux une chaire de cosmologie à Belgrade ) ils ont chosi de devenir célèbre pour le seul motif d'être célèbre. Ils sont très doués, mais pourquoi tiennent ils tant à faire les pitres ?
Mystère. L'argent peut être ?

 

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