Enigmes

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 #1 - 25-10-2015 10:50:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

Gâteu 109

Bonjour à tous smile

Mon pâtissier vient juste de rentrer d'une réunion de commerçants du quartier . Comme chaque année à la fin de la fête il aurait dû découpé le gâteau en parts dont la forme devait être aussi celle du gâteau . 

L'année dernière il avait réussi le partage sans problème avec un gâteau triangulaire :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-11parts.png

Cette année il n'a pas réussi avec un gâteau en forme de L :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-L.png

Et pourtant il y avait le même nombre de personnes à cette réunion .

Mais combien était-ils ????

Vasimolo



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 #2 - 25-10-2015 11:05:57

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2749
Lieu: Luxembourg

Gâteau 1109

Plusieurs solutions toutes de la forme: 4^N, avec N entier.

 #3 - 25-10-2015 11:55:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

Gâteau 09

Il n'y a qu'une solution Franky smile

Vasimolo

 #4 - 25-10-2015 12:22:15

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 460

Gââteau 109

Ils n'étaient pas 4 modulo 3, sinon il aurait réussi son défi.
Je vais me pencher un peu plus sérieusement sur le pb.

EDIT :

J'explique ma démarche.
Le "L" ne peut être divisé qu'en 4.
Mais chaque part peut être sub-divisée elle-même en 4. La part sub-divisée ne compte plus mais on compte les 4 parts qu'on a faites avec elle. Donc le nombre total de parts est augmenté de -1+4 = 3.
Donc on peut découper 4 parts, 7, 10, etc. Soit 4 (mod3) parts possibles.

Donc, s'il y a n participants et que n = 4(mod3), alors on fait 1 part par personne.
Si n <> 4(mod3), alors on fait un grand nombre de parts tel que ce nombre ait n parmi ses facteurs possibles.
Exemple : 2 participants. On ne peut pas faire 2 parts. Pas grave, on en fait 4 (car 2 factorise 4) et on en donne 2 à chacun.
5 participants : on fait 10 parts, on en donne 2 à chacun.
Etc.

Le seul nombre de participant pour lequel on ne trouvera jamais un multiple dans 4(mod3) c'est justement 3. En effet, le nombre de part est égal à tous les multiples de 3 augmentés de 1, jamais à ces multiples eux-mêmes.

Il y avait donc 3 participants.

Oui mais, oui mais... Avec cette stratégie, tout le monde n'a pas forcément la même quantité de gâteau... hmm

 #5 - 25-10-2015 13:53:50

PvD47
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 19

gâyeau 109

Il y'avait 6 personnes.

 #6 - 25-10-2015 14:55:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

Gteau 109

Pas de bonne réponse pour le moment smile

Je précise que les parts ne sont pas nécessairement toutes de la même taille mais elles doivent être une réplique exacte du gâteau ( ie: une réduction ) .

Bon courage .

Vasimolo

 #7 - 25-10-2015 15:16:06

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

GGâteau 109

On considère un gâteau en L constitué de 3 carrés ou n'était-ce qu'un exemple ?

 #8 - 25-10-2015 15:18:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

Gâteau 10

Le "L" est forcément formé de 3 carrés et donc même chose pour les différentes parts .

Vasimolo

 #9 - 25-10-2015 15:21:21

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2749
Lieu: Luxembourg

Gâtaeu 109

Avec 4^N, je pensais à ça:
http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-L.png

 #10 - 25-10-2015 15:26:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

Gâtea 109

Je l'avais bien vu comme ça Franky : le but est de trouver un nombre de parts pour lequel le partage du triangle est possible mais pas celui du "L" .

Vasimolo

 #11 - 25-10-2015 15:53:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,507E+3

Gtâeau 109

Avec les triangles, je peux faire toutes le sommes de 2 impairs dont 1, et les mêmes +3, 6 9 12 ... .
A priori, je ne vois que 2 et 3 qui soient impossibles. EDIT : et 5

Avec le carré : On peut faire tous les multiples de 4 modulo  3 6 9 12 ...

Ca ne laisse que 6 ? ou 8 ? mais alors pour faire 6, c'est coton, je ne vois pas...

 #12 - 25-10-2015 15:59:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

gâreau 109

Il te manque un cas d'impossibilité pour le triangle et la réponse n'est pas la bonne smile

Vasimolo

 #13 - 25-10-2015 17:46:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

Gteau 109

@Gwen : il faut partir d'un découpage tout neuf ( pas d'un redécoupage d'un partage existant ) , sans oublier que les parts peuvent être de tailles différentes .

Vasimolo

PS : quand tu parles du carré du veux dire du L ?

 #14 - 25-10-2015 18:26:40

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,507E+3

Gâteauu 109

Oui le L et avec le triangle, comme pour le L on peut faire +3 par récurrence. Donc je pars d'un partage existant si je veux pour raisonner.

 #15 - 25-10-2015 18:32:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

âGteau 109

D'accord , il faut donc que tu trouves un nouveau partage "primaire" du "L" .

Vasimolo

 #16 - 25-10-2015 18:57:13

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

gâreau 109

Théorème trivial tous les triangles sont sécables en un nombre indéfini de plus petits triangles. Il reste à trouver pour les L smile

Pour le moment je trouve pas de possibilité de faire 13 parts avec des L.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 25-10-2015 19:54:45

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 481
Lieu: Ardèche

fâteau 109

On sait partager le triangle  en 1+3x+5y+7z+... parts triangulaires.
Les seules configurations impossibles sont 2, 3, 5.

On sait partager le L initial en 1, 4, 9, 16, etc... parts égales.
http://www2.stetson.edu/~efriedma/LinL/

Parmi ces parts égales, une ou plusieurs peuvent à leur tour être partagées de la même façon, donnant 3x et/ou 8y et/ou 15z etc... parts supplémentaires.

On ne sait pas faire 6 ni 8, ni 11, ni 13, alors qu'on peut avec des triangles.

 #18 - 25-10-2015 20:14:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

Gâteau 190

@Shadock : on peut faire avec 13 .
@Halloduda : on n'impose pas aux parts d'avoir la même taille .

Vasimolo

 #19 - 26-10-2015 08:21:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3021

Gâteau 1099

Pour les triangles:
On partage le triangle en bandes parallèles à la base et toutes d'égale épaisseur.
Avec 2 bandes, on découpe en  1+3 triangles. Et comme chaque triangle peut lui même être remplacé par 4 autres triangles, on peut découper en 4+3k triangles.
Avec 3 bandes:1+3+5, mais on peut grouper 1+3 en 1 donc 6, puis 6+3k.
Avec 4 bandes: 1+3+5+7, mais en groupant 1+3+5 en 1 , donc 8, donc 8 + 3k.

4+3k, 6+3k et 8+3k peut être ramené 1,2, ou 3 modulo 3 , c'est à dire tous les entiers à partir de 6.

Pour les L j'ai une question: s'agit il d'un trimono (3 carrés accolés) ou la forme du L est elle libre ?

 #20 - 26-10-2015 09:38:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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GGâteau 109

C'est bon pour le triangle et oui les L sont nécessairement formés de trois carrés identiques comme sur le modèle .

Pour le moment seul Gwen a mis le doigt sur la solution mais il lui manque encore une pièce .

Bon courage à tous smile

Vasimolo

 #21 - 26-10-2015 15:51:00

gwen27
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Messages : 5,507E+3

Gâtaeu 109

Avec les triangles comme avec les L on peut faire +3 ou +5

Cela permet d'atteindre
1
4 (1+3)
6 (1+5)
7 (4+3)
9 (6+3)
10 (7+3)
11 (6+5)

et la suite de manière évidente modulo 3.

Il manque 2, 3 , 5 et 8.

2, 3 et 5 semble inatteignables avec des triangles comme avec des carrés (à moins d'un triangle rectangle isocèle). Mais 8 peut être atteint avec une bande de 7 triangles semblables, seulement dans le cas des triangles.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g109.PNG

 #22 - 26-10-2015 18:51:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

Gâetau 109

C'est ça Gwen et en effet j'aurais dû préciser que le gâteau de l'an dernier n'était pas isocèle-rectangle : bravo !

Vasimolo

 #23 - 28-10-2015 11:57:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3021

GGâteau 109

Bravo à Gwen, c'est bien le meilleur.

Il reste cependant à fabriquer un L avec 11 L pour l'unicité de la solution.
On sait que les solutions pour L sont 4+3k et 6+3k. On n'a pas le 8+3k comme pour le triangle.

 #24 - 28-10-2015 12:04:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4752

gâyeau 109

J'avais prévu une petite illustration pour la solution et j'ai hésité à la poster vu que celle de Gwen est vraiment sympa .

Je la donne quand même : vous en ferez ce que vous voudrez smile

On peut couper le triangle en 4 , 6 ou 8 parts et après il est clair qu'on peut atteindre tous les découpages en plus de 5 parts .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Solutiontriangle.png

Seuls 2 ; 3 et 5 manquent à l'appel .

On peut découper le "L" en 4 ou 6 parts et encore une fois on peut atteindre tous les découpages en plus de 8 parts .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-LSolution.png

2 ; 3 ; 5 et 8 manquent à l'appel .

Il y avait donc 8 invités à cette réunion .

Merci aux participants smile

PS : Si l'absence de découpage en 2 ; 3 ou 5 parts semblent évident pour les deux formes l'absence du 8 pour le "L" mériterait une petite preuve mais je n'en ai pas sous la main ...

Avis aux amateurs smile

 #25 - 28-10-2015 12:13:10

Vasimolo
Le pâtissier
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âteau 109

@Nodgim : 6+5=11 smile

Vasimolo

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