Tout à fait. Le raisonnement par l’absurde est assez particulier.

Et je dirais même plus : quand tu dit « non(P) » ça signifie que P est fausse et que non(P) est vraie.
En logique intuitionniste, non(P) signifie que P est contradictoire.

Du coup le raisonnement par l’absurde « supposons P vrai, ah mince on arrive à une contradiction » est valide, tu prouves que P est contradictoire

Par contre, « supposons non(P) vrai, ah mince on arrive à une contradiction », tu montres simplement que non(P) est contradictoire, mais ça ne signifie pas forcément que P est vrai pour autant.

« Personne ne doute du raisonnement par l’absurde » : ce raisonnement ne tient que par le principe du tiers exclu. Principe qu’on admet, sans preuve. « A ou non(A) est vrai ». Mais si on choisit de ne pas l’admettre ?

Revenons à nos moutons. Si je ne me méprends pas, les deux seules règles suffisent pour en déduire la validité ou non des points listés.

Je relance un peu la réflexion, en vous donnant une idée de ce qui est attendu, pour les 2 premiers

1) deux rationnels p et q sont égaux, ou ne le sont pas (p=q est vrai ou alors c'est que p≠q est vrai, et jamais les 2 en même temps)

C'est vrai. Démonstration: chaque rationnel est une fraction irréductible de deux entiers. Et on peut vérifier que deux entiers sont égaux, en regardant en base 10 par exemple le chiffre des unités, et s'il est égal celui des dizaines, etc... jusqu'à trouver une différence (entiers différents) ou fin de lecture (entiers égaux)

On peut donc prouver que deux entiers sont égaux, ou différents, et donc pareil pour des rationels.

2) deux réels a et b sont égaux, ou ne le sont pas (a=b est vrai ou alors c'est que a≠b est vrai, et jamais les 2 en même temps)

Là par contre, c'est plus compliqué. On peut bien sur partir de la virgule et regarder la partie entière. Si elle est différente, alors a≠b. Si elle est égale, on peut regarder la partie décimale, mais problème : elle est infinie.
Si a≠b, alors on peut toujours la parcourir, et au bout d'un nombre fini (parfois très long) d'étapes, on arrivera à trouver une différence, ce qui prouverait que a≠b.

Du coup, seul a≠b peut être prouvé. Mais le principe du tiers exclu n'étant pas admis, si on ne peut pas prouver a≠b, ça ne signifie pas pour autant que a=b est vrai.

Et maintenant, pour les autres propriétés, je vous laisse voir

C'est une bonne remarque. Rien ne prouve qu'un rationnel en est un s'il n'est pas donné sous forme de fraction, ou s'il a une écriture décimale infinie et que la période n'est pas indiquée.

Mais quand on dit : "deux rationnels peuvent-ils être égaux ?", le fait qu'ils soient rationnels fait partie de l'hypothèse : "soient deux nombres rationnels, etc...". Et en logique intuitionniste, ça veut dire : "soient deux nombres dont il a été prouvé qu'ils sont rationnels, etc..."

Un nombre est rationnel parce qu’il est donné sous une des formes susmentionnées. Sinon rien ne le prouve.
Et de toutes ces formes on peut repasser à  un rapport d’entiers.

Concernant les autres questions :

3) un entier est soit pair, soit impair (et pas les 2)
C’est vrai. La parité est liée à la congruence modulo 2, qui n’a que deux valeurs possibles. Du coup certains entiers sont pairs, certains sont impairs et pour tout entier je peux (via une division par 2) connaître sa parité. (Ou en regardant le dernier chiffre…)

4) un classique dans beaucoup de démonstrations : soit une fonction f, continue, telle que f(a)<0 et f(b)>0, il existe un x entre a et b tel que f(x)=0

Là… c’est faux. Comment prouve-t-on ce résultat dans de la logique classique ?
On part de l’intervalle [a,b], et on regarde le milieu c=(a+b)/2. S’il est positif on considère désormais [a,c] et sinon [c,b]. On se retrouve avec un intervalle deux fois plus petit et le même problème. On va donc converger, et arriver au célèbre « théorème des valeurs intermédiaires » - pour le cas particulier 0 mais la démonstration est similaire.
En logique intuitionniste, on peut suivre les mêmes étapes (moyennant la preuve qu’un entier non nul est soit positif soit négatif) mais tout ce qu’on arrivera à prouver de manière constructive c’est « on peut s’approcher aussi près que l’on souhaite de 0 au bout d’un nombre fini d’étapes ». Et rien de plus.

5) Un ensemble qui n'est pas fini est infini.
Qu’est-ce qu’un ensemble fini ? Un ensemble en bijection avec les n premiers entiers.
Qu’est-ce qu’un ensemble infini ? Le tiers exclu étant admis on peut dire « tout ce qui n’est pas fini est infini ». Mais en logique intuitionniste on doit donner une véritable définition : par exemple il est en bijection avec N (pour un infini dénombrable), ou R (ou plus, il y a différentes tailles d’infini).
Du coup, avec ces définitions on peut construire un ensemble ni fini ni infini. On peut même construire un sous-ensemble non fini à partir d’un ensemble fini. Et c’est le dernier point, ci-dessous.

6) Un sous-ensemble d'un ensemble fini d'entiers est fini.
On a très envie de dire vrai. Mais c’est faux.
Alors pour ne pas faire griller votre matière grise : « c’est faux » ne veut pas dire que ça donne un ensemble infini. Pour rappel : PAS DE TIERS EXCLU. Donc un ensemble pourrait ne pas être fini sans pour autant être infini.
Et comment arriver a un tel ensemble ? Un ensemble fini est un ensemble en bijection avec les n premiers entiers. Pour rappel encore : N’EST VRAI QUE CE QUI EST PROUVÉ. On va donc construire un ensemble dont on ne sait pas prouver s’il est en bijection avec des entiers.
Prenons l’ensemble de base [1, 2, 3, 4, 5]. Fini, dénombrable, super.
Prenons le sous ensemble E tel que :
- 1 est dedans ssi 3/5 = 0.6
- 2 est dedans ssi e=somme(1/n!)
- 3 est dedans ssi 17 n’est ni pair ni impair
- 4 est dedans ssi telle fonction continue admet un zéro.
- 5 est dedans ssi tel ensemble est fini
(Bref les 5 premières questions)

Pour certaines questions je serai incapable de répondre. Conclusion : je ne sais même pas ce que contient E. Et je ne peux donc pas le mettre en bijection avec des entiers.

Une démonstration qui dirait : « si c’est vrai, alors E est comme ça et donc en bijection avec des entiers, et si c’est faux alors E est comme ça et donc en bijection avec d’autres entiers, donc dans tout les cas E est en bijection avec des entiers » … ben ça utilise encore une fois le principe du tiers exclu. Et qui plus est ce n’est pas tout à fait considéré comme une démonstration constructive, comme pour les racines de 2

Au sujet des racines de 2, pour ceux qui ne connaissent pas. Existe-t-il x et y, irrationnels, tels que x^y soit rationnel ?
[latex]x=\sqrt{2}[/latex] est irrationnel.
Si x^x est rationnel on a notre solution. Sinon il est irrationnel et donc (x^x)^x=2 est rationnel et on a aussi notre solution.
C’est ce qu’on appelle une preuve non constructive

Après, on a aussi prouvé depuis que [latex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/latex] est irrationnel

Sur la droite des réels, la plupart des "points" ne sont pas atteignables "personnellement*" (sourire)² par nos désignations

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*autrement que collectivement