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#1 - 18-10-2022 02:00:25
- aunryz
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Reste 12,,3,4,5,6,7,8,9
Existe-t-il des nombres entiers de 10 chiffres qui, divisés par (1 donnent pour reste 0), par 2 donnent pour reste 1, par 3 donnent pour reste 2, ... ... par 9 donnent pour reste 8. Si c'est le cas existe-t-il parmi eux des nombres dont tous les chiffres sont différents ?
Lélio Lacaille - Du fagot des Nombreux
#2 - 18-10-2022 07:51:21
- Franky1103
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Reste 1,2,,4,5,6,7,8,9
Salut, Ce nombre sera de la forme: [PPCM(1;2;3;4;5;6;7;8;9)].k-1, soit de la forme: 2520.k-1 Comme: 1 000 000 000 ≤ 2520.k-1 ≤ 9 999 999 999, on aura: 396 826 ≤ k ≤ 3 968 253 Comme un nombre de 10 chiffres différents est divisible par 9 (la somme de ses chiffres faisant 45) et 2520 aussi, il n’existe aucun nombre répondant à la dernière question. Bonne journée.
#3 - 18-10-2022 10:12:25
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Reste 1,2,3,4,,5,6,7,8,9
x est de la forme x=2520k-1 avec 396 825<k<3 968 254 . Il ne peut pas s'écrire avec les 10 chiffres car la somme de ses chiffres 45 serait 45 divisible par 9 .
Vasimolo
#4 - 18-10-2022 13:23:24
- clanelle
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Reeste 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Bonjour,
Je dirais que tous les nombres de la forme n x 2520 - 1 répondent, seuls, à la définition sur les restes.
En se restreignant aux nombres à 10 chiffres, il doit donc y avoir 3.571.427 solutions (de 396.826 x 2520 - 1 à 3.968.353 x 2520 - 1)
Pour les chiffres tous différents, pas d'idée pour l'instant (autre que la force brute).
Bien cordialement, Lionel
#5 - 19-10-2022 00:42:00
- aunryz
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Reste 1,2,3,4,5,6,,8,9
Franky1103, Vasimolo et clanelle ont la forme générale d'un nombre satisfaisant à la première exigence
Pour ceux qui ne l'ont pas indice 1 : On peut trouver cette information du côté de la suite An* (où n est le 15 249ième nombre premier ... )
nobodydy a donné la réponse aux questions de façon succincte mais efficace se refusant (sourire)² de m'aider dans la réponse que je vais pouvoir donner.
Franky1103 et Vasimolo ont étayé leur réponse à la seconde exigence d'une démonstration convaincante.
Indice 2 : Effectivement les critères de divisibilité peuvent servir.
____ *... OEIS
Lélio Lacaille - Du fagot des Nombreux
#6 - 19-10-2022 10:08:05
- clanelle
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Reste ,12,3,4,5,6,7,8,9
Ah oui, merci pour l'indice sur les critères de divisibilité ! Les nombres recherchés ne sont pas divisibles par 9. Les nombres ayant autant de 1 que de 2, que de 3, (...) que de 8 sont divisibles par 9. D'où la réponse : aucun des nombres répondant à la 1ère exigence ne répondra à la 2ème.
Bien cordialement, Lionel
#7 - 19-10-2022 10:20:22
- aunryz
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Reste 1,2,3,4,5,6,7,88,9
Cannelle rejoint le groupe de ceux qui ont donnés (et argumenté) les bonnes réponses.
Lélio Lacaille - Du fagot des Nombreux
#8 - 19-10-2022 10:54:56
- scarta
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Reste 1,2,3,44,5,6,7,8,9
A la question "est-ce que ça existe", je dirais oui - après il faut le vérifier mais en théorie le théorème des restes chinois devrait en sortir un.
Application numérique: tous les nombres de 10 chiffres de la forme 2520*K-1 marchent. Il en existe très exactement 3571428 (je remarque là un pattern cher à l'auteur...), le plus petit étant 1000001519 et le plus grand 9999997559
A la question "avec dix chiffres différents", la réponse est non, de toutes les façons. La raison est simple, un tel nombre, quel qu'il soit, est un multiple de 9
#9 - 19-10-2022 21:04:01
- aunryz
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restr 1,2,3,4,5,6,7,8,9
scarta a donné les deux bonnes réponses argumentées. (et remarqué quelque chose qui m'avait échappé concernant ma séquence préférée de chiffres)
Merci du passage
Lélio Lacaille - Du fagot des Nombreux
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