1=0*2+1 ??? N=2 et N-1=1

soit a le nombre cherché
         a=k*N+N-1
         a= (k+1)*N-1
         a+1=K*N
a+1 doit etre divisible par N.

c'est pas pareil...

EfCeBa a écrit:

Le reste de la division de 7 par 3 donne 2

Parce que tu crois qu'avec des exemples comme ça ton énoncé sera plus clair


En fait il s'agit d'oter 1 à ces résultats


X = 2  => Réponse: 1 (1%2 = 1)
X = 3  => Réponse: 5 (5%2 = 1, 5%3 = 2)
X = 4  => Réponse: 11 (11%2 = 1, 11%3 = 2, 11%4 = 3)
X = 5  => Réponse: 59 (59%2 = 1, 59%3 = 2, 59%4 = 3, 59%5 = 4)
X = 6  => Réponse: 59 (59%2 = 1, 59%3 = 2, 59%4 = 3, 59%5 = 4, 59%6 = 5)
X = 7  => Réponse: 419 (419%2 = 1, 419%3 = 2, 419%4 = 3, 419%5 = 4, 419%6 = 5, 419%7 = 6)
X = 8  => Réponse: 839 (839%2 = 1, 839%3 = 2, 839%4 = 3, 839%5 = 4, 839%6 = 5, 839%7 = 6, 839%8 = 7)
X = 9  => Réponse: 2519 (2519%2 = 1, 2519%3 = 2, 2519%4 = 3, 2519%5 = 4, 2519%6 = 5, 2519%7 = 6, 2519%8 = 7, 2519%9 = 8)
X = 10  => Réponse: 2519 (2519%2 = 1, 2519%3 = 2, 2519%4 = 3, 2519%5 = 4, 2519%6 = 5, 2519%7 = 6, 2519%8 = 7, 2519%9 = 8, 2519%10 = 9)

Bonsoir à tous (c'est mon premier message )

L'occasion pour moi de féliciter EfCeBa pour l'ensemble de son travail
(ou du moins la partie que j'ai découvert: regardez à gauche ) et de
pester (gentillement) pour l'énigme ou apparaissent en couleur les
"eik[latex]\pi[/latex]" ... quel suplice que de comater la dessus,
j'arrivais pas à sortir la consonance usuelle de cette suite de ma tête 
Et j'anticipe ceux qui se sentent démangés par l'envie de me répondre
"faut pas tout ramener aux maths" !!!, à qui je répondrais
"Tu te fous de ma G***** ?! tu as une idée de la probabilité d'obtenir
cette suite avec un rédacteur "honnête" (i.e. une proba uniforme
voire utiliser la fréquence d'apparition en français) ?!?"

Bref,
pour revenir au problème posé,
on obtient le système
[TeX]\left\lbrace\begin{array}N\equiv -1 [2]\\ N\equiv -1 [3]\\\vdots\\N\equiv -1 [10]\end{array}\right.[/latex],
ce qui, après simplification (on verra ensuite plus en détail cette "simplification''), donne
[latex]\left\lbrace\begin{array}N\equiv -1 [5]\\N\equiv -1 [7]\\N\equiv -1 [8]\\N\equiv -1 [9]\end{array}\right.[/latex].
soit pour N=10:
[latex]2519 + 2520\mathbb{Z}\quad (5\times 7 \times 8 \times 9 = 2520)[/TeX]
Etudions la simplification:
on a viré les congruences modulo 2 et 4 car elle n'apportaient rien du moment qu'on avait celle modulo 8, idem pour 3 via 9. Les cas de 6 et 10 provienent du fait que 10 est produit de 2 et 5 et 6 de 2 et 3.

Si on cherche à généraliser, en (speudo-)bon français "on vire tout ce qui n'est pas la plus grande puissance d'un nombre premier inférieur à N".
Une récurrence bateau le montre bien:
- une congruence modulo la plus grande puissance de p est "l'info" la plus forte et implique -au moins- toutes les autres modulo une autre puissance de p,
- une congruence modulo un nombre composé d'au moins 2 premiers est impliquée par chaque des congruences modulo ses facteurs premiers (donc à fortiori par un modulo d'une puissance de celui-ci).

On ponds une fonction pour formaliser tout ça (appelons la [latex]\Xi[/latex], soyons fous):
[TeX]\Xi(n)=\prod_{p\in \mathcal P_n} p^{v_p(n)} -1[/TeX]
où [latex]\mathcal P_n[/latex] est l'ensemble des nombres premiers inférieurs à [latex]n[/latex] et [latex]v_p(n)[/latex] la valuation p-adique de n.

J'ai pas trouvé de propriétés intéressantes à ça ( bouh :'( ). Elle est clairement pas multiplicative, semble d'une croissance assez violente bien qu'elle ne croisse  que sur les puissances de nombres premiers (e.g. [latex]\Xi(19)=\Xi(20)=\Xi(21)=\Xi(22)[/latex]).

EfCeBa a écrit:

(bienvenue, tu n'a pas totalement répondu à ma question mais tu as compris le principe, en tout cas tu t'es lâché pour ton premier post tu as démontré le raisonnement par congruences pour calculer le ppcm en arithmétique modulaire )

-Merci de l'acceuil

-Oui! Certains -- moi le premier -- appellent ça sortir la massue pour écraser la mouche . Je n'avais pas vu ce qu'a fait remarquer Scarta et du coup ... pas vu du tout le PPCM

Bonjour,
Euh... Où est l'énigme ?

Plutôt en perte de contrôle, non ?