Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 18-05-2016 08:52:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Le reste de l'annéée,...

Bonjour à tous.

Une courte énigme d'arithmétique.

La somme des chiffres de 2016 est 9. Si on divise 2016 par un entier positif, quels sont ces entiers pour lesquels le reste est 9 ?

Pas de calculette, pas d'informatique, et 2 minutes pour trouver la réponse...quand vous aurez trouvé le truc !



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 #2 - 18-05-2016 09:31:07

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Le reste dee l'année,...

Bonjour,
Pour que le reste de la division de 2016 par n soit égal à 9, il faut que n divise 2007, et qu'il soit supérieur à 9.
2007 = 3 * 3 *223

n peut valoir 223, 669 ou 2007

 #3 - 18-05-2016 11:24:40

Franky1103
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Le reste de l'anée,...

2016 = 9 + a.b <=> a.b = 3².223
Ce sont donc: 223; 669 et 2007

 #4 - 18-05-2016 11:41:37

godisdead
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le reste de l'znnée,...

2007 smile
669
223

 #5 - 18-05-2016 11:49:26

Klimrod
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Le reste de l'aannée,...

Salut,
Ton problème est amusant.

Si la somme des chiffres de 2016 est égale à 9, c'est que 2016 est divisible par 9. En l'occurrence, par tâtonnement, 2016 = 9 x 224.

Tu demandes quels sont les nombres n tels que 2016 = nk + 9 avec n > 9.
Donc nk = 9 x 223.
Comme 223 est premier, les seules solutions sont n = 223, 669 et 2007.

Merci pour ces quelques minutes de réflexion.
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #6 - 18-05-2016 11:59:47

masab
Expert de Prise2Tete
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Messages : 682

Le retse de l'année,...

On doit étudier
2016 = k*x+9 avec k>9
2007 = k*x avec k>9
Or
2007 = 3*3*223

Donc les solutions sont
k = 223  ou  3*223 = 669  ou  3*3*223 = 2007

 #7 - 18-05-2016 12:26:10

gwen27
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Le reste dee l'année,...

2007 ?

2007 = 9*223 = 3*669
Donc 2007 fonctionne mais aussi 223 et 669

 #8 - 18-05-2016 13:20:05

BlaiseP
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 31

Le reste de lannée,...

Réponse : 223 unique solution
Explication
si il reste 9, c'est qu'on doit chercher un multiple de 2016-9
c'est à dire un multiple de 2007.
2007 / 9 =223 (de tête).
223 est premier, donc, pas mieux.

 #9 - 18-05-2016 15:14:04

bidipe
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le teste de l'année,...

2016 mod x = 9
2016-9 = 2007 = 3 * 3 * 223

Les entiers pour lesquels le reste est 9 sont :
223,
669 (=3 * 223)
et 2007

 #10 - 18-05-2016 16:21:34

dbab3000
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Le reste de l'anné,e...

On a
2016=Dx+9
Dx=2007
Alors D est un diviseur de 2007 et D ne doit pas être un diviseur de 9 sinon le reste est égale à 0
Donc D=(223,669,2007) (j'ai utilisé google pour savoir que 223 est un nombre premier lol)
Bonne journée.

 #11 - 18-05-2016 17:00:08

nodgim
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Le reste de l'nanée,...

Bravo à tous, que des bonnes réponses.

@BlaiseP: attention, il y a plusieurs réponses possibles.

 #12 - 18-05-2016 17:11:28

Ebichu
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le restr de l'année,...

Si l'entier recherché est n, alors n>9, et il existe un autre entier naturel q tel que 2016=nq+9, d'où nq=2007.

Comme la décomposition en produit de facteurs premiers de 2007 est 3*3*223, les valeurs possibles pour n sont 223, 669 et 2007.

 #13 - 18-05-2016 18:33:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Le reste de ll'année,...

Oui Ebichu.

Comme c'était vraiment trop facile pour la majorité d'entre vous, complétons la question:

Soit un entier n. On fait la somme Sn de tous les restes de n par les entiers 1 à n. Montrez qu'il existe une infinité de couples (n,m) tels que Sn=Sm.

Bon amusement.

 #14 - 18-05-2016 20:04:04

emmaenne
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Le reste de 'année,...

2016 - 7 = 2007
2007/3 = 669
2007/9 = 223


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #15 - 19-05-2016 03:48:54

dhrm77
L'exilé
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

le restz de l'année,...

223.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #16 - 19-05-2016 07:23:30

nodgim
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Le reste de l'aannée,...

Emmaenne: oui !
Dhrm: Pas que....

 #17 - 19-05-2016 08:05:05

halloduda
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Le reste d l'année,...

Q1 2016=aq+9
a est diviseur de 2007 et >9 : 223, 669, 2007

Q2
Diophante A1858
pour tout k, m=2^k-1, n=2^k, S(m)=S(n)
voir http://oeis.org/A004125

If n is a power of 2 greater than 1 then a(n) = a(n-1). - David Morales Marciel, Oct 21 2015

 #18 - 19-05-2016 09:19:40

enigmatus
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Le resste de l'année,...

nodgim #13 a écrit:

Soit un entier n. On fait la somme Sn de tous les restes de n par les entiers 1 à n. Montrez qu'il existe une infinité de couples (n,m) tels que Sn=Sm.

Les nombres de la forme [latex]n=2^p-1[/latex] et [latex]m=2^p[/latex], pour [latex]p≥1[/latex], répondent à la question.

Les nombres de la forme [latex]2^k[/latex], pour [latex]1≤k≤p-1[/latex], divisent [latex]m[/latex]. Le reste de la division de [latex]n[/latex] par ces nombres est [latex]2^k-1[/latex], dont la somme vaut [latex]2^p-p-1[/latex].

Les restes de la division de [latex]n[/latex] et [latex]m[/latex] par les [latex]2^p-p-1[/latex] autres diviseurs de [latex]n[/latex] diffèrent d'une unité, en faveur de [latex]m[/latex].

La somme de tous les diviseurs est donc la même pour [latex]n[/latex] et [latex]m[/latex].

 #19 - 19-05-2016 11:35:04

nodgim
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Le retse de l'année,...

@Enigmatus: c'est la 1ère réponse à la seconde question, et elle est parfaite. Bravo !

 #20 - 19-05-2016 11:38:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Le reste ed l'année,...

Pardon, j'avais raté les réponses de Halloduda pour les 2 questions, donc l'antériorité lui revient pour la 2ème question.

Halloduda, c'est correct, mais il manque un peu de justificatif...

 #21 - 19-05-2016 12:33:15

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 304

Le reste de l'année...

Il y a au moins les couples (n;m) = (2^p-1;2^p).

L'idée de la démonstration est que pour 2<=k<=n, on a (n mod k)=(m mod k)-1, sauf si (m mod k)=0. Or (m mod k)=0 lorsque k=2^i pour i dans [|1;p-1|], et alors (n mod k)=2^i-1.

Donc somme_k=2..p( (n mod k) - (m mod k) ) = -1*(2^p-p-1) + somme_i=1..p-1 (2^i-1) = 0, cqfd.

 #22 - 19-05-2016 12:57:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
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le reste dr l'année,...

Parfait Ebichu !

 #23 - 20-05-2016 03:48:55

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Le restte de l'année,...

Et 2007, bien sur,,,,! Sans PC c'est moins evident.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #24 - 20-05-2016 08:11:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Le reste de l'anée,...

@Dhrm: pas encore complet, mais tu n'es plus loin.

 #25 - 20-05-2016 10:59:31

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1747

Le reste de l'anné,e...

Bonjour

Pour la question de base

2016 = 223 x 9 + 9

223 est premier
donc répondent à la question :
    223
    223 x 3 = 669
    223 x 3 x 3 = 2007

Je regarde la généralisation
A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

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