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 #1 - 31-12-2022 08:19:15

clanelle
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 38

Quelques termes à trouver avannt celui de 2022

Quel est le 1er terme ?
1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 5 + 3 + 5 = 8 + 9 + 7 + 9 + 3
2 + 3 + 8 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 = 3 + 3 + 8 + 3 + 2 + 7 + 9
5 + 0 + 2 + 8 + 8 + 4 + 1 + 9 + 7 + 1 + 6 = 9 + 3 + 9 + 9 + 3 + 7 + 5 + 1 + 0 + 5
8 + 2 + 0 + 9 + 7 = 4 + 9 + 4 + 4 + 5
Quel est le 6ème terme ?

Existe-t-il un terme pour lequel l'égalité dépasse, mettons, 2023 (là je n'ai pas la réponse hmm) ? ou 1000000 ?

Bien cordialement & bonnes fêtes à tou.te.s,
Lionel

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 #2 - 01-01-2023 00:13:03

clanelle
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 38

Quelques termes à trouver avant celui de 202

3 + 1 = 4
1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 5 + 3 + 5 = 8 + 9 + 7 + 9 + 3
2 + 3 + 8 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 = 3 + 3 + 8 + 3 + 2 + 7 + 9
5 + 0 + 2 + 8 + 8 + 4 + 1 + 9 + 7 + 1 + 6 = 9 + 3 + 9 + 9 + 3 + 7 + 5 + 1 + 0 + 5
8 + 2 + 0 + 9 + 7 = 4 + 9 + 4 + 4 + 5
Quel est le 6ème terme ?

Existe-t-il un terme pour lequel l'égalité dépasse, mettons, 2023 (là je n'ai pas la réponse sad) ? ou 1000000 ?

Bien cordialement & bonnes fêtes à tou.te.s,
Lionel

 #3 - 01-01-2023 16:15:46

lecanardmasqué
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 579

quelsues termes à trouver avant celui de 2022

Bonjour ( et bonne année smile )
Spoiler : [Afficher le message]
Addition / égalité à partir de la suite des décimales de PI.

Sauf erreur, il faut donc piocher pour le sixième terme dans :


923078164 0628620899 8628034825 3421170679... ... ...


6ème terme :

9+2+3+0+7+8+1+6 = 36 = 4+0+6+2+8+6+2+0+8

 #4 - 01-01-2023 16:55:23

clanelle
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 38

Quelques termes à trouuver avant celui de 2022

Bravo à lecanardmasqué big_smile

Lionel

 #5 - 01-01-2023 19:02:19

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 427

quelques termes à trouver zvant celui de 2022

Les décimales de pi sont un thème inépuisable originale.

Juste un détail
s'il s'agit des décimales de pi, alors le premier terme est (sauf erreur de ma part)
1 + 4 + 1 + 5 = 9 + 2

le second
6 + 5 + 3 + 8 + 9 = 7 + 9 + 3 + 2+ 3 +8 + 4

le troisième est assez lointain (sourire)²
...

Par ailleurs on peut considérer qu'il y aura ambiguïté dans ta suite
dans le cas où la somme recherchée s'arrête juste avant un zéro
(on peut alors le prendre en compte dans l'addition ou non ...)

Cela n'a  d'incidence sur les termes suivant que dans le cas où la suite des décimales est du type ,0 , a , a
si on a pris le 0 alors la suite sera du type a + a + ... = ...
si on ne l'a pas pris on peut alors écrire comme suite 0 + a = a)

Merci encore pour cette proposition originale

Bonne année


Du fagot des Nombreux

 #6 - 01-01-2023 22:17:33

clanelle
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 38

quelques termes à trouver avant xelui de 2022

Merci aunryz de tes remarques.

J'ai choisi les chiffres de pi plutôt que les seules décimales car cela me donnait des termes plus homogènes en taille.

Pour ce qui est des ambiguïtés relatives au 0, il aurait pu y en avoir de deux sortes :
- celle que tu cites (a a 0 b b), que j'aurais résolue sans ambages car le principe de la suite est de considérer qu'un terme est construit dès qu'on a atteint la condition (donc a = a, puis 0 + b = b).
- et celle de type a 0 a. De quel côté de l'égalité mettre le 0 ? Je pense que j'aurais étendu le principe du cas précédent en posant a = 0 + a.

Voilà.
Pour les questions théoriques du type existe-t-il un terme dépassant 1000000 (ou n'importe quel nombre), je sais que la réponse doit être oui, mais cette histoire de nombre univers reste au-delà de ce que mon esprit fini arrive à conceptualiser tongue

Bonne année (chouette ! une nouvelle année à 4 chiffres ! mes préférées ! big_smile)
Lionel

 #7 - 04-01-2023 15:45:06

Migou
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 311
Lieu: Ville 2/N près 2*i

quelques termes à trouver avant celuu de 2022

Coucou clanelle, jolie suite et jolie idée !

Je pense pouvoir prouver le résultat pour un nombre univers. A noter que d'après wikipedia, on ne sait pas si PI en est un.

l'idée est de construire une chaîne de nombres qui où qu'elle soit placée dans le nombre, entraînera le phénomène attendu.

Démonstration

lemme 1 : algorithme de découpage des décimales selon le problème de clanelle.

je propose de nous baser sur l'algorithme suivant, qui permet d'effectuer la découpe:

soit S la succession de décimales non encore découpées. soit A et B un ensemble de décimales éventuellement vides telles que S = A & B & Q avec Q la queue des décimales.

on note A <- B le fait de faire passer une décimales de B vers A (B rétrécit de 1 et A s'allonge de 1.)

On nomme Sa et Sb la somme des décimales de A et b

on commence avec A de longueur 1 et B de longueur 0.


L'algo suivant est un pas permettant de consommer la première lettre de la queue Q.

1) tant que Sa < Sb : A <- B
   remarques : après l'opération,  Q reste inchangé et Sa >= Sb

2) si Sb = Sa : afficher A,B dans la solution, A=vide, B=vide, A<-Q
   remarque : après opération, Sb-Sa \in [0,9]

3) sinon (et dans ce cas Sa > Sb) : B<-Q
    remarque : après opération, Sb-Sa \in [1, 17]

Avec cet algorithme, je peux prouver qu'après la directive (2) ou (3), Sb -  Sa est inclus dans [0, 17] 17 est le cas le pire quand un 9 passe de B à A.

Conclusion : quel que soit la dernière décimale parcourrue par l'algorithme de découpage, la différence entre les ensembles A et B est au plus de 17.

Construire une chaîne produisant un couplé de longueur arbitraire.

Grâce à cela, si je fais commencer une chaîne de décimales par 17 fois le chiffre 1, elle permettra nécessairement de crées un ensemble A B tel que Sa = Sb. restera un certain nombre de 1, qui formeront des couples

S = ..... (A=B) (1=1)... (1=1) 1?

il reste alors au plus un 1 non utilisé. ce qui signifier que la somme Sa sera connue à une unité près.

Ensuite, il ne reste "plus" qu'à prolonger par un million de décimales ne permettant pas de créer un couple.  sur cette partie là, je ma.que un peu d'inspiration, mais étant donné qu'on a 9 ou 10 décimales possibles à chaque pas de l'algorithme il paraît aisé d'éviter les cas d'égalité...

Remettons les idées en place :

pour tout N, il existe une chaîne de décimales qui qu'elle que soit sa position dans un nombre produit un couple de taille N.

Un nombre univers contenant par définitions toute séquence, pour tout N, le découpage "clanelle" d'un nombre univers contient un couple de taille N.

avec par exemple la taille définie par le nombre de décimales de A et B réunis.

 #8 - 06-01-2023 08:44:38

clanelle
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 38

Qulques termes à trouver avant celui de 2022

Ce forum a quelque chose de fascinant : tu peux y raconter une blague de Toto qui fait du trampoline et en repartir avec la définition d'une suite convergente sur la dérivée de la courbe ainsi décrite.

Tout ça pour dire merci Migou smile pour ces développements.
Effectivement, tu as cherché la suite finie de chiffres permettant d'atteindre une somme x donnée, ce qui donnerait quelque chose comme :
111111111111111117999.......99971
Pour dépasser 10000, il me suffit de mettre 2222 chiffres 9 (j'atteindrai alors 10006 ou 10007).

Les 17 '1' du préfixe sont efficaces mais on pourrait gagner de la place !
Quel est le préfixe le plus court permettant de commencer la séquence '79...' avec un début de somme à 0 ou 1 ?

Bien amicalement,
Lionel

 #9 - 07-01-2023 10:47:04

clanelle
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 38

quelques termes à yrouver avant celui de 2022

A tâtons, je remplace les 17 '1' par '333311111' pour obtenir ce résultat.
Donc :
3333111117999.......99971 est selon moi la sous-chaîne de décimales la plus ramassée permettant, où qu'elle soit placée dans un nombre univers de dépasser n'importe quel nombre donné selon la suite évoquée.
Merci de votre attention & la bonne journée à tous smile.
Lionel

 #10 - 16-01-2023 07:56:24

Migou
Professionnel de Prise2Tete
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quelques termzs à trouver avant celui de 2022

Salut clanelle.
Bigre, je vois que tu as réfléchu au problème toi aussi !

Eh oui, j'étais inspiré sur celui-là. A noter que ce n'est pas grand chose comparé aux démonstrations de certains membres du forum vraiment bons en maths.

Pour ce qui est de ta suite raccourcie, il me semble qu'elle ne fonctionne pas.
Supposons que la séquence en cours soit 469

469333311111 ne se termine pas.

4<6 donc A<-B
4+6<9+3 donc A<-B
4+6+9>3+3+3+3+1+1+1+1+1+1 donc B<-Q et on déborde.

 

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