Enigme Suites soeurs (une des passions de Don Néroman ...* ) @ Prise2Tete

aunryz · #1

Jojo a pris quelques valeurs dans deux suites sœurs (les valeurs de l'une dépendent de l'autre)
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Il les a recopiées dans un carnet et est parti faire un tour de deux roues .
Son frère a malencontreusement fait tomber quelques gouttes sur ce carnet
et Jojo ne sait plus où il a puisé ces valeurs (et pourquoi ... il est un peu distrait, beaucoup peut-être, parfois ça ne tourne pas rond dans sa tête)

Peux-tu compléter les valeurs manquantes ?

8 - 2 - 3 - 5 - 2 - 9 - 4 - 1 - 1 - 7 - 6 - 4 - 7 - 0 - 5 - 8
14 -* - * - * - * -16- * - * - 3 - * - * - * - * - * - * - *

* sans calculette, il avait donné sous une forme qui plairait à JOJO (amateur de vélo)
celle de 108 termes

Migou · #2

n'importe quelle fonction f telle que f(8) = 14 f(9) =16 et f(1)=3 peut faire l'affaire ?

aunryz · #3

Migou : j'accepte sans problème
ici pas de vainqueur
on prime l'élégance ...

Donc j'accepterais ta proposition comme une bonne réponse quand tu me l'auras donnée.
(ce sont deux suites sœurs)

Bonne soirée, merci de ta réponse qui ouvre.

Migou · #4

Hmmm, ca ne va pas te plaire. Je pense à (3x² + 61x + 104)/56

aunryz · #5

Migou

Hmmm, ca ne va pas te plaire. Je pense à (3x² + 61x + 104)/56

Mais si (sourire)²

Peux-tu compléter ta proposition...

Quelles sont donc les suites correspondantes ?
une loi pour U, une loi pour V qui leur confère leur sororité* (des "gènes" communs)

Ce qui suppose de comprendre un peu la suite U
donc, de lui associer une ... fonction par exemple (pas évident)

ici
U(36) = 8 U(37) = 2 U(38) = 3 U(39) = 5 U(40) =2

V(36) = 14 V(37) = a V(38) = b V(39) = c V(40) =a (?)

V serait la suite des valeurs que prend la fonction (3x² + 61x + 104)/56 pour les éléments de la suite U(n) ?*

(* le fait d'être soeurs est un élément caractéristique de cette proposition
Dans ce que tu donnes ici la correspondance y est mais il n'y a qu'un très lointain cousinage. Il faudrait décrire un peu les deux soeurs.)

Migou · #6

Salut aunryz,

Ta réponse laisse entendre que Vi = (3Ui² + 61Ui + 104)/56 est vrai pour tout i ?

Est-ce vraiment le cas ?

Dans ce cas peux tu me confirmer que la seconde suite vaut : 14 ; 4,25 ; 5,6071... ; 8,6428... ; 4,25 ; 16 ; 7,0714... ; 3 ; 3 ; 12,1071...

aunryz · #7

Je peux juste dire que tes calculs donnent une liste de valeurs qui correspondent à ta fonction
Mais où sont les deux suites soeurs ?
À commencer par la construction de la première... quelle logique
Et ensuite, de quelle manière la seconde est soeurs de la première.

Si on accepte le mot liste comme synonyme de suite, ta réponse doit être acceptée.
Si on exige une loi pour parler de suite (voir l'OEIS) il te manque celle de la première.

Migou · #8

V pourrait être produit par la suite dite Lower Wythoff sequence sur oeis :

a(n) = floor(n*phi),
a(1) = 3
a(8)=14
a(9)=16

aunryz · #9

(Commentaire modifié)
Migou ce que tu proposes a un lien avec les suites sœurs de JOJO
C'est un raccourcis pour trouver V(n) à partir de U(n) ... dont l'explication n'est pas du niveau de JOJO (sourire)²

Ici il n'y a que des valeurs et opération élémentaires des mathématiques
un enfant de 11 ans pourrait comprendre le fonctionnement.

un indice ... on peut trouver des éléments de la suite U(n) dans l'encyclopédie des suites de Sloane.

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il s'est aussi souvenu qu'il lui fallait regonfler les deux roues de son vélo.[/spoiler]

aunryz · #10

Un gros indice
Don Néroman qui a notamment écrit "La leçon de Platon" dans laquelle il revient sur la construction (mathématiques) de la gamme, évoque les 7 notes de la gamme et à ce propos les vertus de 1/7 et notamment la séquence des décimales de son développement

décimales qui sont 142857 (7 est un premier long le développement de 1/7 a donc une période de 7-1=6 décimales)

Une des propriétés de ces développements est qu'il est aisé d'en déduire des tables de multiplication (ici de x1( ) à x6) du nombre associé, ici 142857

Tables de multiplication qui peuvent se visualiser en deux roues imbriquées (les deux roues de JOJO)

Ainsi pour 7 nous avons la roue de 6 suivante :

Qui correspond à

142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142

On peut aussi dérouler les deux cercles et obtenir (le chiffre de départ importe peu)

4 - 2 - 8 - 5 - 7 - 1
3 - 2 - 6 - 4 - 5 - 1

Il se pourrait bien que les 16 chiffres
8 - 2 - 3 - 5 - 2 - 9 - 4 - 1 - 1 - 7 - 6 - 4 - 7 - 0 - 5 - 8
...

Pour repérer la multiplication correspondante, il suffit de chercher le nombre le plus petit que l'on peut écrire avec des chiffres dans cet ordre
c'est ici 05--------------
le second plus petit sera le produit du premier nombre par 2
ce sera 11--------------
le troisième plus petit sera le produit du premier nombre par 3
ce sera 17--------------
le troisième plus petit sera le produit du premier nombre par 4
ce sera 23--------------
le quatrième plus petit sera le produit du premier nombre par 5
ce sera 29--------------
...
le plus grand sera le produit du premier nombre par 16
...

(merci de me signaler une erreur éventuelle
____bla bla ____
Don néroman s'était intéressé aussi à la roue de 108 (109 nombre premier long)
qui peut intéresser les cryptologues amateurs dans la mesure où
108 = 27x4 (les 26 lettres de l'alphabet et l'espace)
la division de 1 par 109 donnant une séquence des 4 x 27 premiers entiers.
...
Note : ce n'est que très récemment que le 0 se trouve associé à la lettre a.
Toute l'histoire du cryptage a vu la correspondance a -> 1 (cabale, tarot, géomancie, ...)

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