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 #1 - 07-12-2010 17:57:28

Khyros
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 18

uites de nombres - Qui gagnera ?

Voilà un petit problème à l'énoncé assez simple, mais pas si simple que ça à résoudre, qui m'a été soumis récemment =]

On a un monsieur X et un monsieur Y qui choisissent un nombre chacun leur tour (à priori un réel, mais vous pouvez le faire en complexe si ça vous amuse), de façon à créer 2 suites.

La règle est simple:
. Si la suite de X converge vers 0 et que celle de Y converge, X a gagné.
. Si la suite de X ne converge pas vers 0 et que celle de Y diverge, X a gagné.
. Sinon, Y gagne.

Y'a-t-il un moyen (une stratégie), pour X ou pour Y, de gagner à coup sûr ?
Si oui, lequel sera vainqueur, et comment ?

A priori je pense que l'énoncé est clair, mais si vous avez des questions allez-y. Évidemment chacun peut choisir son nombre suivant en fonction des nombres précédemment choisis par l'autre.

Bonne réflexion !



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 #2 - 07-12-2010 18:24:57

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3764
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Suites de nombres - Qui gagera ?

Bonjour,

Je sens le traquenard....

Appelons Xn et Yn les n-ièmes nombres annoncés par X et par Y.

Alors le joueur X peut systématiquement proposer Xn = ABS(Yn-1 - Yn-2)
- Si la suite Yn converge, alors Yn - Yn-1 converge vers 0, donc Xn converge vers 0, donc le jouer X gagne.
- Si la suite Yn ne converge pas, alors on peut trouver un n tel que Yn - Yn-1 soit plus grand que le précednte, donc Xn ne converge pas vers 0, donc le joueur X gagne.
Dans tous les cas, le joueur X gagne.

S'il y a un traquenard, c'est qu'il existe une stratégie pour Y permettant de contrecarrer X. Je cherche laquelle....
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 07-12-2010 19:19:33

blaxe
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 12

suites de nombees - qui gagnera ?

Ne connaissant pas (encore) le principe des complexes, je m'attaque aux réels smile
Si Y fait la suite Un=(-1)^n, il ne converge ni ne diverge je pense, il gagne donc smile
Ce qui fait que X n'a pas de moyen de gagner... Tout reponsant évidemment sur la phrase "sinon, Y gagne" !
Pour que X gagne, il faudrait qu'au premier coup il mette 0 et qu'Y mette n'importe quel nombre, mais je pense que le terme "converge" ne peut s'appliquer que sur un certain nombre de points !

 #4 - 07-12-2010 21:19:37

Khyros
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 18

Suites de ombres - Qui gagnera ?

@Blaxe: Tu fais une erreur sur la définition de la divergence ^^ Est divergente une suite qui ne converge pas. Donc (-1)^n est une suite divergente. Une suite convergente tend vers une limite non infinie, la convergence ne marche pas pour quelques valeurs. Il faut que pour tout r>0 il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite soient à une distance inférieure à r de la limite.
Bonne chance !

@Klimrod: C'est en bonne voie, mais pas encore. Attention aux traquenards <3 J't'envoie un contre-exemple en MP.

 #5 - 08-12-2010 10:17:37

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

suites de nomnres - qui gagnera ?

Cette énigme m'interpelle.
Je ne pense pas que l'on puisse y répondre.
En effet pour établir la convergence d'une suite, il faut regarder tous les termes (à partir d'un certain rang). Il n'est donc pas possible d'établir qu'une suite converge avec simplement un nombre fini de termes.
A partir de la comment peut-on appliquer les assertions permettant de savoir qui gagne?
X pourrait choisir constamment 0 par exemple.
Dans ce cas pour ne pas perdre, Y pourrait choisir les entiers successivement. A ce moment là on pourrait déclarer Y gagnant. Mais au moment où l'on déclarerait cela, X dirait: pas du tout, je choisis 1 pour prochain terme: Sa suite ne donne plus l'impression de converger vers 0 alors que celle de Y diverge. On devrait déclarer X gagnant. Auquel cas Y dirait pas du tout, je vais bientôt me stabiliser.

Enfin pour moi on ne peut pas répondre car la réponse demande la connaissance à priori d'un nombre infini de terme que l'on ne connait qu'au fur et à mesure.

 #6 - 08-12-2010 10:55:25

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Suites de nombes - Qui gagnera ?

J'ai du mal avec cet énoncé.

Khyros a écrit:

Évidemment chacun peut choisir son nombre suivant en fonction des nombres précédemment choisis par l'autre.

Monsieur X et Y doivent-ils prévoir une suite en fonction de l'adversaire ou peuvent-ils modifier leur stratégie en fonction de celle de l'adversaire ?

Exemple :

Si X(n) = sin(x), Y ne sait pas écrire de suite convergente Y(n) en fonction de X(n) (enfin il me semble). Il lui suffit alors de prendre la suite Y(n)=1. Mais alors X choisit une autre suite, X(n)=0 par exemple, etc.

Bref, je comprend rien.

 #7 - 08-12-2010 16:19:52

Khyros
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 18

suites de nombres - qui gagnzra ?

Il y a bien une réponse, et les joueurs peuvent effectivement modifier à tout moment leur stratégie.

L'idée est de trouver une unique stratégie, qui restera la même tout au long du jeu, qui, pour X ou pour Y, permette en fonction des coups de l'adversaire de gagner forcement. Et donc qu'au moins l'un des deux n'ait pas à changer sans cesse sa stratégie, ce qui effectivement empêcherait de savoir qui gagne à la fin. Mais même sans savoir qui, il y a à la fin un gagnant puisqu'une suite ne peut pas être autre chose que convergente ou divergente.

Dans tous les cas, il y en a bien un des deux (et un seul, donc) qui peut mettre au point une stratégie gagnante.

Exemple:
X peut décider de mettre 1 à son n-ième coup si les deux coups précédents de Y étaient à plus de 1/(2^n) de distance l'un de l'autre, et 0 sinon. Mais là Y pourra trouver un moyen de converger en laissant X faire des 1

Y peut décider d'avancer de 1 quand le dernier coup de X était à 0 ou au moins moitié plus petit que l'avant dernier coup, et rester en place sinon. Mais là encore y'a des contre stratégies faciles...

Où est la solution miracle ? sad

 #8 - 08-12-2010 16:29:19

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3764
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

suites de nombres - qui gagnzra ?

Khyros a écrit:

Mais même sans savoir qui, il y a à la fin un gagnant puisqu'une suite ne peut pas être autre chose que convergente ou divergente.

Objection votre honneur !
Puisqu'une suite n'a pas de fin, on ne peut pas affirmer qu'il y aura forcément un gagnant à la fin...

Cela dit, je vois bien le raisonnement à tenir : est-ce que l'un des joueurs peut contrôler l'autre ?


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #9 - 09-12-2010 03:11:58

bouletus
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 4

Suites de ombres - Qui gagnera ?

Il faut certainement utiliser une logique systématique pour résoudre cette énigme.
"Choisir un nombre chacun son tour" aurait peu de sens sinon, puisque X et Y doivent choisir une infinité de nombres pour que l'on puisse parler de convergence (ou divergence). Enfin bref,...

Tout d'abord, si X fait converger sa suite vers 0, alors Y fait diverger sa suite et gagne.
X doit choisir de ne plus faire converger sa suite vers 0 pour gagner. Mais Y fait converger sa suite et REgagne.

Donc, comme précédemment, X est obligé de faire converger sa suite vers 0 pour gagner. Alors, Y fait diverger sa suite, etc.

On obtient 2 suites X et Y divergentes.
Donc Y gagne.

 #10 - 09-12-2010 15:37:06

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

siites de nombres - qui gagnera ?

Pour toute suite, le caractère convergent ou divergent étant uniquement fonction des termes à venir, et non pas des termes précédent : donc après n coups (n = 1 milliards ou autant qu'on veut), il est impossible de savoir si la suite Xn est convergente ou pas et chaque joueurs aura donc le loisirs de modifier sa suite pour qu'elle change de catégorie...

En d'autres termes, ça ne sert à rien de décider du prochain terme par rapport aux termes passés car seuls les suivants donnent le caractère de la suite.

Le caractère de chaque suite est donc inconnu. Donc le problème n'a pas de solution*.

J'ai quand même fait un petit tableau de choix pour y voir plus clair :

http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-choixXY.JPG

Dylasse

*... sauf à nous prouver le contraire... je me rappelle que la terre était au centre de l'univers avant, alors je devrais peut-être faire preuve d'humilité !!!

 #11 - 09-12-2010 19:30:56

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

suiteq de nombres - qui gagnera ?

Bonsoir,

Désolé, j'arrive un peu tardivement, et en plus avec une démo à peine esquissée  ...

http://i68.servimg.com/u/f68/12/38/11/19/quigag10.jpg

La suite [latex]z_n[/latex] sert à référencer les valeurs à partir desquelles on pense ou on espère que [latex]\forall p,q>z_n, |y_p-y_q|<2^{-n}[/latex]

-----------------------------------
PS y a t'il un moyen d'uploader directement un fichier pdf depuis une machine personnelle ?

 #12 - 10-12-2010 13:30:54

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

suiteq de nombres - qui gagnera ?

C'est un peu hors sujet, mais....

dylasse a écrit:

je me rappelle que la terre était au centre de l'univers avant, alors je devrais peut-être faire preuve d'humilité !!!

Je crois que l'on peut encore dire que la terre est au centre de l'univers....
Sachant que plus on regarde loin dans le cosmos plus on se rend compte qu'il y a des galaxies que l'on avait pas vu avant... on peut probablement conjecturer que non seulement en terme d'espace mais egalement en terme de matiere, l'univers est infini. S'il est infini, il n'a pas de centre, ou encore le centre est partout.
On peut donc revendiquer le centre de l'univers sur terre...big_smile


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #13 - 10-12-2010 18:06:56

Khyros
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 18

Suites dde nombres - Qui gagnera ?

Bravo à Tromaril dont la solution a bien l'air de marcher ^^

C'était bien X qui pouvait gagner, il y avait bien une solution <3

Pour une solution un peu plus élégante, il me semble que la suite (xn) définie comme
xn = [1/n * somme( yk , k allant de 1 à n )] - yn fonctionne.

(La différence entre la moyenne de Cesaro de (yn) et son dernier terme)

L'idée étant bien de définir (xn) en fonction des variations de la suite (yn).
Klimrod était pas si loin <3

Si vous voulez une démonstration vous avez qu'à chercher, na.

Merci d'avoir joué.

 #14 - 11-12-2010 08:39:07

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

suites de nomnres - qui gagnera ?

La suite Xn proposée par Khyros vérifie bien que pour Yn, une suite donnée, Xn converge vers 0 si Yn converge et Xn ne converge pas vers 0 si Yn diverge...

Mais ça ne change pas le problème que le caractère de Yn n'étant pas défini a priori, Y n'acceptera jamais sa défaite.

La suite de Khyros est néanmoins intéressante car elle permet à X de définir une unique stratégie et d'aller se coucher, alors que Y, qui ne peut pas gagner, doit continuer à jouer sans définir de stratégie en espérant que l'arbitre, lassé, déclare match nul... une sorte de partie nulle aux échecx où X pourtant mieux armé avec 2 cavaliers et son roi ne peut mater Y et son roi seul.

 #15 - 11-12-2010 14:19:04

Khyros
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 18

Suitess de nombres - Qui gagnera ?

Je vois ce que tu veux dire, mais même si on ne peut pas savoir à priori si la suite de Y va converger ou diverger, elle va tout de même faire l'un ou l'autre, par définition.
A moins de considérer que c'est le jeu est réel, et donc que chaque coup dure un certain temps, et donc qu'il est absurde de considérer le jeu comme durant à l'infini (ce qui est nécessaire pour pouvoir dire si une suite converge, puisque les suites sont infinies..), Y sera soit convergente soit divergente.

Après on peut l'entendre comme on veut, mais ça reste une énigme mathématique.
Si on garde le point de vue réel, Y pourrait faire sa suite en lançant à chaque tour un dé à 1000 faces, et on ne pourrait pas conclure même s'il est évident que sa suite diverge, puisqu'on n'aurait accès qu'à un nombre fini de coups...

En partant de l'idée convergence = suite de Cauchy, on sait que Y est divergente s'il existe un e>0 tel que pour tout rang N de (yn), on peut trouver q,p>N tel que |yp-yq|>e , et qu'elle est convergente sinon.
Dans l'absolu, on peut conclure.

 

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