Enigmes

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 #1 - 18-10-2008 00:41:24

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

pronlème de bases avec 0 et 1

Je me suis intéressé aux nombres qui, convertis dans certaines bases, ressemblent à des nombres en binaire.

Par exemple 1089 en base 10,
s'écrit 10001000001 en base 2,
s'écrit  1111100 en base 3,
et s'écrit 101001 en base 4
mais s'écrit :  13324 en base 5.

Pouvez vous trouver un nombre supérieur à 1 qui s'écrive uniquement avec des 0 et des 1 quand on l'écrit en bases 2, 3, 4 et 5?

Spoiler : [Afficher le message] Ce nombre est unique!

Donnez ce nombre en base 10 (et aussi 2, 3, 4 et 5 si vous voulez).



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 #2 - 18-10-2008 02:19:42

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Problème de base avec 0 et 1

Il est tard et je louche, désolé si je me plante à un ou deux endroits (genre un oubli de 0 ou de 1), par contre ma réponse est bonne wink

Ma méthode : écrire les intervalles successifs dans lesquels pouvaient se situer les valeurs dans chaque base.

En base 5, les nombres ne s'écrivant qu'avec des 0 et des 1 se situent dans les intervalles compris entre 5^k et 5^k + 5^(k-1) + ... + 5^2 + 5 + 1, en faisant varier k. Donc : entre 5 et 6, puis entre 25 et 31, puis entre 125 et 156, etc.

Idem avec 3 et 4 ; j'en déduis qu'on peut éventuellement trouver notre nombre quelque part entre 78125 et 87385 par recoupement

(on trouve l'intervalle [59049 ; 88573] pour la base 3, [65536 ; 87385] pour la base 4, et [78125 ; 97656] pour la base 5).

A tâtons, j'obtiens finalement 82000, soit :
- en base 2 : 1010000000001010000
- en base 3 : 11011111001
- en base 4 : 1100001100
- en base 5 : 10111000

...et maintenant, dodo hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 18-10-2008 02:50:57

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Poblème de bases avec 0 et 1

Excellente réponse.
Maintenant, peut-on prouver qu'il n'existe pas de nombre plus grand, ayant les memes propriétées?


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 #4 - 18-10-2008 13:55:29

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 724
Lieu: 37

Probème de bases avec 0 et 1

Pour la base 2 ça ne pose aucun problème, tous les nombres s'écrivent avec les chiffres 0 et 1.

Pour les autres bases les nombres s'écrivent :
Xo + X1 * B + X2 * B² + .... + Xn * B^n  avec Xi < B


Ce qui donne comme coefficient des Xi pour la base 3
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 .....

Ce qui donne comme coefficient des Xi pour la base 4
4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 .....

Ce qui donne comme coefficient des Xi pour la base 4
5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 .....

Dans notre cas les Xi valent 0 ou 1 ils faut donc trouver comment faire une somme égale par addition des coefficients (chaque coefficient sert au max 1 fois) à partir de chacune des séries. (avec Xo =0 ou Xo=1)

Par tâtonnement on trouve 82000 en base 10
soit
10111000 en base 5 (78125+3125+625+125)
110001100 en base 4 (65536+16384+64+16)
11011111001  en base 3 (59049+19683+2187+729+243+81+27+1)
10100000001010000 en base 2 (65536+16384+64+16)

Spoiler : [Afficher le message] Puisque la question est peut on je serais tenté de répondre moi je ne peux pas. Mais ca doit etre possible puisque la réponse est unique


When i was a child i was a jedi

 #5 - 18-10-2008 15:46:35

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

problème de bases abec 0 et 1

Excellente question dhrm77 !
Malgré tous mes efforts, je peux te dire que :

16400 dans le système décimal correspond à :
- 10000100 en base 4
- 1011100 en base 5
Mais pour la base 3 je ne sais pas...

EDIT : c'est aussi valable pour 16401 et 16405... (je continue mes recherches)

EDIT bis : 82000 correspond aussi, et le champ de réponse de ton énigme me confirme que c'est le bon !
Je suis impatient d'apprendre la démarche qui nous mène de façon unique à ce nombre !


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #6 - 19-10-2008 16:28:57

michel38
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 8
Messages : 53

problème se bases avec 0 et 1

M'a donné du fil à retordre celui là.
Un tableur me donne bien 82000 , mais pourquoi ?

 #7 - 20-10-2008 10:50:42

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×7×223

Problème de bbases avec 0 et 1

Un petit javascript, je sais que ca ne prouve rien, mais bon.

Code:

for (i = 2; i < 100000; i++) {
 if ( est_binaire( base_convert( i, 10, 5) ) ) 
  if ( est_binaire( base_convert( i, 10, 4) ) ) 
   if ( est_binaire( base_convert( i, 10, 3) ) )
    document.write(i + "<br>");
}

function est_binaire(n) {
 l = n.length;
 for (j = 0 ; j < l ; j++) {
  if ( (n.charAt(j) != "1") && (n.charAt(j) != "0")) return false;
 }
 return true;
}

function base_convert(number, frombase, tobase) {
    return parseInt(number+'', frombase+0).toString(tobase+0);
}

Résultat :

Code:

82000

 #8 - 20-10-2008 13:07:27

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Problème de bases avec 0 et 11

Excellente réponse de MthS-MlndN, perceval et LeSingeMalicieux
Bon travail de michel38 et EfCeBa.

C'etait bien 82000.

Cependant je voudrais demander a EfCeBa la raison pour laquelle il a arbitrairement choisi sa limite a 100000.
Personnellement j'ai fait des recherches jusqu'a 2^192, pour etre plus sur.


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 #9 - 20-10-2008 18:50:21

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×7×223

problème de baseq avec 0 et 1

Tu l'as dit toi même, la limite est ... arbitraire big_smile

 #10 - 20-10-2008 18:52:28

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Probèlme de bases avec 0 et 1

Mais alors... Ce nombre est unique ou on n'en sait rien ? (rhoo me dites pas qu'on n'en sait rien sad )


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #11 - 20-10-2008 23:57:23

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

probmème de bases avec 0 et 1

LeSingeMalicieux a écrit:

Mais alors... Ce nombre est unique ou on n'en sait rien ? (rhoo me dites pas qu'on n'en sait rien sad )

Bonne question.
Quand on fait des recherches à la main on s'apercoit tres vite que plus le nombre grandi en taille, plus son nombre de chiffre augmente, et moins il y a de chances d'en trouver qui repondent aux criteres de recherche.
J'avais fait des recherches similaires pour les nombres qui ecrit de la base 2 a la base 18 n'utilisent que des chiffres de 0 a 9. Les 2 derniers nombres trouvés etaient legerement supérieurs 2^64.
Pour tenter de voir s'il en existait d'autres, j'ai poussé les recherches jusqu'à 2^21000 (ou quelque chose comme ca).
Pour ce probleme (avec chiffres 0 et 1 en bases 2 a 5), je n'ai  poussé mes recherches que seulement jusqu'a 2^2048 sans rien trouver d'autre.

Je n'ai donc techniquement pas de preuve que 82000 est unique, mais les chances sont en ma faveur.


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 #12 - 21-10-2008 00:04:31

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

problèle de bases avec 0 et 1

On est assez tenté de te croire- un peu plus que sur parole-.
Le suivant est peut-être très-très grand, who knows...

En tout cas, après Auch, Montauban (82000) va devenir une nouvelle star du forum, dont le centre de gravité se précise être dans le Sud-Ouest de la France big_smile


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #13 - 02-11-2008 15:04:48

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Problème de bsaes avec 0 et 1

Cette sequence a été enregistrée ICI.


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(1) — Je suis a la recherche de la reponse de la suite 1 8 81 1024 (1) — Related:www.ensae.fr/capesa/concours/annales/iseeco2006.pdf les scenarios predits par la theorie de la croissance en economie ouverte (1) — Comment on appelle le systeme de 0et 1 (1) — Exemple+ecrire un nombre en base 12 (1) — 1 = 5 2 = 25 3 = 125 4 = 625 5 = ? reponse (1) — Jeux de chiffres avec des 0 et des 1 (1) — Ecrire en base 4 125 en base dix (1) — Nombre plus petit que 1 en base 2 (1) — Combien de nombres entiers de 1 a 125 (1) — Des mots s ecrivants en i (1) — Solution 1=5 2=25 3=125 (1) — 1 27 256 suite logique (1) — Probleme baes (1) — Nombre entier de 1 125 (1) — Quel est le plus grand nombre entier a 5 chiffres s ecrivant en trois mots? 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